江苏科技大学：《船舶结构力学》课程教学资源（教案讲义）第九章 矩形板的弯曲理论

江苏科技大学教案课程：船舶结构力学主讲教师：刘昆教材：《船舶结构力学》上海交通大学陈铁云陈伯真讲授题目第九章矩形板的弯曲理论（10h）理解矩形板的筒形弯曲，板条梁的概念；了解单三角基数、双三角基数求解刚性板的弯曲问题；查表法求解板的弯曲问题；教学目的掌握板的分类及刚性板、柔性板的计算（外加中面力柔性板、大挠度柔性板)；基本掌握板的能量解法。刚性板、柔性板的分类；柔性板的计算：重点及难点单三角基数、双三角基数求解刚性板的弯曲问题；板的能量法。提间（基本概念、方法）；课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）：主要教学方法讨论（章节总结、习题课、思考题）；自学（课前预习、课后复习，$9-4正交异性板的弯曲自学）作业（9.19.29.49.59.69.7)；辅导答疑教学手段多媒体辅助教学、板书、提问、思考教学过程时间分配教学内容2学时S9-1板的筒形弯曲2学时S9-2刚性板的弯曲微分方程式2学时S9-3刚性板弯曲的解自学$9-4正交异性板的弯曲2学时S9-5刚性板的能量解法本章小结第九章习题课2学时

江苏科技大学教案 课程：船舶结构力学 主讲教师：刘昆 教材：《船舶结构力学》上海交通大学 陈铁云 陈伯真 讲 授 题 目 第九章 矩形板的弯曲理论（10h） 教 学 目 的 理解矩形板的筒形弯曲，板条梁的概念； 了解单三角基数、双三角基数求解刚性板的弯曲问题；查表法求解板的 弯曲问题； 掌握板的分类及刚性板、柔性板的计算（外加中面力柔性板、大挠度柔 性板）； 基本掌握板的能量解法。 重点及难点 刚性板、柔性板的分类； 柔性板的计算； 单三角基数、双三角基数求解刚性板的弯曲问题； 板的能量法。 主要教学方法 提问（基本概念、方法）； 课堂讲授（基本概念、理论、方法、解题思路）； 讨论（章节总结、习题课、思考题）； 自学（课前预习、课后复习，§9-4 正交异性板的弯曲自学）； 作业（9.1 9.2 9.4 9.5 9.6 9.7）；辅导答疑 教学手段 多媒体辅助教学、板书、提问、思考 教学过程时间分配 教 学 内 容 2 学时 §9-1 板的筒形弯曲 2 学时 §9-2 刚性板的弯曲微分方程式 2 学时 自学 §9-3 刚性板弯曲的解 §9-4 正交异性板的弯曲 2 学时 §9-5 刚性板的能量解法 本章小结 2 学时 第九章习题课

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论第九章矩形板的弯曲理论S9-1 概述本章研究船体板的弯曲问题。船体板视为四周支持在纵横骨架上的矩形平板。平板一一底面之间的距离远小于底面尺寸的棱柱形弹性体。11薄板的概念：板厚t与板短边b的比值在以下范围内（<-80100b58船体板属于薄板。平板的中面一一平分板厚的中间平面。1、基本假设（1）骨架有足够的刚度，足以作为板的支座。（2）通常不计相邻板间的作用，即不考虑连续板。2、载荷横载荷：垂直于板平面。中面力：作用在板平面内。3、任务各种垂直于板面的载荷，求解弯曲正应力和挠度。4、板弯曲中的应力和应变分量板的设计应力的计算：①总纵+①板架+O板曲，结构力学只讨论①板弯曲三向应力状态（6个应力分量、6个应变分量）6个应力分量(o)=(の,yt)6个应变分量(6)=(ε1

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 1 第九章 矩形板的弯曲理论 §9-1 概述 本章研究船体板的弯曲问题。 船体板视为四周支持在纵横骨架上的矩形平板。 平板——底面之间的距离远小于底面尺寸的棱柱形弹性体。 薄板的概念：板厚 t 与板短边 b 的比值在以下范围内 1 1 1 1 ( ~ ) ( ~ ) 80 100 5 8 t b   船体板属于薄板。 平板的中面——平分板厚的中间平面。 1、基本假设 （1）骨架有足够的刚度，足以作为板的支座。 （2）通常不计相邻板间的作用，即不考虑连续板。 2、载荷 横载荷：垂直于板平面。 中面力：作用在板平面内。 3、任务 各种垂直于板面的载荷，求解弯曲正应力和挠度。 4、板弯曲中的应力和应变分量 板的设计应力的计算：  总纵  板架  板弯曲 ，结构力学只讨论  板弯曲 三向应力状态（6 个应力分量、6 个应变分量） 6 个应力分量     T x y z xy yz zx         6 个应变分量     T x y z xy yz zx        

