第九章重积分 第四节重积分的应用 上册书中，我们用元素法解决了不少实际问题（面积、体积、功、水压九、引力）， 这种方法也可推广到二重积分、三重积分的应用中去。现有一个整体量U〔如：曲顶柱 体的体积)，这个量符合下列条件： 〔1)U是一个与x,y的变化区城D有关的量 〔2)U对区间具有可加性，即如果把区域D分成许多小闭区域时，则U相应地分成 许多部分，而U等于这些部分量之和。 （3)部分量△U,的近似值可表示为f(,力：)△C 这样的整体量可用元素法来求，方法是： 第一步，分制区城D,在区城D内任取一个直径很小的闭驱城dG(这个小闭城的面 积也记为dG),(x,)为区城D内一点相应的局部量为△U,分析局部量 △U,达挥连编通数fG,》,使得△U了k,)g2”dU 第二步，以所求的元素dU=f(x,y)dc为积分表达式，在区城D上积分 0=∬0=∬xda 一、曲面的面忠 设有曲面∑：z=f(x,),在xOy面上的报影区域为D,函数∫(x,y)在D 上有连续偏导数，则曲面工的面积为 2 4-+尝2+旁 M(.y.g 2=f(x 下面来推导这个计算公式 在闭驱域D上任取一直径很小的闭区域d （这个小闭城的面积也记为d0),在d口上任取 一点（伍，功，对应曲面上有点M(红，y,寸，》 点M处的切平面记为T 以小区城dG的边界线为准线，作母线平行于2的面。 这柱面在曲面工上截下一小片曲面，此小曲面的面积为△A在切平面套下一小片平面， 用此小片平面的面积dA近似代替△A,设点M处的法线〔指向向上)与z轴的夹角 为锐角Y
1 第 九 章 重 积 分 第四节 重积分的应用
因为点M处的法向量为疗=，一，1】小（与z轴的夹角为锐角） 所似cosy= ++ 周4a4-品 A=∬+费2+a 例1求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积 期这=F-y-可 +尝+- 由对称性，所求面积A为第一封限部分面积A的4倍 4-+密+爱-与 -E2。oo号- 例2求)0z面上曲线z=1-x绕z轴旋转一周所成曲面在x0y面上方的那部分面 积。 解曲面公：z=1-x2-y2
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A=∬h+(宗2+2a=a9i+40ado=65-0 例3求半径为a的球的表面积。 解As=4把 注以上求曲面面积时，我们是把曲面投影到x©y面上去后求其面积的，也可以把曲面 投影到其它坐标面上去后，求其面积。 设曲面工：x=g0y,z),工在0z面上的投影驱域为De,则曲面工的 面积为： 4=+旁2+空 设曲面工：y=g(x,z),工在20x面上的投影驱城为D,则曲面工的面积为 4-+爱+空 二、质化 设xy面上有个质点，分别位于点().（不y2).,(不y),质量分 别为州，州2，.，%，由力学知识蜘 M M -1 说明1”（不，）为质点系的质心坐标 现有一平面薄片，占有xOy面上闭驱城D,在点(x,)处的面密度为P(x,y), (x,)在闭驱城D上连续，求该薄片的质心坐标。 3
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在区城D中任取一小闭城d0,(x,)是dc上 任一点由于dσ很小，且p(x,)在闭驱城D上连续， 所以dc的质量近似地为(x,)d,这部分质量 p(x.y) 以近似地看作集中在点(x,)处，于是 dM,=xo(x,y）do dM,=yp(x.y)do 所以M,=川xo(x,y)doM=∬yp(x,y)dc M, ∬xo(x,ydo 质心坐标为： 元= , ∬yox,nda 其中M=j∬p(x,y)da 9=M 例4设有一等腰直角三角形神片，腰长为α，各点处的克度等于该点到直角顶点的距 离的平方，求这薄片的质心。 解(x,月=x2+y2 x+y=a P(x. M-2da=a2+yr 4-小oaa=-a+yo= 4,=∬oxa=ag+yrw=a x=2.=2 如果薄片是均匀的，即面度为常数，则质心坐标为
