实验7微分方程的解析解和近似解 实线目的 1.理解微分方程解的念： 掌解微分方程的 thematica命今Solve与DSo1v及其求解结果的使用， 实治预备内容 1.复习有关数学内容 微分方程的将念、微分方程的解、线性微分方程解的结构、常系数线性微分方程的解法、 分方程的定解条件及其近似解的将念， 2.复习Mathematicai语句 [x]=D、[r]、隐函数求导、C1er[w]、p1ot、ParametricP1ot、表[[i]、1 Solve,0So1we 等语句的格式与用法。 实卷过程 1.纯函数及其表示 前面我们学习了函数的表示方法，介绍了纯函数及其表示方法。而微分方程的解用纯函数表 Mathenatica中纯函数的定义有两种方式： 格式1：Function变量表表达式】 例：Ef= nction[x,x^2】,定义了一个取平方的通数EE,ff[]表示。 格式2：表达式a 格式2表达式中的支量为#，1,2等。 倒：(1-)定义了一个函数:= 2.解线分方程 求解微分方程可用函数So1e,其格式如下： 格式：DSo1ve[方程.y,x] 功能：表示y作为x的函数，求“方程”的解， 要求：方程”中的，以完的式来，“方程”中的等号写成“”的形式。若有 初始条件，应将初始条件和方程一起给出。结果以纯涵数的式表示。 例1：求（伏2-D史+2y-co0sx-0在初始条件小。-1下的特解，并画出解的图形。 sol=DSolve[f'2-1)y [x]+2x y[x]-Cos[x]==0,y[0]==1],y.x] 求出解的形式为： 将其中的纯函数提取出来并作出解的图形：
实验 7 微分方程的解析解和近似解
ff=y/.so[[1]] PLot[ff[x],(s,0,1]] 0,20.40.60.8 求解微分方程是一个比较困难的事情，尤其求其精确解，但我门可用Ⅻ6o1ve来求其近似解。 mS1oΨ。用来求自变量取某个范围时，满足微分方程及相关初始条件的未知函数的数值解，其解常 用插值纯函数来表示。常用的格式： o1ve方程，,1,x21 例2：求解二阶微分方程y+3y儿闲+e”=0的通解。 输入1so1ve[y”[x]+3y[x]+坦^x==0,]得 、e -0-3MC1]+C12] 成通方y-号号+6 输入 C1ary小： DSolve[iy‘[x]+yx]tx2yx]==里x,y0]==0,y[0]==1,y,0,8] 可看出求不出这一初值问题的解。再输入 Clear [y]: 6y【]xyx]tx2yx=g，y0]==-0,yo]=iyx,0,8] 将其解记为aa,通过命令yFy.a[1]得到插值函数y,可对y作图等其它操作依次输入 列命令： Clear[y]: aa=NDSolve[y'x+xy[x]+x2yx]==g%y0]==0,y0]==1},{x,0,8}】 02 F1ot[y[x],x,0,8] 其输出怅次为： [fy->InterpolatingFunction[[(0.,8.1],]1]
InterpolatingFunction[[[0.,8.]]"<>" 1.72681 2 d 8 x)=-y()-x()2 例3：求解微分方程组y(t)=2x()一y(t) t∈[0,10]，计算x(1.2),y(1.2)的值， 2x0)=y(0)=1 并画出y(t)和yx)的图象。 In[1]:=Clear [x,y]: sol NDSolve[x'[t]==-y[t]-x[t]"2,y [t]=2x[t]-y[t], x[0]==y[o]=1},{,y},{t,0,1o}] 0ut[1]={{x->InterpolatingFunction[{{o.,10,}】,"InterpolatingFunction[{o.,10.】,""] InterpolatingFunction[[0.,10.]]"<>"] In[3]:={p[1.2],q[1.2]} 0ut[3]={-0.301149,0.432898] 画出y[t]函数图： In[4]:=Plot[Evaluate[y[t]/sol],(t,0,10]] 0.75 0.5 0.25 10 -0.25 -0.5 再画出解函数曲线图： In[5]:=ParametricPlot[Evaluate[ix[t],y[t]]/.sol],[t,0,10],PlotRange->All] 9.75 0.5 0.25 -0.4 -0,7 04 0,6 0.8 1 -0.25 自己动手 1.求解下列微分方程： 1)一阶线性方程y'-x2=1. 2)伯努利方程y-2-y=0. (3)y"-3y'+2y=3c0sx. 4)y"-y3y42y=0. 5)欧拉方程x3y+x2y"-4=3x2. (6)y-2y4+5y=e*sin 2x. 「dx