第二章热传导方程 习题2-1 1.一均匀细杆直径为1，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热变换，并 服从规律 dQ=k1(u -u1)dSdt 又假设杆的密度为，比热为c,热传导系数为k,试导出此时温度u满足的方程 解以杆的对销为：镇时杆的度=杆的面积记为5号。 S +Ar 图1： 在任意时刻t到t+△t内流入截面为x到x+△x一小段细杆的热量为 dQ:=ke+AsAt-(t=SAA∈G,r+A》 Ox 在时刻t到t+△t内在截面为x到x+△x一小段中产生的热量 dQa-k (u-)IArAt-()SArAt 又在t到t+△内截面x到x+△x这一小段内由于温度变化所汲取的热量为 aQ=Cpu(-,.t+A）-wl红，9S△r=Cnu0 SAA (F∈E.t+△t) 由热平衡方程式 kgsaAi-的u-Saar=cp20sAra 消去S△x△t,再令△r一0，△t一0，则有五一x,i一t Cro (- 资=票-u-w)心=高-装》 1
✶✓Ù ✾❉✓➄➜ ❙❑ 2-1 1. ➌þ✦❬❭❺➺➃ l➜❜✗➜✸Ó➌✤→þ✛➜Ý➫❷Ó✛➜❭✛▲→Ú➧➀✵➓✉✮✾❈❺➜➾ Ñ❧✺➷ dQ = k1(u − u1)dSdt q❜✗❭✛➋Ý➃ ρ➜✬✾➃ c➜✾❉✓❳ê➃ k➜➪✓Ñ❞➒➜Ý u ÷✈✛➄➜. ✮ ➧❭✛é→➯➃ x ➯➜❞➒❭✛➜Ý u = u(x, t)➜❭✛✤→→➮P➃ S(= πl2 4 )➜ x l x x + ∆x S ã 1: ✸❄➾➒➃ t ✔ t + ∆t ❙✻❭✤→➃ x ✔ x + ∆x ➌✂ã❬❭✛✾þ➃ dQ1 = k ∂u(x + ∆x, t) ∂x S∆t − k ∂u(x, t) ∂x S∆t = k ∂ 2u(¯x, t) ∂x2 S∆x∆t x¯ ∈ (x, x + ∆x) ✸➒➃ t ✔ t + ∆t ❙✸✤→➃ x ✔ x + ∆x ➌✂ã➙✗✮✛✾þ dQ2 = −k1(u − u1)πl∆x∆t = − 4k1 l (u − u1)S∆x∆t q✸ t ✔ t + ∆t ❙✤→ x ✔ x + ∆x ù➌✂ã❙❞✉➜Ý❈③↕❁✒✛✾þ➃ dQ3 = Cρ[u(x, t + ∆x) − u(x, t)]S∆x = Cρ∂u(x,t¯) ∂t S∆x∆t (t¯∈ (t, t + ∆t)) ❞✾➨ï➄➜➟ k ∂ 2u(¯x, t) ∂x2 S∆x∆t − 4k1 l (u − u1)S∆x∆t = Cρ∂u(x,t¯) ∂t S∆x∆t ➒✖ S∆x∆t➜✷✲ ∆x → 0, ∆t → 0➜❑❦ x¯ → x,t¯→ t Cρ∂u ∂t = k ∂ 2u ∂x2 − 4k1 l (u − u1) ➼ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − b 2 (u − u1) a 2 = k Cρ, b2 = 4k1 Cρl 1
2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解在扩散介质中任取一闭曲面工，其包围的驱域为.由涅恩斯特实验定律dM=-DdS(dM是 质量微元，D是扩散系数)，从时刻1到红流入此闭曲面「的溶质为 M-广从Dast-广川品o0+品o0+品o0ddt 而浓度由（红，）变到（红，弘，云，）所需溶质为 h=ae,g头，a)-z,4ddy =川瓜广c资aa=广jlc资aaa 帅C见乳积系数=腰由质程守院律从=6用 广川c0-品o0)+品D瑞+品D=0 再由B及和2的任意性，得 cm-品D+品D0+品o0 3.砼（混凝士）内部储藏者热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化 热成正比.