江苏科技大学教案课程：船舶结构力学主讲教师：刘昆教材：《船舶结构力学》上海交通大学陈铁云陈伯真讲授题目第二章单跨梁的弯曲理论（2h）通过本章内容的学习，使同学们能掌握梁的弯曲微分方程及其解：熟练掌握梁的支座及边界条件、初参数法、送加法画弯矩图、梁的弯曲教学目的要素计算；掌握复杂弯曲梁及弹性基础梁的解题思路：了解梁的内力的计算、剪力对梁的弯曲变形的影响；符号法则、边界条件；初参数法求梁的弯曲要素：（基本方法）重点及难点选加法求梁的弯曲要素、画弯矩图：（实用方法）辅助函数查表法。提问（基本概念、方法)；课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）；主要教学方法讨论（章节总结、习题课、思考题）；自学（课前预习、课后复习）；作业（2.12.22.32.42.52.62.72.82.11）；辅导答疑教学手段多媒体辅助教学、板书教学过程时间分配教学内容1学时s2-1梁的弯曲微分方程式及其解2学时S2-2梁的支座及边界条件S2-3计算梁的弯曲要素解析法2学时S2-4选加法计算梁的弯曲要素S2-5剪切对梁弯曲的影响2学时2-6梁的复杂弯曲2学时S2-7弹性基础梁本章小结2学时第二章习题课
江苏科技大学教案 课程：船舶结构力学 主讲教师：刘昆 教材：《船舶结构力学》上海交通大学 陈铁云 陈伯真 讲 授 题 目 第二章 单跨梁的弯曲理论（2h） 教 学 目 的 通过本章内容的学习，使同学们能掌握梁的弯曲微分方程及其解； 熟练掌握梁的支座及边界条件、初参数法、迭加法画弯矩图、梁的弯曲 要素计算； 掌握复杂弯曲梁及弹性基础梁的解题思路； 了解梁的内力的计算、剪力对梁的弯曲变形的影响； 重点及难点 符号法则、边界条件； 初参数法求梁的弯曲要素；（基本方法） 迭加法求梁的弯曲要素、画弯矩图；（实用方法） 辅助函数查表法。 主要教学方法 提问（基本概念、方法）； 课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）； 讨论（章节总结、习题课、思考题）； 自学（课前预习、课后复习）； 作业（2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.11）；辅导答疑 教学手段 多媒体辅助教学、板书 教学过程时间分配 教 学 内 容 1 学时 §2-1 梁的弯曲微分方程式及其解 2 学时 §2-2 梁的支座及边界条件 §2-3 计算梁的弯曲要素解析法 2 学时 §2-4 迭加法计算梁的弯曲要素 §2-5 剪切对梁弯曲的影响 2 学时 §2-6 梁的复杂弯曲 2 学时 §2-7 弹性基础梁 本章小结 2 学时 第二章习题课
第二章单跨梁的弯曲理论《船舶结构力学》讲稿第二章单跨梁的弯曲理论梁一一受外载荷作用而发生弯曲的杆件。单跨梁一一梁仅在两端有支座支持。研究内容：已知梁的尺寸，梁的支持情况和梁上外载荷的条件下，求出梁弯曲时的变形和应力。单跨梁弯曲理论是后面研究杆件系统的基础。s2-1梁的弯曲微分方程式及其积分1、坐标系右手坐标系X轴：在梁的中性层上；Y轴：向下为正；Z轴：与X、Y轴组成右手坐标系。-dxfu图2-12、符号法则：①挠度一一向下为正：②断面转角一一顺时针为正；③断面弯矩M一一“左逆，右顺”为正，即：使梁上凸为正：④断面的剪力N一一“左下，右上”为正
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 1 第二章 单跨梁的弯曲理论 梁——受外载荷作用而发生弯曲的杆件。 单跨梁——梁仅在两端有支座支持。 研究内容：已知梁的尺寸，梁的支持情况和梁上外载荷的条件下，求出梁弯曲时的变形和应力。 单跨梁弯曲理论是后面研究杆件系统的基础。 §2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分 1、坐标系 右手坐标系 X 轴：在梁的中性层上； Y 轴：向下为正； Z 轴：与 X、Y 轴组成右手坐标系。 2、符号法则： ①挠度——向下为正； ②断面转角——顺时针为正； ③断面弯矩 M ——“左逆，右顺”为正，即：使梁上凸为正； ④断面的剪力 N ——“左下，右上”为正