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其中M=儿dg=D的面期 M 此时的质心称为图形的形心， 对于空问物体，质心为： ∬oy.n x= ∬yaxy.2 = .顶ah M 其中M=∬pxy,aaw 三、转动提是 现有一平面薄片，占有xy面上闭区域D,在点(x,)处的面密度为(x, Q(x,》在闭区城D上连续，求该片关于ox轴与Oy轴的转动惯量， P(x,) 在区城D中任取一小闭城dG,(x,)是dG上任一点 dl,=y'p(x.y)da 积分得4=∬a,=川ypx,do dl,=xp(x.)do
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积得，=∬a,=∬rpx,)do 能销片（蛋我为1）所的驱说D方：号+长51， 解马，=∬2px,aa=∬xraa 小广层=兽- 月am2acoa2=abm2a=ab 室间物体占有闭驱城2〔如图)，在点(x,y,z)处的密度为(x,y,2z),则物伸 关于ox轴、Qy袖、Oz轴的转动惯量为： 1=∬0y2+22pxy.2w 1,=∬x2+2)x,y.2) 4=∬x2+y)xy2w 推r:w=∬ax,y,2h 例6一均匀物体（密度P为常量）所古的闭驱城Q由曲面z=x+y和平面 z=0,|x上a|y上a所围成，求物体关于z轴与0z面的转动惯量 解4=∬x2+y)o咖 =”+y n
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'a=∬xa咖 =x -第0 四引功 两个质点A,B,质量分别为%1，州，相距r,由物理字知识知， 质点B对质点A的引力为； 1G学，方胸和，G为3力数 现有一平面薄片，占有xy面上闭区城D,在点(x,)处的面密度为P(x,), (x,月在闭区域D上连续，求该片对z轴上单位质点M的引力 京=(E,E,F) 在区城D中任取一小闭城d,(x,)是d上任一点由于dG很小，且 P(x,)在闭区域D上连续，所似dG的质量近似地为P(x,)dG,这部分质量可 以近似地看作集中在点（无，）处， Mo0,0,a) 于是d0这小片对z轴上单位质点M0的引 力大小近似地为 IdF g(xy)do 其中r=2+y2+a2,方向为 MP=(x,y-a网 方向余弦为：
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cos8F++可6oeB-P++a6oF 这样薄片对质点引力户在三个坐标轴上的般影凡，乃，F的元索为： dF,dF cosa,dF,=d cosB,dFd cosy 而有 R=c∬pxaa 0(x2+y2+a2 F,=G[yp(x.y)da 8(x2+y2+a2月 B=G-ap(.do 8(x2+y2+a2) 例7求面密度为常量，半径为R的均质圆形薄片 父+y≤，对拉于2独上单 z=0 位质点M0的引力 解 y时o品 =cj∬aa 同理耳=0 F:=-Gap[[- do 8(x2+y2+a月 -Gaodop 1 户=（风RF) 哪求面密度为常量4的的质半圆环形薄片√R-y≤x≤√风码-y,z=0
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对z轴上单位质点Mn(0,0,a)(a>0)的1力 解R=G西 doprico0d 依2+y2+a3月 =2cm号+gta R R+风+a网+标网+a 注∫ah“(x+F+a)- x2+a7 R=c∬ +yP+o月@月a928 ydo =0 02+a3) F:=-aLG- do 2+y2+a2i -auTi dol 2+a)月 =m+7层+ 市=（风，E,) 类似地，空间物体对物体外一点B(不0,0,20)处单位质点的引力为： 及=c在-p.h 8=c∬-wy边 R=G∬e-20xy.3a 其中r=x-)2+0-)2+2-)月
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