第三章调和方程 习题3-1 1设小=和0供帅r=V房+.十是和维调和数（印满足方程沿++ 82u 0),试证明 f)=1+g2≠2.f)=G+gln:(=2) 其中c1,c2为任意常数 证 u=o密=f0密-r2爱=ro系+ro m2-含 3 =f+"f6 即方程au=0化为严)+”O=0,所形 %=÷0= r 若n≠2，积分得0)=-+22+G,即0=G+岛 A 若n=2,则fo)=华，故f间=G+A血r 2.证明：拉普拉斯算子在球面坐标(c,日，P)下可以写成 -异+品+器 3.证明：拉普拉斯算子在柱面坐标(r,0,z)下可以写成 A=杂++ 4.证明下列函数都是调和函数： (1)ar+by+c(a,b,c为常数)：(2)x2-2和2r:(3)x3-3xy2和3x2y-y2: (4)sinh nysin nr,.sinh ny cos nz,cothnysinnx和coth ny cos nz(n为常数)； (5)sinh r(cothr cosy)-1 siny(cothz cosy)-1. 正)冷-r+的+6则祭-票-0放△-0烈u是调和幅数 1
✶♥Ù ◆Ú➄➜ ❙❑ 3-1 1. ✗ u(x1, · · · , xn) = f(r) (Ù➙ r = p x 2 1 + · · · + x 2 n ) ➫ n ➅◆Ú➻ê↔❂÷✈➄➜ ∂ 2u ∂x2 1 +· · ·+ ∂ 2u ∂x2 n = 0↕➜➪②➨ f(r) = c1 + c2 r n−2 (n 6= 2), f(r) = c1 + c2 ln 1 r (n = 2) Ù➙ c1, c2 ➃❄➾⑦ê. ② u = f(r), ∂u ∂xi = f 0 (r) · ∂r ∂xi = f 0 (r) xi r , ∂ 2u ∂x2 i = f 00(r) · x 2 i r 2 + f 0 (r) r 2 − x 2 i r 3 Xn i=1 ∂ 2u ∂x2 i = f 00(r) · Pn i=1 x 2 i r 2 + f 0 (r) nr2 − Pn i=1 x 2 i r 3 = f 00(r) + n − 1 r f 0 (r) ❂➄➜ ∆u = 0 ③➃ f 00(r) + n − 1 r f 0 (r) = 0➜↕➧ f 00(r) f 0(r) = − n − 1 r ⇒ f 0 (r) = A1r −(n−1) ❡ n 6= 2➜➮➞✚ f(r) = A1 −n + 2 r −n+2 + C1➜❂ f(r) = C1 + C2 r n−2 ❡ n = 2➜❑ f 0 (r) = A1 r ➜✙ f(r) = C1 + A1 ln r. 2. ②➨➭✳✃✳❞➂❢✸➙→❿■ (r, θ, ϕ) ❡➀➧✕↕ ∆u = 1 r 2 ∂ ∂r (r 2 ∂u ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ (sin θ ∂u ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2 3. ②➨➭✳✃✳❞➂❢✸❰→❿■ (r, θ, z) ❡➀➧✕↕ ∆u = 1 r ∂ ∂r (r ∂u ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 4. ②➨❡✎➻êÑ➫◆Ú➻ê➭ (1)ax + by + c↔a, b, c ➃⑦ê↕➯(2)x 2 − y 2 Ú 2xy➯(3)x 3 − 3xy2 Ú 3x 2y − y 2➯ (4)sinh ny sin nx, sinh ny cos nx, coth ny sin nx Ú coth ny cos nx↔n ➃⑦ê↕➯ (5)sinh x(coth x + cos y) −1 Ú sin y(coth x + cos y) −1 . ② (1)✲ u = ax + by + c➜❑ ∂ 2u ∂x2 = 0, ∂ 2u ∂y2 = 0➜✙ ∆u = 0➜↕➧ u ➫◆Ú➻ê. 1
