第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结 习题41 1.证明：两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后，其类型不会改变，即变换 后△=2-a11a12的符号不变。 2.判定下述方程的类型： (1)x2uzr-y2uwy =0; (2)4r+(e+2uvw=0 (3)urx+yuyy =0: (4)sgn yurs+2uy+sgn ruuy-0.其中 ,z>0 sgnx=0,=0 -1,x0为双曲型：当x=0或=0时，△=0为抛物型， (2)△=-（红+）2≤0，在直线x+y=0上，△=0为抛物型：其余处△0为双曲型. ()④△=1-sgn sgn,在坐标辅和二、四象限△>0为双曲型：在一、三象限△=0为抛物型. 3.化下列方程为标准形式： (（)u+4u+5w+4+2y=0: (2)2u+2ryu+yuw=0: 3)um+ug=0: (4)urz-2cos ur-(3+sin2 z)uw-yu=0: (6)1+x2)uzz+(（1+y2)4w+xu+g=0. 解()△=4-5=-1<0.方程为椭圆型.特征方程为（尝2-4尝+5=0
✶♦Ù ✓✣❶✺➔❻➞➄➜✛➞❛❺♦✭ ❙❑ 4-1 1. ②➨➭ü❻❣❈þ✛✓✣❶✺➄➜➨▲❣❈þ✛➀❴❈❺➜Ù❛✳Ø➡❯❈➜❂❈❺ ∆ = a 2 12 − a11a12 ✛❰ÒØ❈. 2. ✞➼❡ã➄➜✛❛✳➭ (1)x 2uxx − y 2uyy = 0; (2)uxx + (x + y) 2uyy = 0; (3)uxx + xyuyy = 0; (4)sgn yuxx + 2uxy + sgn xuyy = 0➜Ù➙ sgn x = 1, x > 0 0, x = 0 −1, x 0 ➃❱➢✳➯✟ x = 0 ➼ y = 0 ➒➜∆ = 0 ➃✍Ô✳. (2)∆ = −(x + y) 2 ≤ 0➜✸❺❶ x + y = 0 þ➜∆ = 0 ➃✍Ô✳➯Ù④❄ ∆ 0 ➃❱➢✳. (4)∆ = 1 − sgn x sgn y➜✸❿■➯Ú✓✦♦➊⑩ ∆ > 0 ➃❱➢✳➯✸➌✦♥➊⑩ ∆ = 0 ➃✍Ô✳. 3. ③❡✎➄➜➃■❖✴➟➭ (1)uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0; (2)x 2uxx + 2xyuxy + y 2uyy = 0; (3)uxx + yuyy = 0; (4)uxx − 2 cos xuxy − (3 + sin2 x)uyy − yuy = 0; (5)(1 + x 2 )uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + yuy = 0. ✮ (1)∆ = 4 − 5 = −1 < 0➜➄➜➃ý☛✳. ❆✍➄➜➃ ( dy dx) 2 − 4 dy dx + 5 = 0➜ 1
解之得光=2士=(2+0肛+，即y-2z-江=:引入变换 =-2-2= 刀=x (0=1别=0) ,是-+贵-瑞+票-爱-瑞+器 代入化简得 装+器+需-0 2②)△=y-了=0方程为抛物型特征方程为r(尝2-2是+=0， 解之得皇-兰y=一因光入变接 - 有定资+六影瑞器+-+器 代入方程化简得 x2m=0 4m=0(c≠0) (3)△=- ()当y<0为双曲型，特征方程为（尝P+y=0.解之得票=±V可。x土2可=6引入变换 E=+2 =x-2v号 0乎u 宗-装-高+器-r+发-r+-r 代入化简得 1 "+2-可-w,)=0 2
