§1热传导方程及其定解问题的导出 热传导方程的导出 定解问题的提法 扩散方程 逾国
§1 热传导方程及其定解问题的导出 1 热传导方程的导出 2 定解问题的提法 3 扩散方程
热传导方程的导出 u(x,y,Z,t)表示表示物体在位置(x,y,z)处及时刻t的温度 (1)预备知识 (i)高斯公式：设2是3中的有界开域，2的边界T分片光滑，记 五=2U.设函数p(x,y,z,Q(x,y,z),R(x,y,z)在五上连续，在2内有 一阶偏导数，则 y dsc)Ros()ds
1 热传导方程的导出 𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡)表示表示物体在位置(𝑥, 𝑦, 𝑧)处及时刻𝑡的温度 （1）预备知识 （ⅰ）高斯公式：设Ω是R 3中的有界开域，Ω的边界Γ分片光滑，记 Ωഥ = Ω ∪ Γ.设函数𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧),𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧),𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)在Ωഥ上连续，在Ω内有 一阶偏导数，则 ම𝛺 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄 𝜕𝑦 + 𝜕𝑅 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⅆ𝑧 =ඵ 𝛤 ሾ𝑝cos 𝑛, 𝑥 + 𝑄cos 𝑛, 𝑦 + 𝑅cos(𝑛, 𝑧)]𝑑𝑆
1热传导方程的导出 其中(cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z))是Γ上的面积微元 dS的外法线方向的方向余弦. (ii)Fourieri热试验定律： 物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温 度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比，即 dn dQ=-k(x,y,z)dSdt(k是物体在(x,y,z)点的热传导系数
1 热传导方程的导出 其中（cos（𝑛, 𝑥），cos（𝑛, 𝑦），cos（𝑛, 𝑧））是Γ上的面积微元 𝑑𝑆的外法线方向的方向余弦. （ⅱ）Fourier热试验定律： 物体在无穷小时段𝑑𝑡内沿法线方向𝑛流过一个无穷小面积𝑑𝑆的热量𝑑𝑄与物体温 度沿曲面𝑑𝑆法线方向的方向导数𝜕𝑢 𝜕𝑛成正比，即 𝑑𝑄 = −𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑆 𝑑𝑡（𝑘是物体在(𝑥, 𝑦, 𝑧)点的热传导系数）
1热传导方程的导出 G d 国色
𝑛 G Ω Γ 𝑑𝑆 1 热传导方程的导出
1热传导方程的导出 (2)方程的导出 问题：空间某物体G,建立温度函数u(x,y,z,t)所满足的微分方程. 基本关系式：在物体G内任取一闭曲线「，它包含的区域记为Q,在 上，从时刻t到时刻t2热量流动成立热平衡方程式 流入的热量Q1=引起温度变化所吸收的热量Q2 由Fourier热试验定律，从t1到t2流入的热量为 Q,={们kgy器arr是n的边第)
1 热传导方程的导出 问题：空间某物体G，建立温度函数𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡)所满足的微分方程. 基本关系式：在物体G内任取一闭曲线Γ，它包含的区域记为Ω，在 Ω上，从时刻𝑡1到时刻𝑡2热量流动成立热平衡方程式 流入的热量𝑄1=引起温度变化所吸收的热量𝑄2 由Fourier热试验定律，从𝑡1到𝑡2流入Ω的热量为 𝑄1 = න 𝑡1 𝑡2 ඵ 𝛤 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ⅆ𝑠 ⅆ𝑡（Γ是Ω的边界） （2）方程的导出
热传导方程的导出 另外，由此热定律，从t1到t2物体内温度从u(x,y,z,t1)变成 u(x,y,乙，t2)所应吸收的热量为 0a=∬cxy2到pc,y2uxyz2）-uy2 dxdy dz (假设u关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数) 利用高斯公式和牛顿莱布尼兹公式 川层(+（器）+()dadydzdt=肌enc 2∂u dt)dxdy dz
1 热传导方程的导出 (假设𝑢关于𝑥, 𝑦, 𝑧具有二阶连续偏导数，关于𝑡具有一阶连续偏导数) 利用高斯公式和牛顿-莱布尼兹公式 另外，由此热定律，从𝑡1到𝑡2物体Ω内温度从𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡1 )变成 𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡2 )所应吸收的热量为 𝑄2 = ම𝛺 𝐶(𝑥,𝑦, 𝑧) 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)ሾ𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡2 − 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡1 ]𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 න 𝑡1 𝑡2ම𝛺 ሾ 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑡 = ම𝛺 𝑐𝜌(න 𝑡1 𝑡2 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝑑𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧
