第十一章无穷级数 第三节幂级数 第三节领数 一、函数项领的根名 定义如果给定一个定义在区间1上的函数列：的(x),2(x,弘，(x),.， 脑有式交，闭=闭，情物，因 为定义在区问【上的〔函数项)无穷数，简称为（函数项）级数 对于工若数项领数立从()收盆（或发散，则称石为函数项级数 含4，因的个点（点》 通空4因沙超点（家意）的全为 含问的减a() 函数项级数∑山，(x)的和是x的函数，称为和晒数，记为6()， 即6对-24（闭 例如：对于级数∑ax2,收敛城(-1，)，发散城（←60，-1小U[1,+网）， 和晒数为6（闭=1天 注1°常用“级数收效于()”这句话来代替“级数的和函数为()”， 2°设锁数〔1)的前n项之和为品，()，在收敛城上有：1m,()=(x) 9记余项(x)=5,()-s(),则在收敛城上有：m”()=0. 二、级数及其收效性
1 第十一章 无穷级数 第三节 幂级数
1.幂领数的相名 脚字，红-=a+a-)+a,红-+h+a-h 的函数项级数称为级数。 2.级数收敛性的特征 我们庄要讨论最简单的幂级数∑a,产=4+4x+a2+A十a,x+A· 问题是：对于给定的一个写钙数，它的收效域和发数域是怎样的？即在那些点外显钙 数收敛，在那些点处幂级数发散？ 考察得级莹之（公比g=不，等批领数.在此中看到，级数的收敛城是 一个区间。实际上，这个结论对一毁的第须数也成立。 定理（阿贝尔定理】 1)若程空4，术当=有0时收效（国数空收续， 则在调足不等式x的一切点x处，数之,产绝对牧。 |x石的一切点x处，领数立a,发数。 -0 推论蒂领数立a,的收敛性必为下列E种情花之一： 〔1)存在正数R,当R时发散：当=R时 可能收敛也可能发散 (2仅当x=0时收敛：
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」（3)在(-0，+o0)内处处绝对收敛. 了.幂领数的收敛半径、收触区间的念 定义如果存在正数R,使得当闪R时， -0 维公a,产发数，则称R为领数之Q,的收德半轻，并称开区间(-R,利为 易级数之a,的收嫩区间。 -0 住心如果级数a,仅在天三0时收效，则湖定其收效半轻R=0:如果级 2°在收敛区间（←R,R)内，幂级数∑4，x产一定绝对收敛。 少数立a的放数道可花是(-风的，索-R,-R用， 或[-R,R] 4.求收微半径的方法 设哥领数为立，（) 标：周 (或x=典，网 第二步再令(x)<1,得x-对<R.R即为收敛半径. 3
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p 0<p<+00 令0=总型，则R={ p=0 0p=0 例1求下列幂级数的领数的收敛半径、收敛区间与收敛城： (1)x* 为22* 2n 2*. vw=-等 x2+22 x 令p(x)1→lx<2-2<x<2 当不=-2时，领数成为它少，是收的： 2 故收敛半径R=2,收敛区间为(-2,2)，收敛域为[-2,2】， (x-1)+12n 令(x)<1→lx-1<1→0<x<2 名·是发的 当不=0时，级数成为龙1， 当不=2时，成为乞-，是收的
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故收敛半径R=2,收敛区间为(0,2)，收敛城为(0,2]。 cww-周a号 L(x+D222| n+0(x+02 令()0,和晒力（闭，收效减为1， 〔1)和函数S(x)在收敛域1内连续， （2)和函数S(x)在收敛区间（一R,R)内可导，且有逐项求导公式 闭-2rj-2a,ry-2m, (xR) 和函数(x)在收敛域【内可积，且有逐项积盼公式
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a-2r-2a-2品(e 注幂级数逐项求导或逐项积盼后所得锁数的收敛半径一定不变，但收敛城可能会改变、 如空点 (-1<x<1) ②r-宫a高 1 (-1<x<1) 2r-含o-aew :脚2g:2m 2 解(1)幂领数的收敛域为（一√巨，√） ◆0-25<则 a6=2会=24-2 。(5<x<v②.l -(jiawa a)22=0=3 2
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解（1)幂级数的收敛域为(-1，)。 令闭=2a+x(1<x<0,则 w-宫y-宫w-(宫j② jj 1<x<0 ca2+”2”a+D- 21 22 解4K书制6)求得数之工的和品数，并球数公少的和， -02十 解〔1)幂数的收敛域为[-1,1) (←1≤x<1),则 -2篇*☒恤2- (←-1≤x<1,x≠0) 0=1(支0=闭=[h0- 」lh1-)-1≤x<1,x0 故s()= 1 x=0
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