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论板弯曲时：不计、8.（：<<αx,,）、===0（平断面假定）（平面薄板，其受到的外力平行与板平面,=T=T。=0，该应力状态具有的这种性质称为平面应力问题，相应的应变Y=Y=0)例如：10m水压产生的o.=0.1N/mm2，而o0，=100N/mm[o,9,8(9-1)应力分量：=应变分量：TrTe1TyoE1(9-2)应力-应变关系（物理方程式）(o,-uo,)6.E1Txy2GE：弹性模量式中：G：剪切弹性模量:泊松比5、位移一挠曲面主要是平板中面的挠度w(x,y)一s9-2板的简形弯曲（只有一个方向有曲率）1、筒形板的横弯曲条件：①板的边长比≥2.5~3.0②外载荷沿板的长边不变化。理论分析和实验都表明板除了与短边支界相邻的一小部分以外，中间大部分的弯曲变形为筒形。即沿短边有曲率，沿长边没有曲率，故名“筒形弯曲”。2

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 2 板弯曲时：不计 ( , ) z z  z  x  y  、   、 xz   yz  0 （平断面假定）（平面薄板，其受到的外 力平行与板平面 0    z yz xz    ，该应力状态具有的这种性质称为平面应力问题，相应的应变  xz   yz  0 ） 例如：10m 水压产生的 2 0.1 /  z  N mm ，而 2  x , y 100N / mm 应力分量：   x y xy xz yz                          应变分量：   x y xy                （9-1） 应力-应变关系（物理方程式） 1 ( ) 1 ( ) 1 x x y y y x xy xy E E G                       （9-2） 式中： E G  ：弹性模量 ：剪切弹性模量 ：泊松比 5、位移 主要是平板中面的挠度 w x y ( , ) ——挠曲面 §9-2 板的筒形弯曲（只有一个方向有曲率） 1、筒形板的横弯曲 条件： ①板的边长比  2.5 ~ 3.0 ②外载荷沿板的长边不变化。 理论分析和实验都表明板除了与短边支界相邻的一小部分以外，中间大部分的弯曲变形为筒形。 即沿短边有曲率，沿长边没有曲率，故名“筒形弯曲

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论IxX图9-2基本研究方法一一取“板条梁”在板的筒形部分沿弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来考虑。（此狭条梁称为“板条梁"）板条梁与普通梁弯曲变形的差别：(b)(a)J3 0-3（a）板条深：(b）管通染板条梁：8,=0普通梁：6￥0-(,-o,)=0=0,=μox6,=E（表明,远小于,，一般板的局部强度只考虑就可以了）E代入式（9-2）的物理方程式得：，26,=E81-uE式中：E=1- μ?板条梁的弯曲也满足平断面假定：板条梁弯曲微分方程式与基本关系式：E,Iw(4)=q,E,hw"=N,E,Iw"=M(9-6)3

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 3 基本研究方法——取“板条梁” 在板的筒形部分沿弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来考虑。（此狭条梁称为“板条梁”） 板条梁与普通梁弯曲变形的差别： 板条梁： 0 y   普通梁： 0 y   1 ( ) 0 y y x E           y x （表明  y 远小于  x ，一般板的局部强度只考虑  x 就可以了） 代入式（9-2）的物理方程式得： 2 1 1 x x x E    E     式中： 1 2 1 E E    板条梁的弯曲也满足平断面假定： 板条梁弯曲微分方程式与基本关系式： (4) 1 1 1 E Iw q E Iw N E Iw M    , ,   （9-6）

