第七章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 物理学中，常碰到两类量：一种如时间、功等，它们仅有大小，设有方向，第二种量加 力，位移等，特点为既有大小，又有方向。 一、白最相冷 自〔爆：既有大小，又有方向的量 说明：〔1)表示法：用一条有方向的线段表示。 以A为起点、B为终点的有向线段表示向量AB,有时筒单表示为：云、立、P等 a 《2)向是的展：肉量的大小，肖量丽、G的腰旅次记作A B 1AB卜1.等于1的向量叫做单蚊皮晨预等于零的向量a叫零最，记作或， 零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的. (3)自由向量（平移不改变向量） 向相等（两个大小相等，方向相同的向量） （4)向量平行：云∥方，向量垂直：元⊥方 二、月显的饿性运算〔中学知识) 1,的n法白量 白量的加法 向量相助加的平行四边张法则， 向量相助加的三角形法则， 运规律： (1)交热建a+6=方+a (a++ 列D (2)绩验建(++运=a+(6+) 2个向量相加： 例如：A4=A4+A4+AA4+AA B 月量的法 方的负向量：与方的模相同而方向相反的向量，记作一方 a 向量a与5的差a-方=d+(-6) a-6-
1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算
说明：1°当6=a时，有a-:a+(-立)=0 2°任始向量AB及点0，有AB=A0+OB:0B-OA 2.官显数的秉法 定义向量与实数入的您记作月，规定在是一个向量， 它的模：I入云l见川aL, 它的方向：当元>0时，与立相同：当足<0时，与a相反：当足=0时，11a1=0 ,即见立为零向量，这时它的方向可以是任意的. 特别地，当A=土1时，有1a=在(-)a:-a 运钟规律：(1)结合建元(4a)=4(2a)=(24)a 2)分歐建(A+4)在：足a+4在 （1) 2(a+i)=1a+26 (2) 向量相加及数乘统称为向量的线性运篡。 侧在平行四边形ABCD中，设AB:a,AD=方 试用a和5表示向量证、MB、MC和M⑦ 这里M是平行四边形对角线的交点。 解=-号（a+可 c=-}a+ 而=6-动 远=-0=a-6 20=la1可 定理1设向量à≠0，那么，向量占平行于在的充分必要条件是：存在唯一的实数见， 使方：月立. 正充分性显然，下证必要性
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设石云，取职补回，当万与云同胸时元取正值，香取负，由于方与只石同 肩，副短H训外51， 6=a, 设=月=4a,则(2-0a=i,即-4a上0，必有-40，所 以及=4，数见的性一性证毕. 例2设P为轴上坐标为4的任一点，又言为与轴同向的单位向量，证明：OP=4百 三、空问直角坐标系 平面上，直角坐标系，曲线及其方程。 y P(x, F(x, o x 空间直角坐标系 (1)空间点的直角坐标 P(x,z】 空间直角坐标系： 空间点的直角坐标： 设P为空间任一点 月(x,y,0) P(x,y,z) 有序数组(x,y,z)叫做点P的唑标，记作P(x,y,z),依次称x,八，z为点P的横坐 标、纵坐标、竖坐标。 原点、坐标镇、坐标平面、卦限的根： 说明：1P坐标面上点的特征为：x@y面上点的特征为(x,y,0),. 20坐标轴上的点的特征为：x轴上点的特征为(x,0,0)
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3”坐标原点的坐标为0(0,0,0) 例1指明点(-1，-2,4)在何卦限内，并作出该点 （2)空间两点的距离 设有点A(,以，乙)，B(,乃2,22），则A,B两点间的距离为： |AB1N(x2-x)2+0y2-y)2+(22-) 例2在z轴上求与两点A(-41,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 9 四、月显的唑标表达式 任给一个向量d,将它平移，使得ā的起点在坐标原点处，终点在点M(x,y,z)处 ◆2 显然P(x,0,0)，2(0,y.0),R(0,0,z) 00,2 由上目例2知：0P=石，00=万，0R=z成 M(x.y.z) 而a=OM=ON+MM=.=x石+方+z求 P(x,0,0)1 N(x.y,0) 说明：1°云←台有序数x,y,z, 不，y,z叫做向量在的唑标，记为 在=(x,水，2)称为向量立的坐标表达式 2°0M=x石+方+z 上式称为向量OM的坐标分解式，x,z花称为向量O及沿三个坐标轴方问的分向量 定理2设A(x为，)，B(x,为，2)，则AB=(x3-为-为，名-2孙 证AB=A0+OB.OB-OA