以Q0表示它在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热量，则竖=-Q,其 中B为正常数.又假设砼的比热为c,密度为P,热传导系数为k,求它在浇筑后温度u满足的方程 解可将水化热礼为一热源，由2=-Q及Q=Qo得Q0=Q0e由假设放热速度 为Qoe~,它就是单位体积单位时间所产生的热最.因此，由(1.7)式可得 4.设一均匀的导线处在周围为常数温度0的介质中，试证：在常电流作用下导线的温度满足微分方 贺-票-品-+2 其中i及r分别表示导体的电流及电阻，P表示横截面的周长，“表示横截面的面积，而表示导 线对于介质的热交换系数 2
2. ➪❺✚í✓✯Ñ▲➜↕÷✈✛❻➞➄➜. ✮ ✸✯Ñ✵➓➙❄✒➌✹➢→ Γ➜Ù➑➀✛➠➁➃ Ω. ❞r☞❞❆➣✟➼➷ dM = −D ∂u ∂ndSdt ↔dM ➫ ➓þ❻✄➜D ➫✯Ñ❳ê↕➜❧➒➃ t1 ✔ t2 ✻❭❞✹➢→ Γ ✛▼➓➃ M1 = Z t2 t1 ZZ Γ D ∂u ∂ndSdt = Z t2 t1 ZZZ Ω [ ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z )]dxdydzdt ✌ßÝ❞ u(x, y, z, t1) ❈✔ u(x, y, z, t2) ↕■▼➓➃ M2 = ZZZ Ω [u(x, y, z, t2) − u(x, y, z, t1)]dxdydt = ZZZ Ω Z t2 t1 C ∂u ∂t dxdydzdt = Z t2 t1 ZZZ Ω C ∂u ∂t dxdydzdt Ù➙ C ➫➎➮❳ê= ➎❨◆➮ ♦◆➮ . ❞➓þ➴ð➼➷ M1 = M2 ❂ Z t2 t1 ZZZ Ω {C ∂u ∂t − [ ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z )]}dxdydzdt = 0 ✷❞ Ω ✾ t1 Ú t2 ✛❄➾✺➜✚ C ∂u ∂t = ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z ) 3. ➡↔➲✈è↕❙Ü❀õ❳✾þ➜→➃❨③✾➜✸➜☎Ó➴ì➌Ñ➜➌✾❸ÝÚ➜↕❀õ✛❨③ ✾↕✔✬. ➧ Q(t) ▲➠➜✸ü➔◆➮➙↕❀✛✾þ➜Q0 ➃Ð➞➒➃↕❀✛✾þ➜❑ dQ dt = −βQ➜Ù ➙ β ➃✔⑦ê. q❜✗➡✛✬✾➃ c➜➋Ý➃ ρ➜✾❉✓❳ê➃ k➜➛➜✸☎Ó➜Ý u ÷✈✛➄➜. ✮ ➀ò❨③✾➚➃➌✾✌➜❞ dQ dt = −βQ ✾ Q|t=0 = Q0 ✚ Q(t) = Q0e −βt . ❞❜✗➌✾❸Ý ➃ βQ0e −βt➜➜Ò➫ü➔◆➮ü➔➒♠↕✗✮✛✾þ. Ï❞➜❞(1.7)➟➀✚ ∂u ∂t = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) + βQ0 Cρ e −βt (a 2 = k cρ ) 4. ✗➌þ✦✛✓❶❄✸➧➀➃⑦ê➜Ý u0 ✛✵➓➙➜➪②➭✸⑦❃✻❾❫❡✓❶✛➜Ý÷✈❻➞➄ ➜ ∂u ∂t = k cρ ∂ 2u ∂x2 − k1P cρω (u − u0) + 0.24i 2 r cρω Ù➙ i ✾ r ➞❖▲➠✓◆✛❃✻✾❃④➜ P ▲➠î✤→✛➧⑧➜ω ▲➠î✤→✛→➮➜✌ k1 ▲➠✓ ❶é✉✵➓✛✾✂❺❳ê. 2
5.设物体表面的绝对温度为u,此时它向外界辐射散去的热量依斯特藩-波尔兹曼(Stefan- Boltzmann)定律正比于ud,即 do ou dSdt 假设物体和周用介质之间只有热辐射而没有热传导，又假设物体周用介质的绝对温度为已知函 数∫（工，头，2，），求此时该物体热传导问题的边界条件 习题2-2 1.用分离变量法求下列定解问题的解： a0-0r=0e>0 u(z,0)=f)(0<x<π) 解设u=X(红)T)代入方程和边界条件得T'+aT=0及 X"+X=0 X(0)=0.X(r)=0 求非零解X()得特征值 -4,中，x回=血4g-12. 对应的T为仙=Ce-,因此得红，利=三C4e-P.s血2，由初始条 =宫阳