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论式中：I，为板条梁的断面惯性矩；w=w(x)为板条梁的挠度：12M,N分别为板条梁断面的弯矩、剪力：Et?令：D=EI=(9-7)筒形刚度或弯曲刚度（flexuralrigity）12(1-μ)(9-8)Dw(4) =q,Dw" = N,Dw"= M普通梁板条梁1、胡克定律E0,=Er=E6,=a=aCEE :相当弹性模量1- μ22、弯曲微分方程Ev(4) = q(x)Dw(4) = q(x)/=bh3Et3板的刚度D=E,I-1212(1- μ)EI一一梁的刚度3、弯曲要素E(4) =g,E"=N,Ev"=MDw(4) = q,Dw"=N,Dw"= M4、变形侧面自由的，弯曲变形后梁的截面两侧面受到相邻板的约束而不能自由变不再保持矩形（受压部分扩大：受形，弯曲变形后的截面仍保持矩形。拉部分缩小）。5、单位的量纲q--N/mm2,M--N-mmq--N/mm2,M--N-mm/mm6Mmx计算M-，当≥=±时，最大的正应力：板条梁断面的弯曲正应力，Ox,maxt21时注意量纲，并且把其当作一根普通梁，只要用D代替EI即可，查附录A。计算步骤：筒形弯曲？D代替刚性板板条梁普通梁（查表A）是EI

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 4 式中： 3 12 t I  为板条梁的断面惯性矩； w w x  ( ) 为板条梁的挠度； M N, 分别为板条梁断面的弯矩、剪力； 令： 3 1 2 12(1 ) Et D E I     ——筒形刚度或弯曲刚度（flexural rigity） （9-7） (4) Dw q Dw N Dw M    , ,   （9-8） 普通梁 板条梁 1、胡克定律   x x  E   y x  2 1 1 x x x E    E      1 2 1 E E    ——相当弹性模量 2、弯曲微分方程 (4) 3 ( ) 12 EIv q x bh I EI   ——梁的刚度 (4) 3 1 2 ( ) 12(1 ) Dw q x Et D E I      板的刚度 3、弯曲要素 (4) EIv q EIv N EIv M    , ,   (4) Dw q Dw N Dw M    , ,   4、变形 侧面自由的，弯曲变形后梁的截面 不再保持矩形（受压部分扩大；受 拉部分缩小）。 两侧面受到相邻板的约束而不能自由变 形，弯曲变形后的截面仍保持矩形。 5、单位的量纲 2 q M      N/mm , N mm 2 q M      N/mm , N mm/mm 板条梁断面的弯曲正应力 x M z I    ，当 2 t z   时，最大的正应力： max ,max 2 6 x M t   计算 时注意量纲，并且把其当作一根普通梁，只要用 D 代替 EI 即可，查附录 A。 计算步骤： 刚性板 筒形弯曲？ 是 板条梁 D EI 代替 普通梁（查表 A）

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论2、简形板的复杂弯曲5fy图9-4横骨架式甲板板与船底板，受横向载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力（中面力），在这种情况下仍将发生筒形弯曲，在板中取出板条梁将处于复杂弯曲状态，板条梁复杂弯曲的微分方程式及基本关系式为：Dw(4) + Tw"= qDw"=M（式中T前“-”拉力，“+”压力）(9-10)Dw"Tw'=N1 FEt3D=E,I=u=2VD12(1-μ)注：板条梁的弯曲要素与单跨梁的复杂弯曲情况下的弯曲要素完全一样，查附录B5 ql*1vC-Jo(u)384 D例如：两端自由支持的板条梁，梁的中点挠度与弯矩分别为：(9-11)q12MCgo(u)82Et31 T,D=EI=式中：u=2 VD12(1-μ)6M.板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力的代数和，即：mx=。+t2梁的复杂弯曲中曾指出，船体中的梁刚度EI较大故而参数u的值很小（一般u≤0.5），从而辅助函数接近于1，因此实际计算时可以不计轴向力对弯曲要素的影响。对船体板，因板厚不大，板条梁的刚度D较小，使得板条梁在复杂弯曲时的参数u相当大（对一般海船板条梁的u比梁的u值大10倍左右）辅助函数与1相差很大，因此中面力对板的影响很大不可忽略。中面拉力它将减小板的弯曲应力，是有利的：中面压力它将增大板的弯曲应力，是不利的。计算步骤：筒形弯曲？D代替EI受中面力柔性板板条梁复杂弯曲单跨梁（查表B）是中面力已知5