第二章单跨梁的弯曲理论《船舶结构力学》讲稿3、基本假定平断面假定、小变形（即弯曲变形不大）、平面弯曲假设、材料符合胡克定律（线弹性范围）。平断面假定：梁在弯曲前的断面在弯曲后仍为平面。（纯弯曲）剪力会引起断面的翘曲，当梁的高度与长度之比很小时，剪力引起的翘曲很小，平断面假设适用。平面弯曲假设：载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面曲线4、梁的弯曲微分方程式图2-2μ2-3（1）几何关系：梁上一微段dx变形后如上图所示，距中性层距离为y的纤维相对伸长量（应变）为:6p(因为sdx=yde，dx=pde）一中性层曲率半径p-微积分学：Jv"1（变形不大，作近似）dx[1+(v)"]Pd'y..6=dx?d?y（2）物理方程：胡克定律（线弹性）α=8·E=-E·ydx22
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 2 3、基本假定 平断面假定、小变形（即弯曲变形不大）、平面弯曲假设、材料符合胡克定律（线弹性范围）。 平断面假定：梁在弯曲前的断面在弯曲后仍为平面。（纯弯曲） 剪力会引起断面的翘曲，当梁的高度与长度之比很小时，剪力引起的翘曲很小，平断面假设适用。 平面弯曲假设：载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面曲线 4、梁的弯曲微分方程式 （1）几何关系：梁上一微段 dx 变形后如上图所示，距中性层距离为 y 的纤维相对伸长量（应变） 为： y （因为 dx yd ，dx d ） ——中性层曲率半径 微积分学： 2 2 2 3 2 [1 ( ) ] 1 dx d （变形不大，作近似） 2 2 dx d y （2）物理方程：胡克定律（线弹性） 2 2 dx d E E y
第二章单跨梁的弯曲理论《船舶结构力学》讲稿（3）静力学关系：①断面弯矩正应力合力为0。「α·dA=0=「y·dA=0中性轴通过断面形心。A②断面正应力的合力矩等于断面的弯矩。y-o-dA=Mdv[y'dA=MFdr3d'y=M:EI(1)dr?③梁断面平衡方程式2-3dNZY=0N +qdx =N+dN= q(x)dx1dMZM=0M +(N + dN)dx = qdx-.dx+M+dM=N(x）略去高阶小量dx2将（1）式代入上式d?d(Edyd'vO=N(EI=g(x)dr2dr2dx?dxd(Elv")..梁的弯曲微分方程：= q(x)-一般情况下梁的弯曲微分方程式dx?等断面梁的弯曲微分方程：El(4)(x)=q(x)弯曲要素v(x)、(x)、M(x)、N(x)的关系：EIv(4)(x)=g(x)Elv"(x) = N(x)Elv(x)= M(x)v(x)= 0(x)3
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 3 （3）静力学关系： ①断面弯矩正应力合力为 0。 A A dA 0 y dA 0 中性轴通过断面形心。 ②断面正应力的合力矩等于断面的弯矩。 y dA M A y dA M dx d E A 2 2 2 M dx d EI 2 2 （1） ③梁断面平衡方程式 Y 0 N qdx N dN q(x) dx dN M 0 1 ( ) 2 M N dN dx qdx dx M dM N(x) dx dM 略去高阶小量 ④将（1）式代入上式 N dx d EI dx d ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 q x dx d EI dx d 梁的弯曲微分方程: ( ) ( ) 2 2 q x dx d EIv ——一般情况下梁的弯曲微分方程式 等断面梁的弯曲微分方程： ( ) ( ) (4) EIv x q x 弯曲要素 v x( ) 、 ( ) x 、 M x( ) 、 N x( ) 的关系： ( ) ( ) (4) EIv x q x EIv (x) N(x) EIv (x) M(x) v (x) (x)