5. ✗Ô◆▲→✛ýé➜Ý➃ u➜❞➒➜➉✠✳❐✓Ñ✖✛✾þ➑❞❆⑥-➴✏❬ù↔StefanBoltzmann↕➼➷✔✬✉ u 4➜❂ dQ = σu4 dSdt ❜✗Ô◆Ú➧➀✵➓❷♠➄❦✾❐✓✌✈❦✾❉✓➜q❜✗Ô◆➧➀✵➓✛ýé➜Ý➃➤⑧➻ ê f(x, y, z, t)➜➛❞➒❚Ô◆✾❉✓➥❑✛❃✳❫❻. ❙❑ 2-2 1. ❫➞❧❈þ④➛❡✎➼✮➥❑✛✮➭ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 (t > 0, 0 0) u(x, 0) = f(x) (0 < x < π) ✮ ✗ u = X(x)T(t) ➇❭➄➜Ú❃✳❫❻✚ T 0 + λa2T = 0 ✾ X00 + λX = 0 X(0) = 0, X0 (π) = 0 ➛➎✧✮ X(x) ✚❆✍❾ λk = [2k − 1 2 ] 2 , Xk(x) = sin 2k − 1 2 x, k = 1, 2, · · · é❆✛ T ➃ Tk(t) = Cke −[ (2k−1)a 2 ] 2 t➜Ï❞✚ u(x, t) = P∞ k=1 Cke −[ (2k−1)a 2 ] 2 t · sin 2k − 1 2 x. ❞Ð➞❫ ❻ f(x) = P∞ k=1 Ck sin 2k − 1 2 x➜Ï❞ Ck = 2 π Z π 0 f(ξ) sin 2k − 1 2 ξdξ➜✙✮➃ u(x, t) = X∞ k=1 2 π Z π 0 f(ξ) sin 2k − 1 2 ξdξ · e −[ (2k−1)a 2 ] 2 t · sin 2k − 1 2 x 3
2.用分离变量法求解热传导方程的初边值问题 e>0,00) 解设u=X()T)代入方程和边界条件得T'+AT=0及 X"+XX=0 X(0)=X(1)=0 求非零解X()得 Ax =(km)2,X()=sin kra,k=1,2. 对应的T为0=Ce,故解为u,)=之Ce-aPs血k由初值之Csi血kr= p(红).因此 C.2()sin krede -2[c血kxc+a-e)s血kmal m受 所以 -宫高曲告e血a 3.如果有一长度为1的均匀细棒，其周围以及两端工=0工=1均为绝热，初始温度分布 为u(c,0)-fe),问以后时刻的温度分布如何？且证明当fe)等于常数面时，恒有u红，)=o 解即解定解问题 1o=011=0 4t=0=f(x) A=0时，X=L=O:=(停}时，X=s-,=Ce-(学P
2. ❫➞❧❈þ④➛✮✾❉✓➄➜✛Ð❃❾➥❑ ∂u ∂t = ∂ 2u ∂x2 (t > 0, 0 0) ✮ ✗ u = X(x)T(t) ➇❭➄➜Ú❃✳❫❻✚ T 0 + λT = 0 ✾ X00 + λX = 0 X(0) = X(1) = 0 ➛➎✧✮ X(x) ✚ λk = (kπ) 2 , Xk(x) = sin kπx, k = 1, 2, · · · é❆✛ T ➃ Tk(t) = Cke −(kπ) 2 t➜✙✮➃ u(x, t) = P∞ k=1 Cke −(kπ) 2 t sin kπx. ❞Ð❾ P∞ k=1 Ck sin kπx = ϕ(x)➜Ï❞ Ck =2 Z 1 0 ϕ(ξ) sin kπξdξ =2[Z 1 2 0 ξ sin kπξdξ + Z 1 1 2 (1 − ξ) sin kπξdξ] = 4 (kπ) 2 sin kπ 2 ↕➧ u(x, t) = X∞ k=1 4 (kπ) 2 sin kπ 2 · e −(kπ) 2 t · sin