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 5 2、筒形板的复杂弯曲 横骨架式甲板板与船底板，受横向载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力（中面 力），在这种情况下仍将发生筒形弯曲，在板中取出板条梁将处于复杂弯曲状态，板条梁复杂弯曲的 微分方程式及基本关系式为： (4) Dw Tw q Dw M Dw Tw N          （式中 T 前“  ”拉力，“+”压力） （9-10） 2 l T u D  ， 3 1 2 12(1 ) Et D E I     注：板条梁的弯曲要素与单跨梁的复杂弯曲情况下的弯曲要素完全一样，查附录 B 例如：两端自由支持的板条梁，梁的中点挠度与弯矩分别为： 4 0 2 0 5 ( ) ( ) 2 384 ( ) ( ) 2 8 l ql v f u D l ql M u     （9-11） 式中： 2 l T u D  ， 3 1 2 12(1 ) Et D E I     板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力的代数和，即： max max 0 2 6M t    梁的复杂弯曲中曾指出，船体中的梁刚度 EI 较大故而参数 u 的值很小（一般 u  0.5 ），从而辅 助函数接近于 1，因此实际计算时可以不计轴向力对弯曲要素的影响。对船体板，因板厚不大，板 条梁的刚度 D 较小，使得板条梁在复杂弯曲时的参数 u 相当大（对一般海船板条梁的 u 比梁的 u 值 大 10 倍左右）辅助函数与 1 相差很大，因此中面力对板的影响很大不可忽略。中面拉力它将减小板 的弯曲应力，是有利的；中面压力它将增大板的弯曲应力，是不利的。 计算步骤： 受中面力柔性板 筒形弯曲？ 是 板条梁 D EI 代替 中面力已知 复杂弯曲单跨梁（查表 B）

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论例：设有一两端自由支持的板条梁，1=1000mm,t=10mm,受均布荷重g=0.05N/mm2，并有中面应力。=100N/mm2，计算此板条梁的最大应力。材料的弹性模数E=2×10°N/mm2。1[12(1 - μ)00 = 3.710ot解：假设为拉应力，计算参数u：u2VD2iVE由附录表B-3得P(u)=0.14,ql?1x0.05x1000*×0.14=-875N.mm/mm则板条梁终点的最大弯矩为：MCPo(u)=8826M.6x87552.5N/mm2最大弯曲应力为：Obmaxt102最大的总应力为：0max=0。+Obmax=152.5N/mm2:-6250N·mm分析：如果板不受中面力，则板条梁的最大弯矩为：MC-X6M375N/mm2）235N/mm最大的总应力为：Omax12Et3=1.83x10'N/mm2D=E,I=12(1-μ)5qlt=35.6mm梁中点的挠度“)384D结论：板若无中面拉力，就不能承受g=0.05N/mm2的横向荷重，更不能承受中面压力。中面力对弯曲要素的影响：①、中面拉力对变形有利：中面压力对变形不利：1oot②、板条梁的长影响大，u=2VD③、板的复杂弯曲，中面力对板的弯曲要素的影响显著：（板的D很小、u>>0.5辅助函数和1相差较大，中面力不能忽略）讨论：从例题可以看出：（1）中面拉力对板的承载起了很大的作用：V（2）如果没有中面力，板在横载荷下就会发生很大的应力和变形：X（3）板似乎不能承受中面压力。×对于（2）（3），由于骨架相当强，板不能自由趋近，因此，板变形会自身产生中面力。6

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 6 例：设有一两端自由支持的板条梁， l 1000mm,t 10mm, 受均布荷重 2 q  0.05N/mm ，并有中 面应力 2 0  100N/mm ，计算此板条梁的最大应力。材料的弹性模数 5 2 E  2 10 N/mm 。 解：假设为拉应力，计算参数 u ： 3.7 12(1 ) 2 2 0 2 0     t E l D l t u    由附录表 B-3 得 0 (u)  0.14， 则板条梁终点的最大弯矩为： 2 2 0 1 ( ) ( ) 0.05 1000 0.14 875N mm/mm 2 8 8 l ql M u            最大弯曲应力为： 2 max 2 2 6 6 875 52.5N/mm 10 b M t      最大的总应力为： 2 max 0 max       b 152.5N/mm 分析： 如果板不受中面力，则板条梁的最大弯矩为： 1 2 2 ( ) 6250N mm 2 8 l M ql      最大的总应力为： 2 max 2 6 375N/mm M t    〉 2 235N/mm 3 7 2 1 2 1.83 10 N/mm 12(1 ) Et D E I       梁中点的挠度 4 5 ( ) 35.6mm 2 384 l ql w D   结论：板若无中面拉力，就不能承受 2 q  0.05N / mm 的横向荷重，更不能承受中面压力。 中面力对弯曲要素的影响： ①、中面拉力对变形有利；中面压力对变形不利； ②、板条梁的长影响大， D l t u 0 2   ③、板的复杂弯曲，中面力对板的弯曲要素的影响显著；（板的 D 很小、 u  0.5 辅助函数和 1 相 差较大，中面力不能忽略） 讨论：从例题可以看出： （1）中面拉力对板的承载起了很大的作用；√ （2）如果没有中面力，板在横载荷下就会发生很大的应力和变形；  （3）板似乎不能承受中面压力。  对于（2）（3），由于骨架相当强，板不能自由趋近，因此，板变形会自身产生中面力

