第七章向量代数与空间解析儿何 第三节曲面及其方程 一、曲面方的念 如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 有下述关系： 1)曲面S上任一点的唑标都满足方程〔1)： 2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1)， 那么，方程〔1)就叫作曲面S的方程，而曲面S就叫作方程(1)的图 现在我们来速立几个常见曲面的方程。 例1建立球心在点M(,20)、半径为R的球面的方程。 解设M(工，y,2)是球面上的任意一点，则得 (x-)2+-%)2+(2-2)2=R2 特别地，球心在原点的球面方程为： x2+y2+z2=R2 例2设有点A1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程。 解设M(x,y,2)是垂直平分面上的任意一点，则由AM HBM|可得 2x-6y+2z-7=0 在空间解析几何中，关于曲面的研究有下两个基本问题 间的-个方程时，研究这方程所表示的面9的状。 上述例1、例2是从已知曲面建立其方程的例子。下面举一个由已知方程研究它所表示 的曲面的例子。 例3方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解原式配方后，得：(x-1)2+0y+2)2+z2=5 显然这是一个球面。 一搬地，方程Ax2+Ay2+A业2+Dx+y+F2+G=0的图形就是-个球面 下面，作为基本问题(1)的例子，我们时论旋转曲面：作为基本问题(2)的例子，我
1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第三节 曲面及其方程
们讨论柱面。第四节中对二次曲面的讨论，也可看作基本问爱(2)的例子。 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋装典面，旋转曲线和 定直线依次如叫做旋转曲面的母线和骏。 设在02坐标面上有一已知的曲线C,其方程为：fy,z)=0把这曲线绕z轴旋转 一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面。现建立其方程。 设点M习为制面上任-点，过点M作与2Q 第410，乃1,31) 垂直的平面，此平面与曲线C的文点为M1(0,y1,21),与 2轴文点为E,那么有 () 由于裁口是一个圆，所以有2=名1，且MB=ME,即2+y:1y1, 格21=2，为1=±2+代入)试，就有 f仕2+y2,2)=0 这就是所求旋转曲面的方程。 由此可知，在曲线C的方程f0y,2)=0中格y改成士√公2+少，便得曲线C绕乙 轴旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线C绕y釉旋转所成的旋转曲面的方程为：f0y,士√x2+z2)=0 类似地，02平面上曲线f(x,z)=0 x轴旋转，旋转面方程为：红，土少2+2)=0 绕z轴旋我，旋秽面方程为：f仕X2+y,z)=0 将x02面上的曲线 “周生 成的旋转 面的方程。 解绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转叶双曲面
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它的方程为 x2+y222 绕x釉旋转所成的旋转曲面叫做旋转叶双曲面 它的方程为： y2+22 =1 2 又如，o2上抛物线2=x2笑2轴轴健转一周所 2 三、柱面 .2 我们先分析一个具体的例子。 例5方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 解方程x2+y2=R2在x@y面上表示圆心在原点0、半径为R的圆， 在空间直角坐标中，这方程不合坐标：，即不论空吉的室坐标2东痒，+广=R 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程，那么这些点就在这曲面上。 这就是说，凡是通过x0y面内圆x2+y2=R2上一点M(x,y,0),且干 行于z轴的直线L都在这曲面上，因此，这曲面可以看作是平行于z轴的直线L沿 x0y面上的圆x2+y少2=R移动而成的，这曲面叫做圆柱面，x0y面上的圆 x2+y2=R2叫做它的难线，这平行于z轴的直线L叫做它的线， 一股地，平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做挂面，定曲线C叫 做挂面的难毁，动直线L叫做娃面的母线 上面我们活到，不含z的方程x2+y2=R在空间直角坐标 系中表示圆柱面，它的母线平行于z轴，它的雅线是x©y面上 的圆x2+y2=R2 类似地，方程y2=2x表示母线平行于z轴的炷面，它的准线 是xy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物面
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又如，方程x一y=0表示母线平行于2轴的柱面，其难线是x0y面上的直线 x一y=0,所似它是过2轴的平面 一般地，只含x,y而缺z的方程F(x,)=0在空问直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线是x©y面上的曲线C:F(x,y)=0 类似可知，只含x,z而缺y的方程G(x,z)=0表示母线平行于y轴的柱面. 只含,z而缺x的方程H,z）=0表示母线平行于x轴的姓面。 例如，方程x一z=0表示母线平行y轴的柱面，其准线是x02上的直线x一Z=0, 所似它是过y轴的平面 物雄面 四二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们泥三元二次方程F(x,八，z)=0所表 示的曲面称为二次典面。而把平面称为一次典面， 二次曲面，适当选取空问直角坐标系，可得它们的标准方程， ◆2 (1)球面、 用截痕法作出此图。 当a=b=c时，球面x2+y2+z2=a2 〔2)摘物面 用截痕法作出此图 (3)面 +=2
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简单作出比图（与坐标面的线） 双曲抛物面又称马面 (4)插颠 x22 当a=b时，圆面 简单作出此图（与坐标面的截线） （6)测叶双曲面 号1 给 简单作出此图（与坐标面的燕线）
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