kπx 3. ❳❏❦➌⑧Ý➃ l ✛þ✦❬➉➜Ù➧➀➧✾üà x = 0, x = l þ➃ý✾➜Ð➞➜Ý➞Ù ➃ u(x, 0) = f(x)➜➥➧➒➃✛➜Ý➞Ù❳Û➸❹②➨✟ f(x) ✤✉⑦ê u0 ➒➜ð❦ u(x, t) = u0. ✮ ❂✮➼✮➥❑ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 ∂u ∂x|x=0 = 0, ∂u ∂x|x=l = 0 u|t=0 = f(x) λ = 0 ➒➜X0 = l, T0 = C0➯λk = (kπ l ) 2 ➒➜Xk = cos kπ l x, Tk = Cke −( kπa l ) 2 t 4
所以 ul红，)=G+∑Ce(年ncs- k= a=rea-号8m停ck-12. 而当fz)=o消，C0=0,Ck=0(k=1,2,.),所拟u(红，t)=o 4.在区域t>0.0<x<1中求解如下的定解问题： 贵=-w u(0,)=u(1,)=0 u(z,0)=fx) 布中a,3,o均为常数，f()为已知函数.[提示：作未知函数代换u=o+v(红，t)e- 解令u=o+(红，t)e-t,则v满足定解问 贵- v(0,t)=0,v(1,t)=0 (红，0)=f)-o 由习题2知 e,0=∑Ce-sinkaz 布中C=20-smkx5越k=1,2.以因由 5.长度为1的均匀细杆的初始温度为0℃，端点工=0保持常温,而在工=1和侧面上，热量可以 发散到周围的介质中去，介质的温度为0℃，由消杆上的温度分布函数（红，）满足下述定解问题： au 02u =3-u a=w会+o儿=0 u(z,0)=0 5
↕➧ u(x, t) = C0 + X∞ k=1 Cke −( kπa l ) 2 t cos kπ l x ❞Ð❾ f(x) = C0 + P∞ k=1 Ck cos kπ l x➜Ù➙ C0 = 1 l Z l 0 f(ξ)dξ, Ck = 2 l Z l 0 f(ξ) cos kπ l ξdξ (k = 1, 2, · · ·) ✌✟ f(x) = u0 ➒➜C0 = u0, Ck = 0 (k = 1, 2, · · ·)➜↕➧ u(x, t) = u0. 4. ✸➠➁ t > 0, 0 < x < l ➙➛✮❳❡✛➼✮➥❑➭ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − β(u − u0) u(0, t) = u(1, t) = u0 u(x, 0) = f(x) Ù➙ a, β, u0 þ➃⑦ê➜f(x) ➃➤⑧➻ê. [❏➠➭❾➍⑧➻ê➇❺ u = u0 + v(x, t)e −βt] ✮ ✲ u = u0 + v(x, t)e −βt➜❑ v ÷✈➼✮➥❑ ∂v ∂t = a 2 ∂ 2v ∂x2 v(0, t) = 0, v(1, t) = 0 v(x, 0) = f(x) − u0 ❞❙❑2⑧ v(x, t) = X∞ k=1 Cke −(kπ) 2 t sin kπx Ù➙ Ck = 2 Z 1 0 [f(ξ) − u0] sin kπξdξ (k = 1, 2, · · ·). Ï❞ u(x, t) = u0 + v(x, t)e −βt = u0 + X∞ k=1 2 Z 1 0 [f(ξ) − u0] sin kπξdξ · e −[(kπ) 2+β]t sin kπx 5. ⑧Ý➃ l ✛þ✦❬❭✛Ð➞➜Ý➃ 0❡➜à✿ x = 0 ✂➧⑦➜ u0➜✌✸ x = l Úý→þ➜✾þ➀➧ ✉Ñ✔➧➀✛✵➓➙✖➜✵➓✛➜Ý➃ 0❡➜❞➒❭þ✛➜Ý➞Ù➻ê u(x, t) ÷✈❡ã➼✮➥❑➭ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − b 2u u(0, t) = u0, ( ∂u ∂x + Hu)|x=l = 0 u(x, 0) = 0 5