✮❷✚ dy dx = 2 ± i, y = (2 + i)x + c➜❂ y − 2x − ix = c1. Ú❭❈❺ ξ = y − 2x ( ∂ξ ∂x = −2, ∂ξ ∂y = 1) η = x ( ∂η ∂x = 1, ∂η ∂y = 0) ❦ ∂u ∂x = ∂u ∂ξ (−2) + ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x2 = −2(∂ 2u ∂ξ2 (−2) + ∂u ∂η ) − 2 ∂ 2u ∂ξ∂η 2 + ∂ 2u ∂η2 = 4∂ 2u ∂ξ2 − 4 ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ 2u ∂η2 ∂u ∂y = ∂u ∂ξ , ∂ 2u ∂y2 = ∂ 2u ∂ξ2 , ∂ 2u ∂x∂y = −2 ∂ 2u ∂ξ2 + ∂ 2u ∂ξ∂η ➇❭③④✚ ∂ 2u ∂ξ2 + ∂ 2u ∂η2 + ∂u ∂η = 0 (2)∆ = x 2y 2 − x 2y 2 = 0 ➄➜➃✍Ô✳. ❆✍➄➜➃ x 2 ( dy dx) 2 − 2xy dy dx + y 2 = 0➜ ✮❷✚ dy dx = y x , y = cx. Ï❞Ú❭❈❺ ξ = y x η = x ❦ ∂u ∂x = ∂u ∂ξ (− y x 2 ) + ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x2 = ∂ 2u ∂ξ2 y 2 x 4 + ∂ 2u ∂ξ∂η (− y x 2 ) + ∂u ∂ξ 2y x 3 + ∂ 2u ∂ξ∂η (− y x 2 ) + ∂ 2u ∂η2 ∂u ∂y = ∂u ∂ξ 1 x , ∂ 2u ∂y2 = ∂ 2u ∂ξ2 1 x 2 , ∂ 2u ∂x∂y = ∂ 2u ∂ξ2 (− y x 3 ) + ∂ 2u ∂ξ∂η 1 x − 1 x 2 ∂u ∂ξ ➇❭➄➜③④✚ x 2uηη = 0 ❂ uηη = 0 (x 6= 0) (3)∆ = −y (Þ)✟ y < 0 ➃❱➢✳➜❆✍➄➜➃ ( dy dx) 2 + y = 0➜✮❷✚ dy dx = ± √ −y, x ± 2 √ −y = c➜Ú❭❈❺ ξ = x + 2√ −y η = x − 2 √ −y ∂ 2u ∂x2 = ∂ 2u ∂ξ2 + 2 ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ 2u ∂η2 ∂ 2u ∂y2 = ∂ 2u ∂ξ2 (−y) −1 + 2 ∂ 2u ∂ξ∂η y −1 + ∂ 2u ∂η2 (−y) −1 + ∂u ∂ξ (− 1 2 (−y) − 3 2 ) + ∂u ∂η 1 2 (−y) − 3 2 ➇❭③④✚ uξη + 1 2(ξ − η) (uξ − uη) = 0 2
(i)当y=0为抛物型，已是标准型 (曲当y>0为椭圆型，特征方程为（之P+y=0,解之得皇-士iV@,即有x+2V万=G,因此 引入变换 E=x 7=2Vg 代入化简得 4e+m-山，=0 (④△=cs2r+B+sim2)=4>0为双曲型.特征方程为（坐2+2cs光-3+sm2)=0, 解之得岩=-s1士2.甲2红+血r+y=4,2红-血2-g=@,引入变换 =2红+simx+ n=2x-sin-y 器-+m爱+2-2+-a票-血袋+血瑞 02 需等需-院+高e-院 -袋-=0 a=-+的0+<0为型特证方程(》+-是= 解之得血(g+V1+乎)±i(e+V1+)-G,引入变换 =m(y+V1+) 刀=m(e+1+z) 有-+生=中袋+(+ 0x2 4.证明：两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过白变量及未知函数的可逆变