《船舶结构力学》讲稿第二章单跨梁的弯曲理论5、梁弯曲微分方程式的解等断面梁Elv(4)(x)=q(x)（1）积分法Elv"= g(x)dx + A= N(x)EIv"=[I I q(x)dr° + Ax + B= M(x)=()*+++C=0()2EIEIEIJoETg(x)d*+4r+ Br17=+Cx+D-一梁的挠曲线方程式6EI2EI说明：1)、弯矩M(x)、剪力N(x)、转角0(αx)、挠度v(x)称为弯曲要素；2）、EI为梁的刚度：3)、A、B、C、D为积分常数，由梁的两端的四个边界条件来定；A、B、C、D即为梁的x=0端的弯曲要素NM%A=No、B=Mo、C=、D=Vo，其中Ng、Mo、0o、V为初参数；M。r2 +No31' qdx*(2-14)V=Vo+0-x+Er Jo Jo Jo2EI6EI（2）初参数法①梁上无载荷：由公式（2-14）当q=0时（没有分布载荷）=%+9。X++x，2EI6EI则这表明梁的曲线取决于梁端的四个初始弯曲要素N。、M。、O。、Vo，如果梁的左端有初参数N。、M。、0。、V。存在，则可得梁的挠曲线。②受集中载荷4
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 4 5、梁弯曲微分方程式的解 等断面梁 ( ) ( ) (4) EIv x q x （1）积分法 ( ) ( ) 0 EIv q x dx A N x x ( ) ( ) 0 0 2 EIv q x dx Ax B M x x x ( ) 2 ( ) 1 2 0 0 0 3 C x EI Bx EI Ax q x dx EI v x x x Cx D EI Bx EI Ax q x dx EI v x x x x 6 2 ( ) 1 3 2 0 0 0 0 4 ——梁的挠曲线方程式 说明：1）、弯矩 M(x) 、剪力 N(x) 、转角 (x) 、挠度 v(x) 称为弯曲要素； 2）、 EI 为梁的刚度； 3）、 A、B、C、D 为积分常数，由梁的两端的四个边界条件来定； A、B、C、D 即 为 梁 的 x 0 端 的 弯 曲 要 素 0 0 0 0 N 、M 、 、v ， 0 0 0 0 A N 、B M 、C 、D v ，其中 0 0 0 0 N 、M 、 、v 为初参数； x x x x qdx EI x EI N x EI M v v x 0 0 0 0 0 2 0 3 4 0 0 1 2 6 （2-14） （2）初参数法 ①梁上无载荷：由公式（2-14）当 q 0 时（没有分布载荷） 0 2 0 3 0 0 2 6 x EI N x EI M v v x ， 则这表明梁的曲线取决于梁端的四个初始弯曲要素 0 0 0 0 N 、M 、 、v ，如果梁的左端有初参数 0 0 0 0 N 、M 、 、v 存在，则可得梁的挠曲线。 ②受集中载荷
第二章单跨梁的弯曲理论《船舶结构力学》讲稿图2-1把集中力P看作是在第二段的初始点，N。Ilp(x-b)3Mox? +x3V=Vo+0.x+F2EI6EI6EI③受集中力矩把集中力矩看成后一段的初始值，Mox+NoxIl m(x-a)2V=Vo+0-x+2EI6EI2EI④受分布力作用看作无穷多个集中力之和。Mor2+Nor+g(5)d=(x-)V=Vo+0x+C2EI6EI6EI所以，梁曲线方程的通用方程式：Mox?+No m(x-a)?p(x-b)3rg(5)dsx3(x-5)3(2-16)V=Vo+0,.x+2EI6EI2EI6EI6EIg(x)S72Ip0Abu图2-75