试球出u(红，t). 解引入u红，)=（）+w(红，)使(c,)满足齐次方程及齐次的边值，代入方程及边值，计算后 得()要满足 ofg-vo-0 dx- (0)=o,(0+Hv(0=0 (x)的通解是 al=Aaa名+B经 由边值u0)=A=o,又v回)=台（之+Bosh名，得 (sinhBcosh(uo coshBsimh0 解之得 B=-n(bsin1+Hacosh2）/(bcoh21+Hash） 因此 内o岭0之之2g bcosh+Hasinh uolbcosh+Hasinh ( bcosh Hasinh 这时w(红，t)满足 la=0(0+H儿=0 l=0=-u 直接使用分离变均法，令u(红，t)=X(zT(t)代入方程和边界条件，得T+(a2入+2)T=0及 X"+X=0 X(O)=0,X'()+HX(0)=0 同书上，解得=（学Pk=1,2.）(章御是超越程an和=品可列个无面多个正 解)，Xx(回)=si血V不x(亿=1,2，相应的T()=Ce-a2+片，再由初值得 -+Hasinh20-圳 bcosh+Hasinh 6
➪➛Ñ u(x, t). ✮ Ú❭ u(x, t) = v(x) + ω(x, t) ➛ ω(x, t) ÷✈à❣➄➜✾à❣✛❃❾➜➇❭➄➜✾❃❾➜❖➂ ✚ v(x) ❻÷✈ a 2 d 2v dx2 − b 2v = 0 v(0) = u0, v0 (l) + Hv(l) = 0 v(x) ✛Ï✮➫ v(x) = A cosh b a x + B sinh b a x ❞❃❾ v(0) = A = u0➜q v 0 (x) = b a (u0 sinh b a x + B cosh b a x)➜✚ b a u0 sinh b a l + B cosh b a l + H u0 cosh b a l + B sinh b a l = 0 ✮❷✚ B = −u0 b sinh b a l + Ha cosh b a l b cosh b a l + Ha sinh b a l Ï❞ v(x) =u0 cosh b a x − u0(b sinh b a l + Ha cosh b a l) b cosh b a l + Ha sinh b a l sinh b a x = u0[b cosh b a (l − x) + Ha sinh b a (l − x)] b cosh b a l + Ha sinh b a l ù➒ ω(x, t) ÷✈ ∂ω ∂t = a 2 ∂ 2ω ∂x2 ω|x=0 = 0, ( ∂ω ∂x + Hω)|x=l = 0 ω|t=0 = −v ❺✚➛❫➞❧❈þ④➜✲ u(x, t) = X(x)T(t) ➇❭➄➜Ú❃✳❫❻➜✚ T 0 + (a 2λ + b 2 )T = 0 ✾ X00 + λX = 0 X(0) = 0, X0 (l) + HX(l) = 0 ÓÖþ➜✮✚ λk = (vk l ) 2 (k = 1, 2, · · ·) ↔Ù➙ vk ➫❻✖➄➜ tan v = v Hl ➀✎❻➹→õ❻✔ ✮↕➜Xk(x) = sin √ λkx (k = 1, 2, · · ·)➜❷❆✛ Tk(x) = Cke −(λka 2+b 2 )t➜✷❞Ð❾✚ X∞ k=1 Ck sinp λkx = −v = −u0[b cosh b a (l − x) + Ha sinh b a (l − x)] b cosh b a l + Ha sinh b a l 6