(ß) ✟ y = 0 ➃✍Ô✳➜➤➫■❖✳. (à)✟ y > 0 ➃ý☛✳➜❆✍➄➜➃ ( dy dx) 2 + y = 0➜✮❷✚ dy dx = ±i √y➜❂❦ x + i2 √y = c1➜Ï❞ Ú❭❈❺ ξ = x η = 2√y ❦ ∂ 2u ∂x2 = ∂ 2u ∂ξ2 , ∂ 2u ∂y2 = ∂ 2u ∂η2 y −1 + ∂u ∂η (− 1 2 (−y) − 3 2 ) ➇❭③④✚ uξξ + uηη − 1 η uη = 0 (4)∆ = cos2 x + (3 + sin2 x) = 4 > 0 ➃❱➢✳. ❆✍➄➜➃ ( dy dx) 2 + 2 cos x dy dx − (3 + sin2 x) = 0➜ ✮❷✚ dy dx = − cos x ± 2➜❂ 2x + sin x + y = c1, 2x − sin x − y = c2➜Ú❭❈❺ ξ = 2x + sin x + y η = 2x − sin x − y ∂ 2u ∂x2 = (2 + cos x) 2 ∂ 2u ∂ξ2 + 2(4 − cos2 x) ∂ 2u ∂ξ∂η + (2 − cos x) 2 ∂ 2u ∂η2 − sin x ∂u ∂ξ + sin x ∂u ∂η ∂ 2u ∂y2 = ∂ 2u ∂ξ2 − 2 ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ 2u ∂η2 , ∂ 2u ∂x∂y = (2 + cos x) ∂ 2u ∂ξ2 + (−2 cos x) ∂ 2u ∂ξ∂η − (2 − cos x) ∂ 2u ∂η2 ➇❭③④✚ ∂ 2u ∂ξ∂η − ξ − η 32 ( ∂u ∂ξ − ∂u ∂η ) = 0 (5)∆ = −(1 + x 2 )(1 + y 2 ) < 0 ➃ý☛✳. ❆✍➄➜➃ ( dy dx) 2 + 1 + y 2 1 + x 2 = 0➜❂ dy dx = ±i r 1 + y 2 1 + x 2 ➜ ✮❷✚ ln(y + p 1 + y 2) ± iln(x + √ 1 + x 2) = c1➜Ú❭❈❺ ξ = ln(y + p 1 + y 2) η = ln(x + √ 1 + x 2) ❦ ∂u ∂x = ∂u ∂ξ (1 + x 2 ) − 1 2 , ∂ 2u ∂x2 = 1 1 + x 2 ∂ 2u ∂ξ2 + − x(1 + x 2 ) − 3 2 ∂u ∂ξ , ∂u ∂y = ∂u ∂η (1 + y 2 ) − 1 2 , ∂ 2u ∂y2 = 1 1 + y 2 ∂ 2u ∂η2 + − y(1 + y 2 ) − 3 2 ∂u ∂η ➇❭③④✚ ∂ 2u ∂ξ2 + ∂ 2u ∂η2 = 0 4. ②➨➭ü❻❣❈þ✛✓✣⑦❳ê❱➢✳➄➜➼ý☛✳➄➜➌➼➀➧➨▲❣❈þ✾➍⑧➻ê✛➀❴❈ 3
