第十章曲线积分与曲而积分 第三节格林公式及其应用 一格林公式 平面连通区城：设D为平面区城，如果D内任一闭曲线所围高分都属于D,则 称D为平面单连通驱，否则称为发连通驱蛛。 脚：区黄巴x1+≤利为驱选 D=(x,川y2x2) 区=《为2+54+>P为连区装 D4=(x,y)10<x2+y2<4) ○ 平面区城D的边界线的正的：规定为：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在 近 处的那一部分总在她的左边. 例如：乙的正向为这时针方向：的正向为顺时针方向。 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,),Q(x,y)在D上具有 阶连续导数，则有 +-小密等 y 其中L是D的取正向的边界线，D可以不是单连通区威。 说明1°公式(1)对单连通区城及复连通区城都成立，称为格林公式 2”当D是复连通区城时（如图），则有 小架器a-P+0脚fa+0-fr+e
1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用
少令P=-%2=x,则D的面积A=动- 如哈2=xP=0,则D的面职A=fx 正仅就区城D既是x一型区城，又是y一区城来证明， 设D={(x,y)川a≤x≤b,9(x)≤y≤吗(x》, 因的号， ↑yLy=(x) 小器h=-”4y a bx =Px,4》-P,%(k 男外手Pt=P+P=PxA(xda+PxAx =∫[P(x,%(x)-Px,%(x》 于是有 小号h中-Pa 设D=(xy)川40)≤x≤5(y),c≤y≤d),类似地可得 fous 从两恤+Q购=小竖-h 例1求椭国x=acos,y=bsmt所围图形的面积。 解职4=-k=labcos+ob血'座=πab
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2计3+x，其中D由y=1,x=2及y=x图成的三角形驱城的 正向边界。 解方法P=3,2=xy, yy=x个C 由格林公式得3d款+油 b12 -川2ouo=2faow-号 方法二 +-+c+恤-号 -I 解P=x+y'2=+7 架活苦 由于P,Q在D上不连续，所以不能直接利用格林公式。 取一半径适当小的圆周1：x2+y2=2,在D用格林公式，有 空之-婴器0 学+9-f湾-02 想一想，直接计算，如何？
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r{-广 [y=2sint 二、平面上曲线积盼与落径无关的条科 在上一目中，我们看到：有的对坐标的曲线积分与路径无关，而只与积分路径起点 和终点有关，有的对坐标的曲线积分与路径有关，物理学中也有这们的的问题〔例如： 质点运动时力场所作的功等)因此，我们要讨论这样一个问题：在什么样的条件下，对 坐标的曲线积分与积分路径无关，而仅依赖于曲线的起点与络点？ 设G为一个开区城，P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数如果对于G 内任意指定的两点A,B及G内从点A到点B的任意两条曲线L1,乙，等式 JPdr+e妙=Pdr+edy(*) 恒成立，就称曲蛾∫Pd众+Qd的在G内与 路径无头，否则便说与潞径有关。 由曲线积盼与路径无关的概念容易得到：曲线积盼Pd+在G内统路径 无关的充分必要条件是小Px+Q动=0，其中C为G内任意闭曲线。 定理2设开区城G是一个单连题城，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏 导，线粉P+Q幼在G内与路径无关的流分要条件方：2在 x G内恒成立。 臣延先性，四EG为指粒：号光利G内银数C,新 P咖+e的-尝罗h=0 从而有曲钱积分∫，P红+Qd的在G内与路径无关。 y三 说明1°对上次课中的曲线积盼∫2x0沁x+x2的
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国助号-职-2x壁个驱装网玉的立，肚2本+沙银 分路径无关，∫20k+x2d=1. 上次中-a,a写=-：器-1，自与 路径有关 当为4C8(号+长=1)， -n 2 当工为直线AB(y=名x-b)时， 2°在定理2中要求：(1区城G是-个单连通城【2涵数P(x,),Q(x,月 在G内具有一阶连续偏导数。如果两个条件之一不满足，那么一股来说，定理结论不能 成立。 (x-1)2+y2=4(取逆时针方向)，尽管 3x ,由于P在D上的点(0,0)处不 不为零事实 上： 41 1=湾-2 4计算(x2-y)红-(x+sim2y)的，其中L是圆 5
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周y=√2x-x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧 法圆的拳数方程为不=1+cos: 0分1=元，A分= |fid0+co时-m水m0-0+eo+m'm0coea=9-3 肤P=公-功Q=-+m'功，心-=-1，购5格 o·月-+小p+ey物-号子* 可 三、二元函数的全微分求积 (1)当函数P(x,y),Q(x,y)满足什么条件时，P(x,)dx+Q(x,)少才是 函数(x,y)的全微分？ （2)如P(x,)+Q(x,)dy是函数u(x,y)的全微分，如何求出函数 u(x,y)? 定理3设开区域G是一个单连通，函数P(x,y),2(x,y)）在内具有一阶连续偏 导数，则P(x,)红+Q(x,)dy在G内是函数u(x,y)的全微分的充要条件为： 零-器0
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期了当罗爱，接上为G性有酸，起》，动 (x,) 因曲线积分Pd众+Q中在G内与路径无关，故记 e=Pa+e的-Pea+exb 可以证明（见书）： y du=P(x.y)dx+(x.y)dy x, 号-架，省以 R(x,) ux)=Jait=PG%+∫ex 侧5着证砂-产在右半平面(x>0)内是某个函萄的全微分，并求出一个这 x2+y1 样的函数。 个y ↑C(x,y) 陆-P中水，0=+ 型-y2-x2肥 .08云 akxx+ydy en-字李-克-m就 y 周帝+0 7
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另外 +y所以0)=0，从面0)=G 败6功-+e=脚子+c
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