利用{smV√z}:在0，上的正交性程接 G=厂-t阳)V风 6.半径为α的半圆形平板程其表面绝热程在板的圆周边界上保持常温0程而在直径边界上保持常 温山1程球圆板稳恒状态（即与时间t无关的状态）的温度始布。 习题2-3 1.求下述函数的傅里叶变换： 1 ()cr>0:②ea>0:③a千牙'+可a>0,k为自然数). 解() Fle]-feme.erdsfee f wa-u-c (2) Fe-=ee-=ce-+ce-山 1 a-ca-p.+a十eag=a++a- 1 1 1 2a 3) e-ils =2。@2+牙os山（不妨设入>0） =2i5:aO十可=ai是上半平面的k阶极向 dk-1「e1 =2mik-1项mda(e+ai严 2.证明：当f()在(-oo,∞)上绝对可积时程F[们为连续函数. 证因F1=fe-d=ga)对任何的实数P有 IFfl=lg(al≤lf(z)ldz<o
⑤❫ sin √ λkx ∞ k=1 ✸ [0, l] þ✛✔✂✺➜✚ Ck = Z l 0 −v(ξ) sinp λkξdξ 6. ➀➺➃ a ✛➀☛✴➨❺➜Ù▲→ý✾➜✸❺✛☛➧❃✳þ✂➧⑦➜ u0➜✌✸❺➺❃✳þ✂➧⑦ ➜ u1➜➛☛❺➢ð●✕↔❂❺➒♠ t ➹✬✛●✕↕✛➜Ý➞Ù. ❙❑ 2-3 1. ➛❡ã➻ê✛❋♣➇❈❺➭ (1) e −ηx2 (η > 0)➯(2) e −a|x| (a > 0)➯(3) x (a 2 + x 2) k , 1 (a 2 + x 2) k (a > 0, k➃❣✱ê). ✮ (1) F[e −ηx2 ] = Z ∞ −∞ e −ηx2 · e −iλxdx = Z ∞ −∞ e −η(x 2+ iλ η x) dx = Z ∞ −∞ e −η(x+ iλ 2η ) 2− λ2 4η dx = Z ∞ −∞ e −ηy2 dy · e − λ2 4η = 1 √η e − λ2 4η Z ∞ −∞ e −z 2 dz = rπ η e − λ2 4η (2) F[e −a|x| ] = Z ∞ −∞ e −a|x| e −iλxdx = Z 0 −∞ e axe −iλxdx + Z ∞ 0 e −axe −iλxdx = 1 a − iλe (a−iλ)x | 0 −∞ + 1 a + iλe −(a+iλ)x | ∞ 0 = 1 a + iλ + 1 a − iλ = 2a a 2 + λ2 (3) F[ 1 (a 2 + x 2) k ] = Z ∞ −∞ e −iλx (a 2 + x 2) k dx =2 Z ∞ 0 1 (a 2 + x 2) k cos λxdx (Ø➈✗ λ > 0) =2πi Resz=ai e iλz (a 2 + z 2) k (z = ai ➫þ➀➨→✛ k ✣✹✿) =2πi 1 (k − 1)! lim z→ai d k−1 dzk−1 e iλz (z + ai) k 2. ②➨➭✟ f(x) ✸ (−∞,∞) þýé➀➮➒➜F[f] ➃ë❨➻ê. ② Ï F[f] = Z ∞ −∞ f(x)e −iλxdx = g(λ) é❄Û✛➣êP❦ |F[f]| = |g(λ)| ≤ Z ∞ −∞ |f(x)|dx < ∞ 7
即比于入绝对一致收敛，因而比F[比于入连续 3.用傅里叶变换求解三维热传导方程的柯西问题 货-票++ =0=(红，y,2 解令 e明=ese0 -ii=d.女b9 Fp(红，2月=(A1,2,Ag) 对问题做F变换，得 =-a2(A好+号+)a =0-(,2,) 解得 立=(a1,d2,Ag)e-a2a+号+r 则 4,名)=F-1aA,2,圳=p红，)*F-e-a0好+号+g为 F-1e-a2+号+号 10 1 1 再由卷积公式得 0=（aa京产n0-g心k水 1 维)=（a示'c-a器砌 1