将它化成 士m+m=f 的形式。 习题42 1.求下列方程的特征方程和特征方向： +-+ ++ 0 解（特征方程a+a号=a喝+a好，又af+a暖++a=1.所以a+a号=a号+a= 引入实参数a,3得特征方向为 (方asa,方血a方s方血 2特征方程a品-(a+a号+a)=0.又a品+a+a+a号=0.所似a品=a+a+a= 0=士方即任一点的特征方向与t轴的夹角为云 3)特征方程a-a=0.又a号+a号+a号=1.所以a6+2=1.引入实参数a得特征方向 2.证明：经过可逆的坐标变换工：=(h,.,)(位=1，.，原方程的特征曲面变为经变换后的 新方程的特征曲面，即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变性 3.试证二阶线性偏微分方程解的m阶弱间断（即直至m-1阶的偏导数为连续，而m阶偏 导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生 4.试定义阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面
❺ u = e λξ+µηv ò➜③↕ vξξ ± vηη + cv = f ✛✴➟. ❙❑ 4-2 1. ➛❡✎➄➜✛❆✍➄➜Ú❆✍➄➉➭ (1)∂ 2u ∂x2 1 + ∂ 2u ∂x2 2 = ∂ 2u ∂x2 3 + ∂ 2u ∂x2 4 , (2)∂ 2u ∂t2 = ∂ 2u ∂x2 1 + ∂ 2u ∂x2 2 + ∂ 2u ∂x2 3 , (3)∂u ∂t = ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂y2 . ✮ (1)❆✍➄➜ α 2 1 + α 2 2 = α 2 3 + α 2 4➜q α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 + α 2 4 = 1➜↕➧ α 2 1 + α 2 2 = α 2 3 + α 2 4 = 1 2 ➜ Ú❭➣ëê α, β ✚❆✍➄➉➃ ( 1 √ 2 cos α, 1 √ 2 sin α, 1 √ 2 cos β, 1 √ 2 sin β) (2)❆✍➄➜ α 2 0 − (α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 ) = 0➜q α 2 0 + α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 = 0➜↕➧ α 2 0 = α 2 1 + α 2 2 + α 2 3 = 1 2 , α0 = ± 1 √ 2 ➜❂❄➌✿✛❆✍➄➉❺ t ➯✛❨✍➃ π 4 . (3)❆✍➄➜ α 2 1 − α 2 2 = 0➜q α 2 0 + α 2 1 + α 2 2 = 1➜↕➧ α 2 0 + 2α 2 1 = 1➜Ú❭➣ëê α ✚❆✍➄➉ (cos α, 1 √ 2 sin α, ±1 √ 2 sin α) 2. ②➨➭➨▲➀❴✛❿■❈❺ xi = fi(y1, · · · , yn) (i = 1, · · · , n)➜✝➄➜✛❆✍➢→❈➃➨❈❺✛ ★➄➜✛❆✍➢→➜❂❆✍➢→✬✉➀❴❿■❈❺ä❦Ø❈✺. 3. ➪②✓✣❶✺➔❻➞➄➜✮✛ m ✣❢♠ä↔❂❺➊ m − 1 ✣✛➔✓ê➃ë❨➜✌ m ✣➔ ✓ê➃✶➌❛♠ä↕➃➄➀❯÷❳❆✍✉✮. 4. ➪➼➶ n ✣❶✺➔❻➞➄➜✛❆✍➄➜✦❆✍➄➉Ú❆✍➢→. 4
习题43 1.试回顾以前学过的求解偏个分方程定解问题的各种方法，并指出叠加原理在哪里被用到. 2.证明热传导方程 贺- 的初边值问题 u(0,)=u(l)=0 u(红，0)=p() 的解关于自变景x(00)可进行任意次个分. 3.举例说明弦振动方程不成立极值原理 4.若曲线S将区域分成与2两部分，函数u红，)在，2中分别二次连续可个，且 满足拉普拉斯方程△u-0,又u在S上一阶偏导数连续，试证明函数u(红，)在S上也具有二阶连 续偏导数，且在Ω中满足方程△u=0 习题44 1.设u(红1，.，工n)在区域上满足不等式 其中a,c在上的具有一阶连续偏导数，满足(4.38)式，且c(x)≤0，证明极值原理(4.3)成立 2.设u∈C(但)∩C()是椭圆型方程狄利克雷问题 ∑a(u,+∑，+du=f回 = i=1 ulr=() 的解，系数a,c满足第一题中的条件，则成立最大模估计式(4.4)