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=x2i+y2j+22k-(xi+j+213==(还3-为-h,3-2动 云的坐标为ax=x2-不1，a,=2-为，a:=22- 刚已知云=2+3j+4的始点为（1，-1,5)，求云的终点坐标 解设云的终点坐标为(x,八，z),则 x-1=2y-(-1)=3,2-5=4,所以x=3,y=2,2=9,云的终点坐标为 (3,2,9) 由向量的坐标表达式，立即可得下列结论： （1)0=0i+0j+0E0=(0,0,0) 同理：=(1,0,0)方=0,10元=(0,0,1 （2)设a=(a,a,a)，6={伯，b,b) a±5=a,±b,),(a,±b,)(a:±b》 Na=(Nay.Nay.Na;) (3)a=8a,=bxay=b.a:=b: 〔4)当向量a≠0时，向量61a相当于方：a,坐标表示为 b,by ba a,ay a 能意成，M最8路-a, 求分点M的坐标(x,y,2)。 解显然AM=1MB 由于A证=(x-x1y-,2-)
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MB=(x2-x,y2-y,22-2刘 因此(x-xy-为，2-)=2(x3-x,为2-y石3-2到 得M的坐标为(+，么+他，+色 1+2 1+2 1+2 当2=1时，得线段AB的中点为： M(+五，为+为，+) R(do.a) 2 2 2 四、肉量的瘦与方内余数的唑标表达式 M(asaya:) 1.向量的姬 、,0 0有量a=aa,a,作O成=a，2a0Na4,0 oPla,lioa,lO吸la,l lal-1OM 1=oPP +oop +oa +a,+a. 1a上√a,2+a,2+a,-一向量模的坐标表示式 设4(，为，)，B(,为，22)，则AB=(6-,-为，-) AB3-x)2+0y,-y)2+白-2了（两点间距寓，与前面一致） 的已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3)求与AB方向相同的单位向量。 舞西=(3,1，-2)1A83+1+(-2=√4 AB 后丽8.1-0 2.方余弦 设有两个丰零肉量在，5，肉星云与5的夹角=P 〔0≤p≤π，记作（信，酸（⑧， 0 a
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设向量在=(a,a,4,),作0M=a,如图。非零向量立与三条坐标轴的夹角心，月，y 称为向量立的方向鱼，cosa,cosA,cosY称为向量在的方向余落： 在直角三角形OPM中，OP=OM,OP=a,00,2 所cosa0Ma,2+a,+a (x.2) 类似可知 PCc00ao.0 cos B=- d Va,2+a,2+a 10 cos2 a+cos2 8+cos2y=1 2°高=(cosa,co86,cos 3=a (cos a.cos B.cosy) 例5已知两点M1(2,2,②和M2(1,30),计算M1M)的模、方向余范和方向角 解MM,=(-1,1-√2)，|MM=2 知 五、向量在镇上的战影 设点o及单位向量言确定以轴，任给向量a,作OM:a,再过点M作与以轴垂 直的平面交u轴于点M（点M”叫作点M在上的投影)，向量OM称为向量云在 轴上的分向量。 设OM:随，则徽足称为向量a在u轴上的投影，记作rj。a或（在）， 说明：10按此定义，向量坐标a,4,4,就是在在三条坐标轴上的投影 1
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即：a,=rjxa,a,=frj,在，a=frjd 2°P时.OM= 1oM'10≤ps -lowl sesxo 定理3（投影定理）(a)=acos即ju:|a1cosp),其中p为向量d 与u轴的夹角。另外，还有性质(a+b)n=(a),+(b)。:(几a),=(a). 例6（伟）设立方体的-条对角线为OM,一条楼为OA,且1OA=a,求OA在OM 方向上的设影OA 解记∠MOA=gp,则有co3P OA 1 所似
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