❂✬✉ λ ýé➌➋➶ñ➜Ï✌✬ F[f] ✬✉ λ ë❨. 3. ❫❋♣➇❈❺➛✮♥➅✾❉✓➄➜✛❹Ü➥❑ ∂u ∂t = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) u|t=0 = ϕ(x, y, z) ✮ ✲ F[u(x, y, z, t)] = ZZZ R3 u(x, y, z, t)e −i(xλ1+yλ2+zλ3) dxdydz = ˜u(λ1, λ2, λ3, t) F[ϕ(x, y, z)] = ˜ϕ(λ1, λ2, λ3) é➥❑❽F❈❺➜✚ du˜ dt = −a 2 (λ 2 1 + λ 2 2 + λ 2 3 )˜u u˜|t=0 = ˜ϕ(λ1, λ2, λ3) ✮✚ u˜ = ˜ϕ(λ1, λ2, λ3)e −a 2 (λ 2 1+λ 2 2+λ 2 3 )t ❑ u(x, y, z, t) = F −1 [˜u(λ1, λ2, λ3, t)] = ϕ(x, y, z) ∗ F −1 [e −a 2 (λ 2 1+λ 2 2+λ 2 3 )t ] ✌ F −1 [e −a 2 (λ 2 1+λ 2 2+λ 2 3 )t ] = 1 (2π) 3 ZZZ R3 e −a 2 (λ 2 1+λ 2 2+λ 2 3 )t · e i(xλ1+yλ2+zλ3) dλ1dλ2dλ3 = 1 (2π) 3 Z ∞ −∞ e −a 2λ 2 1 t · e ixλ1 dλ1 Z ∞ −∞ e −a 2λ 2 2 t · e iyλ2 dλ2 Z ∞ −∞ e −a 2λ 2 3 t · e izλ3 dλ3 = 1 2a √ πt e − x 2 4a2t · 1 2a √ πt e − y 2 4a2t · 1 2a √ πt e − z 2 4a2t =( 1 2a √ πt ) 3 e − x 2+y 2+z 2 4a2t ✷❞ò➮ú➟✚ u(x, y, z, t) = ( 1 2a √ πt ) 3 ZZZ R3 ϕ(ξ, η, ζ)e − (x−ξ) 2+(y−η) 2+(z−ζ) 2 4a2t dξdηdζ (✓➅ u(x, y, t) = ( 1 2a √ πt ) 2 ZZ R2 ϕ(ξ, η)e − (x−ξ) 2+(y−η) 2 4a2t dξdη) 8
4.证明(3.29)所表示的函数满足非齐次方程(3.15)以及初始条件(3.16). 5.求解热传导方程(3.17)的柯西问题，已知 (1)ult=o=sinr, (2)用延拓法求解半有界直线上的热传号方程(3.17)，假设 u，0)=()(0<<o) u(0,t)-0 解（但）因为nx有界，故由(3.22)式得 u(z.t)= 伶=-6=向 1 一2 (incos1-sx血en Vyhini =c-at sinr 回由解的公式到=人器长如只需延新.使之对任：位有意义即可 为此把积分分为两个 与·在第一个中用-<代 e=元人6g+-8exk 山边界条件得 0=aaa0e品+pt-w 2aa。e阳+p-e-品 要此式成立，只需(-)=p(),即对p()做奇延拓，由此得 0=2aape器-e-器k
4. ②➨(3.29)↕▲➠✛➻ê÷✈➎à❣➄➜(3.15)➧✾Ð➞❫❻(3.16). 5. ➛✮✾❉✓➄➜(3.17)✛❹Ü➥❑➜➤⑧ (1)u|t=0 = sin x➜ (2)❫òÿ④➛✮➀❦✳❺❶þ✛✾❉✓➄➜(3.17)➜❜✗ u(x, 0) = ϕ(x) (0 < x < ∞) u(0, t) = 0 ✮ (1)Ï➃ sin x ❦✳➜✙❞(3.22)➟✚ u(x, t) = 1 2a √ πt Z ∞ −∞ sin ξe− (x−ξ) 2 4a2t dξ (✲ η = x − ξ, α = 1 4a 2t ) = 1 2a √ πt Z ∞ −∞ sin(x − η)e −αη2 dη = 1 2a √ πt [ Z ∞ −∞ (sin x cos η − cos x sin η)e −αη2 dη] = 1 2a √ πt [sin x Z ∞ −∞ e −αη2 cos ηdη] = 1 2a √ πt sin x r