❙❑ 4-3 1. ➪↔✚➧❝➷▲✛➛✮➔❻➞➄➜➼✮➥❑✛❼➠➄④➜➾➁Ñ❯❭✝♥✸❂♣✚❫✔. 2. ②➨✾❉✓➄➜ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 ✛Ð❃❾➥❑ u(0, t) = u(l, t) = 0 u(x, 0) = ϕ(x) ✛✮✬✉❣❈þ x (0 0) ➀❄✶❄➾❣❻➞. 3. Þ⑦❵➨✉✟➘➄➜Ø↕á✹❾✝♥. 4. ❡➢❶ S ò➠➁ Ω ➞↕ Ω1 ❺ Ω2 üÜ➞➜➻ê u(x, y) ✸ Ω¯ 1, Ω¯ 2 ➙➞❖✓❣ë❨➀❻➜❹ ÷✈✳✃✳❞➄➜ ∆u = 0➜q u ✸ S þ➌✣➔✓êë❨➜➪②➨➻ê u(x, y) ✸ S þ➃ä❦✓✣ë ❨➔✓ê➜❹✸ Ω ➙÷✈➄➜ ∆u = 0. ❙❑ 4-4 1. ✗ u(x1, · · · , xn) ✸➠➁ Ω þ÷✈Ø✤➟ Xn i,j=1 aij (x)uxixj + Xn i=1 bi(x)uxi + c(x)u ≥ 0 Ù➙ aij , bi , c ✸ Ω¯ þ✛ä❦➌✣ë❨➔✓ê➜÷✈(4.38)➟➜❹ c(x) ≤ 0➜②➨✹❾✝♥(4.3)↕á. 2. ✗ u ∈ C 2 (Ω) T C(Ω) ¯ ➫ý☛✳➄➜✮⑤➂❳➥❑ Xn i,j=1 aij (x)uxixj + Xn i=1 bi(x)uxi + c(x)u = f(x) u|Γ = ϕ(x) ✛✮➜❳ê aij , bi , c ÷✈✶➌❑➙✛❫❻➜❑↕á⑩➀✜✎❖➟(4.4). 5
3.在Qr=(0,)×(0,T)中考察下列初边值问题 4t-a2u+b(红，t)4z+bo(z,t)4+c红，t)u=f(z,t) =0=0,(u+ku=l=0 4=0=p(r),u=0=t(r) 证明其解的唯一性及稳定性 4.建立下列初边值问题的改量估计式： h-△u+∑b(e,t)u,+c红，tu=fz,t) i=1 r=0 =0=p(a) 5.设c(工)<0.证明椭圆型方程第一边值问题(4.37八、(4.39)的解的唯一性. 6.考察边值问题 △u+∑b,(e)u,+ceu=f r=0 试证当工)充分负时.其解具有唯一性及在改量模意义下的稳定性
3. ✸ QT = (0, l) × (0, T) ➙⑧✠❡✎Ð❃❾➥❑ utt − a 2uxx + b(x, t)ux + b0(x, t)ut + c(x, t)u = f(x, t) u|x=0 = 0, (ux + ku)|x=l = 0 u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x) ②➨Ù✮✛➁➌✺✾➢➼✺. 4. ïá❡✎Ð❃❾➥❑✛❯þ✎❖➟➭ ut − ∆u + Xn i=1 bi(x, t)uxi + c(x, t)u = f(x, t) ∂u ∂n|Γ = 0 u|t=0 = ϕ(x) 5. ✗ c(x) < 0➜②➨ý☛✳➄➜✶➌❃❾➥❑(4.37)✦(4.39)✛✮✛➁➌✺. 6. ⑧✠❃❾➥❑ ∆u + Xn i=1 bi(x)uxi + c(x)u = f ∂u ∂n|Γ = 0 ➪②✟ c(x) ➾➞❑➒➜Ù✮ä❦➁➌✺✾✸❯þ✜➾➶❡✛➢➼✺. 6