5.证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程 ()lnr和0：(2)rcosn0和r sinne(n为常数)：(3)rInr cos-rosin0和rInrsin+rcos0 证()由第一题知，u=mr是调和函数. 6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板(0≤x≤a,0≤y≤)上的 稳定温度分布： 偿+器-0 u(0,=u(a,)=0 u,0)=血gu=0 解令u(红，)=X()Y()代入方程 又由u(0,)=u(a,)=0得X(0)=0,X(a)=0.即得特征值问题 X"+X=0 X(0)=0,X(a)=0 则入=受P时.X回=血g:a=12.以又-（侣Py=0得 Yn()=Ane÷y+Bne-÷y 所以 g,》=∑(Ae0v+Bne)n 由另一边值得 血g-4.+B)m0=立A.c0+Be)m n= 由此得 A1+B1=1,An+Bm=0n=2,3, Ane+Bne-26=0 n=1.2,. 2
5. ②➨❫✹❿■▲➠✛❡✎➻êÑ÷✈◆Ú➄➜➭ (1)ln r Ú θ➯(2)r n cos nθ Ú r n sin nθ↔n ➃⑦ê↕➯(3)r ln r cos θ − rθ sin θ Ú r ln r sin θ + rθ cos θ. ② (1)❞✶➌❑⑧➜u = ln r ➫◆Ú➻ê. ✱✠➜ ∂u ∂r = 1 r , ∂ 2u ∂r2 = − 1 r 2 , ∂u ∂θ = 0➜✙ ∆u = ∂ 2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂u ∂θ = 0 v = θ➜❑ ∆v = ∂ 2v ∂r2 + 1 r ∂v ∂r + 1 r 2 ∂v ∂θ = 0. 6. ❫➞❧❈þ④➛✮❞❡ã◆Ú➄➜✛✶➌❃❾➥❑↕↔ã✛Ý✴➨❺ (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) þ✛ ➢➼➜Ý➞Ù➭ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 u(0, y) = u(a, y) = 0 u(x, 0) = sin πx a , u(x, b) = 0 ✮ ✲ u(x, y) = X(x)Y (y) ➇❭➄➜ X00 X = − Y 00 Y = −λ q❞ u(0, y) = u(a, y) = 0 ✚ X(0) = 0, X(a) = 0. ❂✚❆✍❾➥❑ X00 + λX = 0 X(0) = 0, X(a) = 0 ❑ λn = (nπ a ) 2 ➒➜Xn(x) = sin nπ a x (n = 1, 2, · · ·). q Y 00 n − ( nπ a ) 2Yn = 0 ✚ Yn(y) = Ane nπ a y + Bne − nπ a y ↕➧ u(x, y) = X∞ n=1 (Ane nπ a y + Bne − nπ a y ) sin nπ a x ❞✱➌❃❾✚ sin πx a = X∞ n=1 (An + Bn) sin nπ a x, 0 = X∞ n=1 (Ane nπ a b + Bne − nπ a b ) sin nπ a x ❞❞✚ A1 + B1 = 1, An + Bn = 0 n = 2, 3, · · · Ane nπ a b + Bne − nπ a b = 0 n = 1, 2, · · · 2