π α e − 1 4α =e −a 2 t sin x (2)❞✮✛ú➟ u(x.t) = 1 2a √ πt Z ∞ −∞ ϕ(ξ)e − (x−ξ) 2 4a2t dξ ⑧➄■òÿ ϕ(x)➜➛❷é❄Û x ❾❦➾➶❂➀➜ ➃❞r➮➞➞➃ü❻ Z 0 −∞ ❺ Z ∞ 0 ➜✸✶➌❻➙❫ −ξ ➇ ξ u(x, t) = 1 2a √ πt Z ∞ 0 [ϕ(ξ)e − (x−ξ) 2 4a2t + ϕ(−ξ)e − (x+ξ) 2 4a2t ]dξ ❞❃✳❫❻✚ 0 = 1 2a √ πt Z ∞ 0 [ϕ(ξ)e − ξ 2 4a2t + ϕ(−ξ)e − ξ 2 4a2t ]dξ = 1 2a √ πt Z ∞ 0 [ϕ(ξ) + ϕ(−ξ)]e − ξ 2 4a2t dξ ❻❞➟↕á➜➄■ ϕ(−ξ) = ϕ(ξ)➜❂é ϕ(x) ❽Ûòÿ➜❞❞✚ u(x.t) = 1 2a √ πt Z ∞ 0 ϕ(ξ)[e − (x−ξ) 2 4a2t − e − (x+ξ) 2 4a2t ]dξ 9
6.证明函数 e,)=a2f-可 - 对于变量（，）满足方程 贺祭+器 而对于变录（传，）满足方程 架+r袋+-0 7.证明：如果（红，），2(y,)分别是下述两个定解问题的解： =-器 ∫架-a器 1lt=0=p( u2t=0=p2( 则u(红，头，)=山1（，tu2(g,)是定解向题 贺-票+ =0=p1(z)p2() 的解 代入验证即可贺-会：+架 器+=器+器-尝+鉴-贵 又t=0=4t=0·2lt=0=p1(e)p2(). 8.导出下列热传导方程柯西问题解的表达式： 贺-器+ 4=o=a(a() 解由上题的结果，只需分别求出 及 uilt=o=a() u2=0=a(g) ⊙
6. ②➨➻ê v(x, y, t; ξ, η, τ ) = 1 4πa2(t − τ ) e − (x−ξ) 2+(y−η) 2 4a2(t−τ) é✉❈þ (x, y, t) ÷✈➄➜ ∂v ∂t = a 2 ( ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 ) ✌é✉❈þ (ξ, η, τ ) ÷✈➄➜ ∂v ∂τ + a 2 ( ∂ 2v ∂ξ2 + ∂ 2v ∂η2 ) = 0 7. ②➨➭❳❏ u1(x, t), u2(y, t) ➞❖➫❡ãü❻➼✮➥❑✛✮➭ ∂u1 ∂t = a 2 ∂ 2u1 ∂x2 u1|t=0 = ϕ1(x) ∂u2 ∂t = a 2 ∂ 2u2 ∂y2 u2|t=0 = ϕ2(y) ❑ u(x, y, t) = u1(x, t)u2(y, t) ➫➼✮➥❑ ∂u ∂t = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 ) u|t=0 = ϕ1(x)ϕ2(y) ✛✮. ② ➇❭✟②❂➀. ∂u ∂t = ∂u1 ∂t u2 + u1 ∂u2 ∂t a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 ) = a 2 ∂ 2u1 ∂x2 u2 + a 2u1 ∂ 2u2 ∂y2 = ∂u1 ∂t u2 + u1 ∂u2 ∂t = ∂u ∂t q u|t=0 = u1|t=0 · u2|t=0 = ϕ1(x)ϕ2(y). 8. ✓Ñ❡✎✾❉✓➄➜❹Ü➥❑✮✛▲❼➟➭ ∂u ∂t = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 ) u|t=0 = Pn i=1 αi(x)βi(y) ✮ ❞þ❑✛✭❏➜➄■➞❖➛Ñ ∂u1 ∂t = a 2 ∂ 2u1 ∂x2 u1|t=0 = αi(x) ✾ ∂u2 ∂t = a 2 ∂ 2u2 ∂x2 u2|t=0 = βi(y) 10