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 5 把集中力 P 看作是在第二段的初始点， EI p x b x EI N x EI M v v x b 6 ( ) 2 6 3 0 2 0 3 0 0 ③受集中力矩 把集中力矩看成后一段的初始值， EI m x a x EI N x EI M v v x a 2 ( ) 2 6 2 0 2 0 3 0 0 ④受分布力作用 看作无穷多个集中力之和。 0 2 0 3 3 0 0 ( ) 6 ( ) 2 6 x EI q d x EI N x EI M v v x x c c 所以，梁曲线方程的通用方程式： 3 2 3 0 2 0 3 0 0 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 2 ( ) 2 6 x EI q d EI p x b EI m x a x EI N x EI M v v x x c a b c (2-16)
第二章单跨梁的弯曲理论《船舶结构力学》讲稿讨论：对于两端简支受均布荷重的单跨梁，利用积分法与初参法求梁的挠曲线结果一致吗？M。 r2 + Nox3 rrq()dE2(x-)初参数法：V=Vo+0。·x+2EI6EI6EI由积分学知识：函数f(x）的n次积分可化为f" f(x)dx" =f(E)(x-)- d(n-1))-6EIEI6EIox+x+rga*与积分法结果相同。V=V+0.x+2EI6EIEI例1：求图示单跨梁的挠曲线方程（当然可以查表，现在要求计算）区解：建立如图所示的坐标系：（初参数法）(x)=0 +0ox+ Mo+ NorP(x-a)3E2EI6EI6EIv(0) = 0左边界条件：v"(0)=0,即M。=0N.13P(x-a)3(1).. v(x)=0,x+6EI6EI[e1+PL-ay0v(I) = 06EI6EI(2)由右端边界条件：v(I)= 0N.lP(l-a)S2=0EIEI6
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 6 讨论: 对于两端简支受均布荷重的单跨梁，利用积分法与初参法求梁的挠曲线结果一致吗？ 初参数法： 3 0 0 2 0 3 0 0 ( ) 6 ( ) 2 6 x EI q d x EI N x EI M v v x x 由积分学知识：函数 f (x) 的 n 次积分可化为 f x d n f x dx n x x x x n 1 0 0 0 0 ( )( ) ( 1)! 1 . ( ) 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 ( ) 6 ( ) 3! 6 ( )( ) dx EI q x dx EI q x d EI x q x x x x x x x x x 4 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 ( ) 2 6 dx EI q x x EI N x EI M v v x x x x x 与积分法结果相同。 例 1：求图示单跨梁的挠曲线方程（当然可以查表，现在要求计算） P o y a b 解：建立如图所示的坐标系；（初参数法） 2 3 3 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 6 6 a M x N x P x a v x v x EI EI EI 左边界条件： (0) 0, 0 (0) 0 0 v M v 即 ∴ 3 3 0 0 ( ) ( ) (1) 6 6 a N l P x a v x x EI EI 由右端边界条件： ( ) 0 ( ) 0 v l v l 3 3 0 0 0 ( ) 0 6 6 ( ) 0 N l P l a l EI EI N l P l a EI EI （2）
《船舶结构力学》讲稿第二章单跨梁的弯曲理论_PbN. =1解之得：PU(10=P6EIPr3bxb-x(x-a)(1-.. ~(x) =)+12136EI6、小结（1）符号法则；（2）单跨梁的弯曲微分方程式的推导；（3）初参数法、积分法。复习：第1章、2-1节$2-2$2-3预习：作业：习题2-1（P42）7