解得 4=-号6-号4=8=-0=28 代入u(,)中，得 红，)=2a影e0-w-c-sn=l马nhb-别s血 11 1 7.在膜型扁壳渠道闸门的设计中，为了考察闸门在水压力作用下的受力情况，要在矩形区 域0≤x≤a,0≤y≤上求解如下的非齐次调和方程的边值问题： △u=p四+q(p0常数) 2=0=0 4lg=0,g=b=0 试求解之.（提示：令v=u+(x2-2(Ug+g)以引入新的未知函数”，并选择适当的∫及g之值， 使。满足调和方程，再用分离变量法求解) 8.举例说明在二维调和方程的狄利克雷外问题中，如对解（红，）不加在无穷远处为有界的限 制，那么定解问题的解就不是唯一的。 9.设 o)=022+2+29dd+5o2-9m山 考察变分问题：求ueV,使 儿四）=mΨ(o) 其中V=C2(2)nC(②).试导出与其等价的边值问题，并证明它们的等价性. 习题3-2 1.证明(2.7)式对于M在2外与T上的情形成立 1 证()当场在n之外，则在格林公式中取：=山代入，面u为上的调利函数 -瓜(ag-am-9-as
✮✚ A1 = − 1 2 e − π a b sinh π a b , B1 = 1 2 e π a b sinh π a b , An = Bn = 0 n = 2, 3, · · · ➇❭ u(x, y) ➙➜✚ u(x, y) = 1 2 1 sinh π a b (e π a (b−y) − e − π a (b−y) ) sin π a x = 1 sinh π a b sinh π a (b − y) sin π a x 7. ✸✢✳❆❾➧✗➵⑨✛✗❖➙➜➃✡⑧✠➵⑨✸❨Øå❾❫❡✛➱å➐➵➜❻✸Ý✴➠ ➁ 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ bþ➛✮❳❡✛➎à❣◆Ú➄➜✛❃❾➥❑➭ ∆u = py + q (p 0 ⑦ê) ∂u ∂x|x=0 = 0, u|x=a = 0 u|y=0,y=b = 0 ➪➛✮❷.↔❏➠➭✲ v = u + (x 2 − a 2 )(fy + g) ➧Ú❭★✛➍⑧➻ê v➜➾➚❏➲✟✛ f ✾ g ❷❾➜ ➛ v ÷✈◆Ú➄➜➜✷❫➞❧❈þ④➛✮.↕ 8. Þ⑦❵➨✸✓➅◆Ú➄➜✛✮⑤➂❳✠➥❑➙➜❳é✮ u(x, y) Ø❭✸➹→✎❄➃❦✳✛⑩ ➏➜❅♦➼✮➥❑✛✮ÒØ➫➁➌✛. 9. ✗ J(v) = ZZZ Ω 1 2 [(∂u ∂x) 2 + (∂u ∂y ) 2 + (∂u ∂z ) 2 ]dxdydz + ZZ Γ { 1 2 σu2 − gu}ds ⑧✠❈➞➥❑➭➛ u ∈ V ➜➛ J(u) = min v∈V J(v) Ù➙ V = C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). ¯ ➪✓Ñ❺Ù✤❞✛❃❾➥❑➜➾②➨➜❶✛✤❞✺. ❙❑ 3-2 1. ②➨(2.7)➟é✉ M0 ✸ Ω ✠❺ Γ þ✛➐✴↕á. ② (1)✟ M0 ✸ Ω ❷✠➜❑✸❶✕ú➟➙✒ v = 1 rMM0 ➇❭➜✌ u ➃ Ω þ✛◆Ú➻ê 0 = ZZZ Ω u∆(1 r ) − 1 r ∆u dΩ = ZZ Γ [u ∂( 1 r ) ∂~n − 1 r ∂u ∂~n]dS 3
(2)当Mo在2的边界T上时，在区域上以Mo为心，充分小正数e为半径的球K,则在剩下的 区域\K。中函数v=1一是连续可导的，由于e充分小，故可认为剩下的区域为趴乡（是 0=瓜@-m=儿g品的-器as专一半球表间 八品的s=儿(-品s=儿s=ra儿，w=m -儿品的-器4s=2+2a0 令e一0.则得 -品中-0as=2o 2.若函数u(工，)是单位圆上的调和函数，又它在单位圆周上的数值已知为“=s血0，其中日表示极 角，问函数u在原点之值等于多少？ 解由定理2.2 06=安人血触=云血a0=0=1间 3.如果用拉普拉斯方程表示平衡温度场中温度分布函数所满足的方程，试闸明使诺依曼内问题有解的 条件厂faS=0的物理意义. 4.证明：当u()）在闭曲面「的外部调和，并且在无穷远处成立 而M6是下外的任一点，则公式(2.6)仍成立 5.证明调和方程狄利克雷外问题解的稳定性. 证设 △u=0(在2之外) △u°-0 ulr=f u'lr =f lim u(r)=0 lim u*(r)=0
