江苏科技大学：《船舶结构力学》课程教学资源（教案讲义）第六章 能量法

江苏科技大学教案课程：船舶结构力学主讲教师：刘昆教材：《船舶结构力学》上海交通大学陈铁云陈伯真讲授题目第六章能量法（8h）理解应变能、余能、虚力原理、虚位移原理；教学目的掌握位能驻值原理（李兹法）、应变能原理、最小功原理：基本掌握应变能原理，单位位移法、余位能驻值原理、单位载荷法。应变能的计算；重点及难点位能驻值原理（李兹法）的应用（弯曲问题、稳定性问题）；应力能原理（卡氏定理、最小功原理）。课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）；讨论（总结、思考题、习题课）；主要教学方法自学（课前预习、课后复习)；作业；6.16.36.46.56.76.86.12教学手段讲授（多媒体、板书）教学内容教学过程时间分配2学时56-1应变能与余能$6-2杆件的应变能计算S6-3虚功原理2学时S6-4虚位移原理的应用S6-5驻值原理的近似解$6-6虚力原理的应用2学时本章小结2学时第六章习题课

江苏科技大学教案 课程：船舶结构力学 主讲教师：刘昆 教材：《船舶结构力学》上海交通大学 陈铁云 陈伯真 讲 授 题 目 第六章 能量法（8h） 教 学 目 的 理解应变能、余能、虚力原理、虚位移原理； 掌握位能驻值原理（李兹法）、应变能原理、最小功原理； 基本掌握应变能原理，单位位移法、余位能驻值原理、单位载荷法。 重点及难点 应变能的计算； 位能驻值原理（李兹法）的应用（弯曲问题、稳定性问题）； 应力能原理（卡氏定理、最小功原理）。 主要教学方法 课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）； 讨论（总结、思考题、习题课）； 自学（课前预习、课后复习）； 作业；6.1 6.3 6.4 6.5 6.7 6.8 6.12 教学手段 讲授（多媒体、板书） 教学过程时间分配 教 学 内 容 2 学时 §6-1 应变能与余能 §6-2 杆件的应变能计算 §6-3 虚功原理 2 学时 §6-4 虚位移原理的应用 §6-5 驻值原理的近似解 2 学时 §6-6 虚力原理的应用 本章小结 2 学时 第六章 习题课

《船舶结构力学》讲稿第六章能量法第六章能量法S6-1 应变能与余能解析法（力法、位移法、初参数法）：能量法一弹性体在静加外力作用下，外力的功将转变为体系的变形能或应变能，表现在外力卸去时体系能完全恢复原状。那么，弹性体的外载和变形间的关系？一般为非线性的：①材料本身应力-应变间的非线性（材料非线性）；②大变形而产生的（几何非线性）。1、外力功与应变能外力一一“广义力”，集中力或力矩：变形一一“广义”，线位移或角位移。PICPdF8V4小(a)图6-1①某一中间瞬时，力为P，相应的变形为△；②当变形有一无限小的增量d△，外力的功为：dW=P·d△：[p.d.③在整个加载过程中，外力P从0→P，变形△从0一→△，则外力的功：W=（面积OAB）'p.d。④弹性体在外力作用下变形时，体系内产生的变形能或应变能：V=W=[若弹性体为一拉杆，断面积为A，长度1，拉力为P，伸长量为△，则P、△与应力α和应变ε间有关系：P=G·A，△=6·l。-

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 1 第六章 能量法 §6-1 应变能与余能 解析法（力法、位移法、初参数法）； 能量法 一弹性体在静加外力作用下，外力的功将转变为体系的变形能或应变能，表现在外力卸去时体系能 完全恢复原状。 那么，弹性体的外载和变形间的关系？ 一般为非线性的：①材料本身应力-应变间的非线性（材料非线性）； ②大变形而产生的（几何非线性）。 1、外力功与应变能 外力——“广义力”，集中力或力矩； 变形——“广义”，线位移或角位移。 ①某一中间瞬时，力为 P，相应的变形为  ； ②当变形有一无限小的增量 d ，外力的功为： dW  P d ； ③在整个加载过程中，外力 P 从 0  P1 ，变形  从 0   ，则外力的功：      1 0 W P d 。 （面积 OAB） ④弹性体在外力作用下变形时，体系内产生的变形能或应变能：       1 0 V W P d 。 若弹性体为一拉杆，断面积为 A，长度 l，拉力为 P，伸长量为  ，则 P、 与应力  和应变  间 有关系： P   A，    l

