第十二章微分方程 第九节常系数非齐次线性微分方程 9常系数丰齐次线性微分方若 一、二阶常系数丰济次性微分方程的定义 y”+2少‘+=(x)(卫，g为常数)(“)一二阶常系数非济次线性微分方程 二、求二阶常系数丰齐次线性微分方程的通解的步柔 （1)求相应的济次方程的通解Y; （2)求非齐次方程（原方程）的一个特解y”: （3)出原方程的通解：y=Y+y 求丰齐次微分方程(1)的通解，关键在于求(1)的一个特解。下面介绍在 二种特殊楂形下，用待定系数法求特解的方法， 三、求二阶常系数丰齐次线性铃分方程的特的方法 自由项寸(x)的类型 特解y的形式 f(x)=P(x)e y'=x2.(x)e （P(x)为m次多项式) 其中Q(x)为与P(x)同次的多项式 0不是特征方程的根 k三 1是特征方程的单根 22是特征方程的重根 f(=[R(x)cos@x+B(x)sin @x] y=xeQ(x)cos @x+R(x)sin@x 〔(x(x)分别是次和次多项 其中Q(x)与R(x)均为m次多项式 式， 其中之一可为零) m=max{1,为， 「01+m不是特征方程的根 k +am是特征方程的根 求方程y+y=x2的通解 解符征方程为r2+1=0,其根为52=士i
1 第十二章 微分方程 第九节 常系数非齐次线性微分方程
故相应的济次方程的通解为Y=C1cosx+C,inx 自由项f(x)=x2犀于P(x)e“型〔m=2,=0),由于2=0不是特 征方程的根，故可设原方程的特解力y=Ax2+By+C. 将其代入原方程得A=1,B=0,C=-2,， 故特解y=x2-2. 因此，原方程的通解为y=Y+y'=+C2inx+X2-2. 例2求方程y-5y'+6y=和2的通解。 解特征方程为r2-5r+6=0,其根为万=2，乃=3， 故相应的济次方程的通解为Y=C,e2+C,e 自由项f(x)=x2“厘于F(x)e"型(m=1,=2), 由于入=2是特征方程的单根，故可设原方程的特解为y'=x(Ax+B)e2“ 将实代入原防程得4=一8=-1， 明解y广=-e产=+202 因此，原方程的通解为y=Y+y=Ce”+C,产-（公2+2e2 例3求方程y”-2y+y=e满足初始条件y儿。=1，y儿。=3的特解. 解特征方程为2-2r+1=0,其根为5=乃=1， 故相应的济次方程的通解为Y=(C1+Cx)e 自由项f(x)=e*属于P(x)e"型(m=0,足=1)， 由于=1是特征方程的重报，故可设原方程的特解为y广=x2Ae=Ax2e
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数特解少广=动。 固t,原方程的适解为y=y+y=(G+Ce+号。回 从而， V=G+C+ce+w+号e@ 将y儿0=1y10=3代入0、②得C1=1C3=2, 故所求特解为y=（1+2x+。x2)冷. 例4求方程y”+2y+y=(x+1)e的-个特解. 解特征方程为r2+2+1=0,其根为万=5=-1. 自由项f(x)=(x+1)属于P(xg型(m=1,=1), 由于几=1不是特征方程的根，故可设原方程的特解为y‘=(Ax+B)e。 将其代入原才程得A=子日=0， 散原方程的个特帮为y=子对 刚5求方程y+y=4 xcosx的通解， 解特征方程为r2+1=0,其根为2=士i, 故相应的济次方程的通解为Y=C1cosx+C2inx. 自由项f(x)=4 xcosx属e[B(x)cosr+P,(x)sinx]型 (月=0,0=1,1=1，力=0)，由于及+砂=i是特征方程的根， 故可设原方程的特解为y'=(Ax+B)cox+(Cx+D)sinx] 将其代入原方程得A=0,B=1,C=1,D=0
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故特解y=xco3x+x2sinx. 因此，原方程的通解为 y=Y+y'=C cosx+Ca sin x+xcosx+x2 sinx 刚6求方程y-6y+9y=e'inx的通解】 解特征方程为r2-6r+9=0,其根为1=乃=3 故相应的济次方程的通解为Y=(C1+C2x)e“ 自由项f(x)=4 xcosx属于e"[(x)cos0x+P(x)sin@x]型 (入=1.他=11=为=0)，由于入+=1+i不是特狂方程的根， 故可设原方程的特解为y'=e'(Acos x+Binx). 84-云8-号 sinx) 因此，原方程的通解为 y=+y=G+c0+e号os+号m0
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