(2)✟ M0 ✸ Ω ✛❃✳ Γ þ➒➜✸➠➁ Ω þ➧ M0 ➃✪➜➾➞✂✔ê ε ➃➀➺✛➙ Kε➜❑✸➄❡✛ ➠➁ Ω\Kε ➙➻ê v = 1 rMM0 ➫ë❨➀✓✛➜❞✉ ε ➾➞✂➜✙➀❅➃➄❡✛➠➁➃ Ω\ Kε 2 ↔Kε 2 ➫ ➌➀➙➁↕➜❑❞❶✕ú➟ 0 = ZZZ Ω\Dε (u∆ 1 r − 1 r ∆u)dΩ = ZZ Γ∪ Γε 2 [u ∂ ∂~n( 1 r ) − 1 r ∂u ∂~n]dS ( Γε 2 ➌➀➙▲→) ZZ Γε 2 u ∂ ∂~n( 1 r )dS = ZZ Γε 2 u − ∂ ∂r ( 1 r ) dS = 1 ε 2 ZZ Γε 2 udS = 2π · 1 2πε2 ZZ Γε 2 udS = 2πu∗ ZZ Γε 2 1 r ∂u ∂~ndS = 1 ε ZZ Γε 2 ∂u ∂~ndS = 2πε · 1 2πε2 ZZ Γε 2 ∂u ∂~ndS = 2πε( ∂u ∂~n) ∗ ❂ − ZZ Γ [u ∂ ∂~n( 1 r ) − 1 r ∂u ∂~n]dS = 2πu∗ + 2πε( ∂u ∂~n) ∗ ✲ ε → 0➜❑✚ − ZZ Γ [u ∂ ∂~n( 1 r ) − 1 r ∂u ∂~n]dS = 2πu(M0) 2. ❡➻ê u(x, y) ➫ü➔☛þ✛◆Ú➻ê➜q➜✸ü➔☛➧þ✛ê❾➤⑧➃ u = sin θ➜Ù➙ θ ▲➠✹ ✍➜➥➻ê u ✸✝✿❷❾✤✉õ✟➸ ✮ ❞➼♥ 2.2 u(M0) = 1 2π Z C sin θds = 1 2π Z 2π 0 sin θdθ = 0 (ds = 1 · dθ) 3. ❳❏❫✳✃✳❞➄➜▲➠➨ï➜Ý⑤➙➜Ý➞Ù➻ê↕÷✈✛➄➜➜➪✘➨➛ì➑ù❙➥❑❦✮✛ ❫❻ ZZ f dS = 0 ✛Ô♥➾➶. 4. ②➨➭✟ u(M) ✸✹➢→ Γ ✛✠Ü◆Ú➜➾❹✸➹→✎❄↕á u(M) = O( 1 rOM ), ∂u ∂r = O( 1 r 2 OM ) (rOM → ∞) ✌ M0 ➫ Γ ✠✛❄➌✿➜❑ú➟(2.6)❊↕á. 5. ②➨◆Ú➄➜✮⑤➂❳✠➥❑✮✛➢➼✺. ② ✗ ∆u = 0 (✸ Ω ❷✠) u|Γ = f limr→∞ u(r) = 0 ∆u ∗ = 0 u ∗ |Γ = f ∗ limr→∞ u ∗ (r) = 0 4
以0点为中心，R为半径作球面rR,将r包含在内，血于，m(=0,m心(=0.任 给e>0,可取R充分大，使得在球面TR和『R之外 lu(rl0,不使立值 习题3-3 1.证明格林函数的性质3及性质5 2.证明格林函数的对穷性：G(M1,2)=G(M2,M1). 3.写出球的外部区域的格林函数，并由此导出对调和方程求解球的狄利克雷外问题的泊松公 5
➧ O ✿➃➙✪➜R ➃➀➺❾➙→ ΓR➜ò Γ ➑➵✸❙➜❞✉ limr→∞ u(r) = 0, limr→∞ u ∗ (r) = 0➜❄ ❽ ε > 0➜➀✒ R ➾➞➀➜➛✚✸➙→ ΓR Ú ΓR ❷✠ |u(r)| 0)➜Ø↕á✹❾✝♥. ❙❑ 3-3 1. ②➨❶✕➻ê✛✺➓ 3 ✾✺➓ 5. 2. ②➨❶✕➻ê✛é→✺➭G(M1, M2) = G(M2, M1). 3. ✕Ñ➙✛✠Ü➠➁✛❶✕➻ê➜➾❞❞✓Ñé◆Ú➄➜➛✮➙✛✮⑤➂❳✠➥❑✛Ñtú ➟. 5