第六章能量法《船舶结构力学》讲稿.外力功和应变能V=W=AIode单位体积的应变能V=oda若三维弹性体，应力、应变分量如下：sE.OyEya.[o-(e} sYeyTTyeYys(Pea)(tr).单位体积的应变能V.=[(dea+Ude,+o,de,+tadyu+ty,dy+dyas)即：V。= [ (o) (de)整个弹性体的应变能：V=[I[Vodxdydz2、余功与余能PIBZ441(a)图6-1定义：从图a中，OAC面积为“余功"。W*A.di"·dp余能：V*=V从该式可以看出，余能是体系中力的变化引起的，因此，也称“应力能”。对于单向拉杆，单位体积的余能：V。=o.do2

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 2  外力功和应变能    1 0  V W Al d 单位体积的应变能   1 0  V d 若三维弹性体，应力、应变分量如下：  单位体积的应变能 即： V  d T  0  整个弹性体的应变能：  V  V dxdydz 0 2、余功与余能 定义：从图 a 中，OAC 面积为“余功”。    1 0 * P W dP 余能：     1 0 * * P V W dP 从该式可以看出，余能是体系中力的变化引起的，因此，也称“应力能”。 对于单向拉杆，单位体积的余能：    1 0 * 0  V  d

《船舶结构力学》讲稿第六章能量法对于三维弹性体，单位体积的余能：V。=「s).(do)整体的余能："=[[vdxdydz3、线性体系对于外力和变形成正比的线性关系。外力功=余功，应变能=余能IP图 6-2设P=k△W-w"-Pd△= k-PA单位体积的应变能或余能：V =V -[(o) (de)-(o,Y(6)整体弹性体：V=V*= (o,Y (es dxabydS6-2杆件的应变能计算（线性体系）加载方式：静加载1、拉伸或压缩FLdx/du图6-33

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 3 对于三维弹性体，单位体积的余能： V  d T    * 0 整体的余能：  V  V dxdydz * 0 * 3、线性体系 对于外力和变形成正比的线性关系。 外力功=余功，应变能=余能 设 P  k 1 1 2 1 0 0 * 2 1 2 1 1 1               W W Pd k d k P 单位体积的应变能或余能：      1  1 * 0 0 2 1     T T V V  d   整体弹性体:      V V  dxdydz T 1 1 * 2 1   §6-2 杆件的应变能计算（线性体系） 加载方式：静加载 1、拉伸或压缩

第六章能量法《船舶结构力学》讲稿1Tdx_1T?dxd :T.du=LT.22EA2EACT2VEAu'dxdx:JoEA2对于等断面和等轴力的杆件：EAu?T21V=212EA1rT2T21..V=dx2Jo EA2EAEAu?"["EAs"dx=EA6]-EAu"dx =212.2Jo2uu'=6,(u(x)=e-x,6=L2、扭转Mdx图6-4M,dx_1 M,dx11d =-M.d@==M.2Gj2GJ2IMdbGJp"2dxV20GJM,dpg'=其中：GJdx3、弯曲一般弯曲情况下，杆断面有弯矩与剪力，它们在弯曲变形时都作了功。因此，包括弯矩引起的应4

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 4 EA T dx EA Tdx dV T du T 2 2 1 2 1 2 1      dx EAu dx EA T V l l      0 2 0 2 2 1 2 1 对于等断面和等轴力的杆件： l EAu EA T l V 2 2 2 2   EA T l dx EA T V l 2 2 1 2 0 2     l EAu V EAu dx EA dx EA l l l 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 0 2          （ u(x)    x， u    ， l u   ） 2、扭转 Gj M dx GJ M dx dV M d M t t t t 2 2 1 2 1 2 1           l l t GJ dx GJ M dx V 0 2 0 2 2 1 2 1  其中： GJ M dx d t      3、弯曲 一般弯曲情况下，杆断面有弯矩与剪力，它们在弯曲变形时都作了功。因此，包括弯矩引起的应

第六章能量法《船舶结构力学》讲稿变能（简称弯曲应变能）及剪力引起的应变能（简称剪切应变能）。AIMdo图[6-5弯曲应变能：1M1 M?dx1Mde=-MdV=dx:22EI2EIMdxElv"2dx.. V =2EI2.剪切应变能：#by图6-6-1NS-)'dAdxt'dAdx距中和轴y处：-T.dA-ydx=22G2GIbNS/)"dAdx..dV=2GJAIbN2S2-dA)-dx2G(2JAb2121 N dx式中：A.有效抗剪面积。S32 GA,dAJAb25