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论3、筒形板的大度弯曲解释图9-7，图9-8板弯曲时支座对板边的趋近有阻碍作用，因而产生中面力，该中面力是未知的（静不定的中面力），需要根据弯曲变形的大小来决定。下面具体讨论中面力与挠度之间的关系：在板条梁中取一长度为dx的微段，变形厚的长度为ds，( d) = dr 1+((dw)ds2 = dx2 +(dxdxdx~1+ds=1+/dx=dx+-w"2dx21w'2dx微段变形后的伸长量：ds一dx：2wdx整个梁的伸长量：△s=2JAs.-T设板条梁长度方向的应变为8，则：6TEE,TI"w"dx(9-15)E,t确定静不定纵向力的补充方程，板在筒形弯曲时的变形协调方程（中面力与挠度的关系）将上式中带入板条梁的复杂弯曲微分方程式Dw(4)-Tw"=q求出挠曲线方程w(x)，再回代到上式求得中面力T。21chu(1ql4ql'x（1)、板条梁两端自由支持受均布荷重时：w(x)=(1-x)16uD8u'Dchu927 th'u135135thu将w(x)代入（9-15）式积分得：(9-17)16u8u16u°16u82xchu(1-ql4ql'x11（2)、板条梁两端刚性固定受均布荷重时：w(x)=(I- x)8u'D16u'Dthuchu7

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 7 3、筒形板的大挠度弯曲 解释图 9-7，图 9-8 板弯曲时支座对板边的趋近有阻碍作用，因而产生中面力，该中面力是未知的（静不定的中面 力），需要根据弯曲变形的大小来决定。下面具体讨论中面力与挠度之间的关系： 在板条梁中取一长度为 dx 的微段，变形厚的长度为 ds ，                   2 2 2 2 2 ( ) 1 dx dw dx dx dx dw ds dx 2 2 2 1 1 1 2 1 2 dw dw ds dx dx dx dx dx w dx                               微段变形后的伸长量： 1 2 2 ds dx w dx    整个梁的伸长量： 2 0 1 2 l  s w dx   设板条梁长度方向的应变为 x  ，则： 0 1 1 x s T l E tE       2 0 1 1 2 Tl l w dx E t    （9-15） ——确定静不定纵向力的补充方程，板在筒形弯曲时的变形协调方程（中面力与挠度的关系） 将上式中带入板条梁的复杂弯曲微分方程式 (4) Dw Tw q    求出挠曲线方程 w(x) ，再回代到上式 求得中面力 T 。 （1）、板条梁两端自由支持受均布荷重时： 4 2 4 2 2 (1 ) ( ) 1 ( ) 16 8 x chu ql ql x l w x l x u D chu u D                将 w(x) 代入（9-15）式积分得： 2 8 2 2 9 8 3 6 135 27 135 9 (1 ) 16 16 16 8 E t thu th u  q l u u u u                  （9-17） （2）、板条梁两端刚性固定受均布荷重时： 4 2 3 2 2 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) 16 8 x chu ql ql x l w x l x u D thu chu u D               

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论8127279E将w(x)代入（9-15）式积分得：(9-19)16u'thu16ushu4u8u(1-μ)q4u'DT由（9-17）及（9-19）求得u后，板的中面力为：712H以 bg10 * JU实际应用中我们查表求u，具体见表9-7、表9-8所示。令：U=1-为竖轴，以u为水平轴绘出log10*Ju～u的关系曲线。.5+:4et因11na山a推线A-出线A#自014自线B-南4到5：山线C#车用12结论：当板的柔性大（1个,t），且外载荷大时，中面力增加（U,u个,T个)；当板的柔性小（1,个)，且外载荷小时，中面力减小（U个,u,T）：简形板的大挠度弯曲的计算步骤：E1、求U=a-)g2、查log104/U~u曲线得u：3、求T=4u°D124、板条梁的复杂弯曲求解。8