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 7 解之得： 0 2 0 2 (1 ) 6 Pb N l Plb b EI l 3 2 2 3 2 2 2 3 ( ) ( ) (1 ) 6 a Pl bx b x x a v x EI l l l l 6、小结 （1）符号法则; （2）单跨梁的弯曲微分方程式的推导； （3）初参数法、积分法。 复习：第 1 章、2-1 节 预习：§2-2 §2-3 作业：习题 2-1（P42）
《船舶结构力学》讲稿第二章单跨梁的弯曲理论S2-2梁的支座及边界条件为了求解曲线方程的积分常数，必须用两端的边界条件。梁端的边界条件：就是梁端弯曲要素的特定值或弯曲要素之间的关系，它们取决于支座的情况。1、自由支持在刚性支座上A1912-8自由支持端，铰支端，简支端。特点：不允许梁端发生挠度，而对梁的转动无限制。见图2-8所示图示两者是等效的，由于小挠度，水平力很小可忽略。边界条件为：V=0M=0(v"=0)2、刚性固定在刚性支座上2-9特点：它阻止梁端发生挠度和转动。见图2-9所示边界条件为：V=00=0(=0)3、弹性支座1oiWPM图2-108
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 8 §2-2 梁的支座及边界条件 为了求解挠曲线方程的积分常数，必须用两端的边界条件。 梁端的边界条件：就是梁端弯曲要素的特定值或弯曲要素之间的关系，它们取决于支座的情况。 1、自由支持在刚性支座上 自由支持端，铰支端，简支端。 特点：不允许梁端发生挠度，而对梁的转动无限制。见图 2-8 所示 图示两者是等效的，由于小挠度，水平力很小可忽略。 边界条件为： v 0 M v 0( 0) 2、刚性固定在刚性支座上 特点：它阻止梁端发生挠度和转动。见图 2-9 所示 边界条件为： v 0 0( 0) v 3、弹性支座
《船舶结构力学》讲稿第二章单跨梁的弯曲理论自由支持端在受力后将发生一个正比于支座力的挠度，这种支座叫“弹性支座”弹性支座的边界条件：左端面为：V=-AEIv"，v"=0右端面为：V=AEIv"，"=0课堂上画分离体图IRWA2.注：如弹性支座的刚度系数K=00（或揉度系数A=0）时，支座的挠度为零，就变成了刚性支座：如弹性支座的刚度系数K=0（或揉度系数A=0）时，支座的反力为零，没有限制挠度的支座存在。若刚性固定在弹性支座上边界条件：V=AEIv"v'=04、弹性固定端固定端在受力弯曲后发生一个正比于梁端弯矩的转角，这种固定端叫做“弹性固定端”HoL84Mo4旺士+图2-11课堂上画分离体图。边界条件：左端断面：V=0，=αEI"右端断面：V=0，v=-αEIv"讨论：当α=0(K=)时，弹性固定端变成了刚性固定端：V=0,=0当α=(K=0)时，弹性固定端变成了自由支持v=0,v"=0。9
《船舶结构力学》讲稿 第二章 单跨梁的弯曲理论 9 自由支持端在受力后将发生一个正比于支座力的挠度，这种支座叫“弹性支座”。 弹性支座的边界条件：左端面为： v AEIv ，v 0 右端面为： v AEIv ，v 0 课堂上画分离体图 Nl R A 注：如弹性支座的刚度系数 K （或揉度系数 A 0 ）时，支座的挠度为零，就变成了刚性支座； 如弹性支座的刚度系数 K 0 （或揉度系数 A ）时，支座的反力为零，没有限制挠度的支座 存在。 若刚性固定在弹性支座上 边界条件： v AEIv v 0 4、弹性固定端 固定端在受力弯曲后发生一个正比于梁端弯矩的转角，这种固定端叫做“弹性固定端”。 课堂上画分离体图。 边界条件： 左端断面： v 0 ，v EIv 右端断面： v 0 ，v EIv 讨论：当 0( ) K 时，弹性固定端变成了刚性固定端； v v 0, 0 当 ( 0) K 时，弹性固定端变成了自由支持 v v 0, 0