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 5 变能（简称弯曲应变能）及剪力引起的应变能（简称剪切应变能）。 弯曲应变能： EI M dx dx EI M dV Md M 2 2 1 2 1 2 1            l EIv dx EI M dx V 0 2 2 2 1 2 1 剪切应变能： 距中和轴 y 处： dAdx Ib NS G dAdx G dA dx 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 1        dAdx Ib NS G dV A  2 ( ) 2 1 dA dx b S G I N A    ) 1 ( 2 2 2 2 2 GAs N dx 2 2 1  式中：   A s dA b S I A 2 2 2 有效抗剪面积

《船舶结构力学》讲稿第六章能量法1 r N?1.V:dx ="GAv'dxV2：剪切挠度2JoGA.2J在一般情况下，若杆同时受到拉伸（压缩）、扭转和弯曲力，由于在线性体系中拉（压）、扭转与弯曲变形之间相互不影响，故杆件的应变能为各应变能之和，即：1 rT2.1rM.1rM?1rN2=-dx+-dx+dx+d2JoEA2JoGJ20 EI2JoGAuJ2J2J0说明：实践证明，对于一般以弯曲为主的杆件，剪切和拉压应变能与弯曲应变能相比很小，从而可忽略不计。4、弹性支座与弹性固定端弹性支座和弹性固定端，因支座有变形，故有应变能。11112弹支：V=-R.V--AR?22A2 111-αM?=02V=-M-0=弹固：22α2说明：在以上所得的公式中，用位移表达的是应变能，用力表达的是余能。S6-3虚功原理（principleofvirtualwork）虚功原理：虚位移原理：等价于结构的平衡条件，相当于“位移法”。虚力原理：等价于变形协调条件，相当于“力法”1、虚位移原理：定义：设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个可能发生的位移即虚位移，则外力对虚位移的功（虚功）必等于结构因虚变形获得的虚应变能，称为虚位移原理。真实外力×虚位移=（真实应力×虚应变dJo6

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 6 dx GA v dx GA N V l l s s 2 2 0 0 2 2 1 2 1       2 v ：剪切挠度 在一般情况下，若杆同时受到拉伸（压缩）、扭转和弯曲力，由于在线性体系中拉（压）、扭 转与弯曲变形之间相互不影响，故杆件的应变能为各应变能之和，即： dx GA N dx EI M dx GJ M dx EA T V l l s l t l         0 0 2 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 EAu dx GJ dx EIv dx GA v dx l s l l l 2 2 0 0 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1              说明： 实践证明，对于一般以弯曲为主的杆件，剪切和拉压应变能与弯曲应变能相比很小，从而可忽 略不计。 4、弹性支座与弹性固定端 弹性支座和弹性固定端，因支座有变形，故有应变能。 弹支： 2 2 2 1 2 1 2 1 v A V  RV  AR  弹固： 1 1 1 2 2 2 2 2 V M M         说明： 在以上所得的公式中，用位移表达的是应变能，用力表达的是余能。 §6-3 虚功原理（principle of virtual work） 虚功原理：虚位移原理：等价于结构的平衡条件，相当于“位移法”。 虚力原理：等价于变形协调条件，相当于“力法” 1、虚位移原理： 定义：设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给结构一个可能发生的位移即虚位移，则外 力对虚位移的功（虚功）必等于结构因虚变形获得的虚应变能，称为虚位移原理。 真实外力  虚位移= （真实应力  虚应变）d

《船舶结构力学》讲稿第六章能量法外力的虚功：W=P.,+P ...=P.(无因为发生虚位移时，外力不变）2虚应变能[8e]d0oW=o2、虚力原理定义：设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给外力一个不破坏平衡条件及静力边界条件的虚变化，并且由此虚力产生的变形是协调的，则外力的虚余功必等于结构的虚余能，这就是虚力原理。真实位移×虚外力=【（真实应变×虚应力）d外力的虚余功：SW*=A,8P+A,P+..-EA,8P结构的虚余能：3V*= [.(6) (80]d2ow=SVS6-4虚位移原理的应用从虚位移原理出发可以引伸出各种能量定理用来计算结构的位移和变形等。1、位能驻值原理（最小位能原理）总位能：Ⅱ=V-UU=EPA,不是外力功；而是力函数。i位能驻值原理，即位能Ⅱ有一驻值（最大值或最小值）。此时，SⅡ=08U=P8,=8ii7