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 8 将 w(x) 代入（9-15）式积分得： 2 8 2 7 6 2 8 6 81 27 27 9 (1 ) 16 16 4 8 E t  q l u thu u sh u u u                   （9-19） 由（9-17）及（9-19）求得 u 后，板的中面力为： 2 2 4u D T l  。 实际应用中我们查表求 u ，具体见表 9-7、表 9-8 所示。令： 2 8 2 (1 ) E t U  q l               ，以 4 log10 U 为竖轴，以 u 为水平轴绘出 4 log10 ~ U u 的关系曲线。 结论：当板的柔性大（ l ,t  ），且外载荷大时，中面力增加（ U ,u ,T  ）； 当板的柔性小（ l ,t  ），且外载荷小时，中面力减小（ U ,u ,T  ）； 筒形板的大挠度弯曲的计算步骤： 1、 求 l K t q E U 1 (1 ) 2 8 2                 ； 2、 查 log10 U ~ u 4 曲线得 u ； 3、 求 2 2 4 l u D T  ； 4、 板条梁的复杂弯曲求解

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论例：前面例题，如无中面力，计算板有弯曲变形而产生的中面力，并计算板的应力和变形。E计算出U：解：先按公式U(1-1-22×105=19.32×10-4(1-u)g(1-0.32)x0.05100log104/U=log439.5=2.643查图9-7得u=2.604×2.62×2×105×103T=4u'D12(1-0.3)=495N1210002T495=49.5N/mm2C。tx1105ql查附录B的板条梁中点最大的挠度与弯矩为：384岁6(u)=9.51mmql?MC-(u)=-1590N·mm/mm826M95.4N/mm2ObmaxOmx =O。+b,max =144.9N/mm2讨论：1、实际结构应是介于完全可以自由趋近与完全不可趋近之间，因此实际结构中的中面力应比上式计E算的结果要小，为考虑这点令U式中：K称为“支撑系数”在0到1之间(1-μ2)gK变化：①、K=1时，表示板边完全不可趋近：②、0<K<1时，板可以趋近一些但不可完全趋近，这时U比K=1时的U要大些，从而u减小，即板的中面力小些；③、K=0时U→u=0，表示板没有中面力实际中当0<K<1时，对中面力的影响不太大，只有K=0,1时影响大些两者的辅助函数相差不大，一般计算时取K=0.59

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 9 例：前面例题，如无中面力，计算板有弯曲变形而产生的中面力，并计算板的应力和变形。 解：先按公式 2 8 2 (1 )               l t q E U  计算出 U ： 4 2 8 2 5 2 8 2 19.32 10 100 1 (1 0.3 ) 0.05 2 10 (1 )                                  l t q E U  log10 log 439.5 2.643 4 U   查图 9-7 得 u  2.60 N l u D T 495 1000 12(1 0.3 ) 2 10 10 4 2.6 4 2 2 5 3 2 2 2         2 0 49.5 / 10 495 1 N mm t T      查附录 B 的板条梁中点最大的挠度与弯矩为： 4 0 5 ( ) ( ) 9.51mm 2 384 l ql w f u D   2 0 ( ) ( ) 1590N mm/mm 2 8 l ql M u       2 ,max 2 6 b 95.4N/mm M t    2 max 0 ,max       b 144.9N/mm 讨论： 1、实际结构应是介于完全可以自由趋近与完全不可趋近之间，因此实际结构中的中面力应比上式计 算的结果要小，为考虑这点令 l K t q E U 1 (1 ) 2 8 2                 式中： K 称为“支撑系数”在 0 到 1 之间 变化； ①、 K 1 时，表示板边完全不可趋近； ②、 0  K 1 时，板可以趋近一些但不可完全趋近，这时 U 比 K 1 时的 U 要大些，从而 u 减小，即板的中面力小些； ③、 K  0 时 U  ,u  0 ，表示板没有中面力。 实际中当 0  K 1 时，对中面力的影响不太大，只有 K  0,1 时影响大些两者的辅助函数相差不大， 一般计算时取 K  0.5