4.利用泊松公式求边值问题 +w+4=0,2+2+20,叫y=0=f() 的解 9.设区域？整个地包含在以原点O为心、R为半径的球K中程(r,8,p)是此区域中的调和 函数程其中(c8,p)表示中动点M的球坐标、设n-程则点山，=8，)就是点M关于 球K的反演点程从M-(,9,p)到山-(1，B,)的变换称为逆矢径变换或反演变换.以1表 示？的反演区域程证明函数 n品-是号 是区域1中的调和函数（无穷远点除外成. 雷果区域为球面K以外的无界区域程则函数，8，)在1中除去原点0外是调和的.函 数t(n1,8,p)称为函数u,8,p)的凯尔文(Kelvin)变换 6
4. ⑤❫Ñtú➟➛❃❾➥❑ uxx + uyy + uzz = 0, x2 + y 2 + z 2 0, u|y=0 = f(x) ✛✮. 9. ✗➠➁ Ω ✒❻✴➑➵✸➧✝✿ O ➃✪✦R ➃➀➺✛➙ K ➙➜u(r, θ, ϕ) ➫❞➠➁➙✛◆Ú ➻ê➜Ù➙ (r, θ, ϕ) ▲➠ Ω ➙➘✿ M ✛➙❿■. ✗ r1 = R2 r ➜❑✿ M1 = (r1, θ, ϕ) Ò➫✿ M ✬✉ ➙ K ✛❻ü✿➜❧ M = (r, θ, ϕ) ✔ M1 = (r1, θ, ϕ) ✛❈❺→➃❴➙➺❈❺➼❻ü❈❺. ➧ Ω1 ▲ ➠ Ω ✛❻ü➠➁➜②➨➻ê v(r1, θ, ϕ) = R r1 u( R2 r1 , θ, ϕ) ➫➠➁ Ω1 ➙✛◆Ú➻ê↔➹→✎✿Ø✠↕. ❳❏➠➁ Ω ➃➙→ K ➧✠✛➹✳➠➁➜❑➻ê v(r1, θ, ϕ) ✸ Ω1 ➙Ø✖✝✿ O ✠➫◆Ú✛. ➻ ê v(r1, θ, ϕ) →➃➻ê u(r, θ, ϕ) ✛♣✏➞ (Kelvin) ❈❺. 6
10.利用凯尔文变换及奇点可去性定理把狄利克雷外问题化为狄利克雷内问题。 11.证明空间无界区域上的调和函数如在无穷远处趋于零，那么它趋于零的阶数至少为（白） 12.证明处处满足平均值公式(2.11)的连续函数一定是调和函数. 习题34 1.试用强极值原理来证明极值原理。 2.利用极值原理及强极值原理证明：当区域？的边界了满足定理42中的条件时，调和方程 第三边值问题 (0+or=j(o>0 的解的唯一性. 3.说明在证明强极值原理过程中，不可能作都一个满足条件()和(3)的辅助函数，弘，)，使 它在整个球x2+2+z2≤R2内满足△u>0. 4.对于一般的椭圆型方程 三++-0 2u 假设矩阵(a)是正定的，即对任意给定的实数1，.，A,成立 三aA之2a为王指到 又设c≤0，试证明它的解也成立着强极值原理。也就是说，如果u(M)在球∑子0
10. ⑤❫♣✏➞❈❺✾Û✿➀✖✺➼♥r✮⑤➂❳✠➥❑③➃✮⑤➂❳❙➥❑. 11. ②➨➌♠➹✳➠➁þ✛◆Ú➻ê❳✸➹→✎❄➟✉✧➜❅♦➜➟✉✧✛✣ê➊✟➃ o( 1 r ). 12. ②➨❄❄÷✈➨þ❾ú➟(2.11)✛ë❨➻ê➌➼➫◆Ú➻ê. ❙❑ 3-4 1. ➪❫r✹❾✝♥✺②➨✹❾✝♥. 2. ⑤❫✹❾✝♥✾r✹❾✝♥②➨➭✟➠➁ Ω ✛❃✳ Γ ÷✈➼♥ 4.2 ➙✛❫❻➒➜◆Ú➄➜ ✶♥❃❾➥❑ ( ∂u ∂n + σu)|Γ = f (σ > 0) ✛✮✛➁➌✺. 3. ❵➨✸②➨r✹❾✝♥▲➜➙➜Ø➀❯❾Ñ➌❻÷✈❫❻(1)Ú(3)✛✾Ï➻ê v(x, y, z)➜➛ ➜✸✒❻➙ x 2 + y 2 + z 2 ≤ R2 ❙÷✈ ∆u > 0. 4. é✉➌❸✛ý☛✳➄➜ Xn i,j=1 aij ∂ 2u ∂xi∂xj + Xn i=1 bi ∂u ∂xi + cu = 0 ❜✗Ý✡ (aij ) ➫✔➼✛➜❂é❄➾❽➼✛➣ê λ1, · · · , λn➜↕á Xn i,j=1 aijλiλj ≥ α Xn i=1 λ 2 i (α ➃✔⑦ê) q✗ c ≤ 0➜➪②➨➜✛✮➃↕á❳r✹❾✝♥. ➃Ò➫❵➜❳❏ u(M) ✸➙ Pn i=1 x 2 i 0. 7