1热传导方程的导出 变换积分次序得 心瓜完-（层别）+(+(》 dxdydzdt-0 由于t1和t2与区域n都是任意的，得到 阳（贺）+（别）+(》 (非均匀各向同性体的热传导方程)
1 热传导方程的导出 න 𝑡1 𝑡2ම𝛺 ሾ𝑐𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 − 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 0 变换积分次序得 𝑐𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 （非均匀各向同性体的热传导方程） 由于𝑡1和𝑡2与区域Ω都是任意的，得到
热传导方程的导出 若物体是均匀的，则c,p,k均为常数，记总=Q3,即得 ∂2u ∂2u,a2u 0x2 0z2 (1.6) 如果所考虑的物体内部有热度，设单位时间，单位体积中所产生 的热量为F(x,y,乙，t),则在推到过程还应在右边加上一项 nF(x,y,z,t)dxdydzdt,则相应于(1.6)的方程为 =a /02u 02u a2u +f)(f)=F( pc
1 热传导方程的导出 若物体是均匀的，则𝑐，𝜌，𝑘均为常数，记 𝑘 𝑐𝜌 = 𝑎 2 ，即得 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑧 2 （1.6） 如果所考虑的物体内部有热度，设单位时间，单位体积中所产生 的 热 量 为 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ， 则 在 推 到 过 程 还 应 在 右 边 加 上 一 项 1𝑡 ��2𝑡 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑡，则相应于（1.6）的方程为 𝜕u 𝜕t = a 2 𝜕 2u 𝜕x 2 + 𝜕 2u 𝜕y 2 + 𝜕 2u 𝜕z 2 + 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 (𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 𝜌𝑐 ）
2定解问题的提法 (1)初始条件 u(x,y,z,0)=(x,y,z) (2)边界条件 (i)第一边界条件：物体的表面温度已知，u(x,y,z,t)r= g(x,y,z,t); (ⅱ)第二边界条件：热量在表面各点的流速（即表面各点的单位 面积上在单位时间内所流过的热量Q是已知的)， du g(x,y,z,t) （8=-k册 ds dt ()第三边界条件：物体和某介质接触，介质的温度已知， (偎+m儿 =g(x,y,z,t)
2 定解问题的提法 （1）初始条件 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,0 = 𝜑 𝑥,𝑦, 𝑧 （2）边界条件 （ⅰ）第一边界条件：物体的表面温度已知，𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ȁ𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ； （ⅱ）第二边界条件：热量在表面各点的流速（即表面各点的单位 面积上在单位时间内所流过的热量 𝑄 是已知的 ） ， ቚ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 （ ⅆ𝑄 ⅆ𝑠 ⅆ𝑡 = −𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ） （ⅲ）第三边界条件：物体和某介质接触，介质的温度已知， ቚ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 + 𝜎𝑛 𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡
2定解问题的提法 热传导实验定律： dQ=k1(u-%)dsdt(物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比) 而从物质内部来看，由o热试验定律dQ=-k,六dsdt,从而 -k1dsdt=k1e-)dsdr即ku+k器 =k1 on 柯西问题 Ju Q2 2u 维热传导方程： 0x2 二维热传导方程： at =a2 0x2 国
2 定解问题的提法 𝑑𝑄 = 𝑘1 𝑢 − 𝑢1 𝑑𝑠𝑑𝑡（物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比） ，而从物质内部来看，由Fourier热试验定律𝑑𝑄 = −𝑘1 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑠𝑑𝑡，从而 −𝑘1 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑠𝑑𝑡 = 𝑘1 𝑢 − 𝑢1 𝑑𝑠𝑑𝑡即𝑘1𝑢 + 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑛 = 𝑘1𝑢1 柯西问题 一维热传导方程： 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 二维热传导方程： 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦 2 热传导实验定律：