实验4导数的应用 实验目的 1。堂根非接件承数的接件化方法及其应用 2.了解导数在数学与实际中的应用。 实会预备内容 1复可有关数学内容 导数的有关摄念，可号函数的单调性、凹凸性、极值、最值及其笔算的球解过程：函数微 分的概念与全微分的报念、线性化的念、曲面在一点处的切平面与切平面方程 2.复习Mathenatica语句 D、Together、Append、Prepend,Length,Inion Position、Transepose、Findninimum Mx、Min等语句的格式与用法。 实过程 1.线性函激的线性化 设f(因是一元函数，在fa)处的饑性化表示为：y-f(@)+个(a)x-a).依次输入 下列语句，观察在x=1点处的图形与此点处的切线的变化： fx_]x2 1-Plot[f[x],(x,-1,3).FlotStyle->RGBColor[1.0.0]]] 2=1ot[f[1]+f[1x-1),x,-1,3门 Show [gl,g2] 设f(xy)是二元函数，f(x0y)处的线性化表示为： x-)+ 0y-%) 依次输入下列命令，观察曲面在〔1.1)处的曲线和切平面。 f[xy]=x^2-y2-2y gxy-]=f-1,1+0[fx,y,x]/.{x-1,r1)6x+1) +[fx,l,y]/.{x->1,r>1)6-1) e1=P1ot3D[g[x.].{x.-2.21.{w.-2.2}.BoxRatio->1.1.1】1 2-1ot3[Ex,-2,2,2,2,Boxkatio->11,1 Show[g1,g2] Show[g1,2,ViewPoint->{2.173,-1.823,1.845}] 2.可导涵数的单调性及凹凸性 单调性判别的方法：先求函数的驻点，进一步确定单调区间 1)求函数f(x)=x3-3x2-9x+14单调驱间
实验 4 导数的应用
首先输入下列命令： E[x]=x3-3x2-9+14 Solve[F[x] =0,x】 得到其驻点，从而可得其单调区间为：(-0-1小，【-1,3)，[3+o]. 再进一步西图观察：1ot[fx],名，-5,5}]可确定其单调详增与详减区间。 2)考虑下列通数y=$x+x的单调区间 苦仍用上述方法，相应于驻点的方程为超方程，用Slv解不出，可尝试用i成ot来 解方程，试完成。 8)考通数y-反-名x的单调驱间. 上述所处理的问题，要求函数处处可导，若不可导点时，这不可导点应另加考虑。 首先自定义函数，画函数在区间【- ,101内的图形，并求函数的驻点： Ex=g^2)1/3)-2/3:P1ot[E[x],x,-1,10,1 otRange->A1] Solve[E[x]==0.x】 得到图形及班点列表，注意到在x=0点附近函数图形有一尖点，为不可导点，不可导点 应为函数导数表达式的分母为零的，点： Together[fx]】 可以发现，x=0时，导数不存在。结合上述图光，写出其单调谜增、减区间 函数的凹凸区间对应于号函数的单调驱间，容易由上述方法计算函数的凹凸区间。下面我 们给出了一个求可导涵数在区问[a,b]上的单调驱间的过程： f[x]=x3-3x2-9x+14:4=-5:b=5: roots Solve[g [x]==0,x] roots Prepend[roots,] roots=Append[roots,(x>b] roots=x/.roots points=[: For[i =2,i Length[roots],itt, IE[E [Goots[[i]]+roots[[i-1]])/2]*f[Groots[[i]]+roots[[i+]])/2]<0, points=Append[points,roots]]] 问题：你能否改进上述程序，得到单调增与单调球区间的端点集合 3.可导函数的极值与最值 通过求驻点，可求涵数的极值与最值。依次输入下列喻令 f[x]=2x3-6x*2-18x+7 zhudian-Solve[f [x]==0] fxyvalue=Union[((f[x])/.zhudian),((-2.f[-2]],(6,f[6])]] 从中挑选出最大、最小者及相应的x
若驻点所在的方程是一超越方程，用S。1v。无法解，仍先做图，观察驻点所在的位置，判 断最大、最小值，进而用ri迟oot求解。依次输入下列命令，并分析： f[x.J6g5-3x2+2)2*xtx 1ot[E[x1,z,0,21] f[x]/.xmao[[1]] 2)直接用求极值命令 f[x]=Gx^5-3x2+2)Ex+ FindMininon[f[x],x,1)] 注：用语句ini 求函数的极值与极值点，与初值的选取有关，可结合先画函数 的图形，确定初值，再求极值。 ②用语句Fin训inimun求函数的极小值点，若需求极大值点，需考虑相反函数， 例：求函数g(x)=-|xsnx-g|-1在区间[-3,0]的极大值。 首先作出函数在[-3,0]上的图形，视察图形，发现什么？若输入 -Abs[x Sin[x]-Exp[x]]-1:Findlinimum[-g[x],(s-2)] 得到什么结果，说明什么什么问题，该如何解决？ 再输入：FindMininun[-gx】,x,-2,0}】得到了什么？ 下面我们给出了一个求可导函数在区间[。b】上最值的程序段，请运行： xJ=2x*3-6x2-18x+7 chudian Solve[f[x]==0,] Exyvalue=Union(,fx]/.rhudian),【a,fa]ll,【b,fb]l】 fvalue=Transpose[fxyvalue][[]] fmax =Mat[fvalue] fnin=Min[fvalue】 xmar fxyvalue[[xx1[[1,1]]]] xmin fxyvalue[[xx2[[1,1]]]] 自己动蚌 1.求以下函数的单调区间： 3x+4+5 0)y- 2)y=2smx+c0s2x0≤x2) (3)y=2x2-Inx 2.用驻点法求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： a)y=x-6x3+x2-3x区间[-2,5]
@ 区间引 3.求下列通数在指定区间上的最大值和最小值； )y=x+2W乐 区间[0,41 (2)y-sin 2x-x 区 (y-arctan 区间[0， 4.用indin求以下函数的所有极值点与极值 a)y=x3-5x2-3x+7 @y=-云+1 3x3+x 3)y=x2-3x-2 5.工厂k到铁路的直距史为3千米，足B到火车站C为5千米，汽车运费20元/吨千 米，铁路运费15元/陆千米，为使运费量省，在■点建一转运站，且■在C之间，月■建在何处？