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 7 外力的虚功： 1 1 2 2 i i i     W P P P             （无 1 2 ，因为发生虚位移时，外力不变） 虚应变能     T    V d       W V  2、虚力原理 定义：设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给外力一个不破坏平衡条件及静力边界条件 的虚变化，并且由此虚力产生的变形是协调的，则外力的虚余功必等于结构的虚余能，这就是虚力 原理。 真实位移  虚外力= （真实应变  虚应力）d 外力的虚余功： * 1 1 2 2 i i i     W P P P             结构的虚余能：     * T    V d     * *   W V  §6-4 虚位移原理的应用 从虚位移原理出发可以引伸出各种能量定理用来计算结构的位移和变形等。 1、位能驻值原理（最小位能原理） 总位能：    V U i i i U P    不是外力功；而是力函数。 位能驻值原理，即位能  有一驻值（最大值或最小值）。此时，   0 i i i i i i     U P P W       

第六章能量法《船舶结构力学》讲稿说明：（1）对于弹性体的平衡来说，总位能将是极小值：因此位能驻值原理又称为“最小位能原理”（2）位能驻值原理和虚位移原理一样，代表了结构的平衡条件。（3）应变能为结构的应变能，它包括了弹性约束的应变能。例题P121用位能驻值原理解图6-8中之静不定刚架。11P!FA(1+2c050)P6-8图6-9解：计算结构的应变能，设各杆断面面积均为A，则对1、3杆(A.cosO)* _ EAA°cos"0EAA"2_EAcoseV=V,:212121EAA?对杆2，有V,，故21EA?EAA" EAA*cos'0V=V+V,+V.21'121外力的力函数为U=P.△EAA?EA" cos"结构的总位能：IⅡI=V-U=互P△21位能驻值原理：I=02EAAcoseanlEA△ P)-= 0:112EAcos0EA△±0=P=0（力的平衡方程）11P1然后可进一步求出各杆的力。DA:EA(1+2cos0)8

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 8 说明： （1）对于弹性体的平衡来说，总位能将是极小值，因此位能驻值原理又称为“最小位能原理”。 （2）位能驻值原理和虚位移原理一样，代表了结构的平衡条件。 （3）应变能为结构的应变能，它包括了弹性约束的应变能。 例题 P121 用位能驻值原理解图 6-8 中之静不定刚架。 解：计算结构的应变能，设各杆断面面积均为 A，则对 1、3 杆 2 3 2 2 1 3 cos cos ( cos ) 2 2 2 EA EA EA V V l l l             对杆 2，有 2 2 2 EA V l   ，故 2 3 2 2 1 2 3 cos 2 2 EA EA EA V V V V l l l             外力的力函数为 U P   结构的总位能： 2 3 2 cos 2 EA EA V U P l l           位能驻值原理：  0 3 2 cos ( ) 0 EA EA P l l                    0 3 2 cos 0 EA EA P l l        （力的平衡方程） 3 (1 2cos ) Pl EA      ，然后可进一步求出各杆的力

《船舶结构力学》讲稿第六章能量法2、应变能原理（“卡式第一定理”）av=POA,av则特例：若结构中仅有△，发生虚位移，而其余位移保持不变，=PaAk上式表明结构应变能对某一广义位移的偏导数等于此位移相应的广义力。原理的推导过程：SV-P., = P., +P, +...又：对应变能V求变分，（数学上）oV-OVav,+, +DA,两式相减，得：avav-P), +(-P,+..=0·虚位移是任意的，av=Pi=1,2,3...(6-47):",证毕。说明：它代表了结构的平衡条件，在结构分析过程中可用来建立位移法方程式。在线性体系中，V是位移的二次函数，微分一次后为位移的一次函数，故（6-47）就是位移法中的正则方程。av=P特例：若结构中仅有△发生虚位移，而其余位移保持不变，则：adk表明：结构应变能对某一广义位移的偏导数等于此位移相应的广义力。3、单位位移法虚位移原理S=SV或P8=(0)'(8s)d29

《船舶结构力学》讲稿 第六章 能量法 9 2、应变能原理（“卡式第一定理”） i i V P    特例：若结构中仅有 k 发生虚位移，而其余位移保持不变，则 k k V P    上式表明结构应变能对某一广义位移的偏导数等于此位移相应的广义力。 原理的推导过程： i i 1 1 2 2 i     V P P P             又  对应变能 V 求变分，（数学上） 1 2 1 2 V V    V           两式相减，得： 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 0 V V P P                虚位移是任意的，  1,2,3. i i V P i     （6-47） 证毕。 说明： 它代表了结构的平衡条件，在结构分析过程中可用来建立位移法方程式。在线性体系中， V 是位 移的二次函数，微分一次后为位移的一次函数，故（6-47）就是位移法中的正则方程。 特例：若结构中仅有 K 发生虚位移，而其余位移保持不变，则： K K V P    表明：结构应变能对某一广义位移的偏导数等于此位移相应的广义力。 3、单位位移法 虚位移原理   W V  或     T i i i P d         