第九章重积分 第三节三重积分 一、三重积分根念 3引例设一物体古有空问区城Q,在2中每一点(x,y,2)处密度为(x,y,2）,其 中(x,y,2)>0且连续，求该物体的质量m, ①分割将空间区城2任意分成个小区城：△以，△以，.，△y。,这里△既表 示第：个小区城又表示第：个小区域的体积。对应△y的部分的质量为△州，则有 △ @取近似在△y中任取一点(，7,5）i=1,2,.,为 △%，sp(5,n,5)△y 0m是名4m-2860 2为△叫，△%，.，△y,中直径的最大者 定设f(x,y,z)是空间有界闭驱城2上的有界函数，将2任意分成”个小闭区城 △以，△y,.,△y,其中△y既表示第i个小区域又表示它的体积.在每个△？上任 取一点（传，4,5），作乘积f(传，刀，)△y(i=1,2.,n),并作和 立了（怎，m,5)△y,如果当每个小闭驱城直径中的最大值元→0时的3用总存在， 则称此极限为通数（红，y.z)在驱城Q上的三重积时，记作∬f(红，少2），即
1 第 九 章 重 积 分 第三节 三重积分
∬xy,h=典2f6 其中称为体积元索，x,y,z称为积分变量，区城Q称为积分区感，了(x,y,z)被 积函数 说明1卩在直角坐标系下，加=dxd出 于是∬f(xy.2w=∬fxy,2)dk地 2°空间物体的质量m=∬o(x,z 如果在空间闭驱城0上/(k,y2=1则∬少=空司驱城Q的 体积 4°关于三重积分的存在性及基本性质和二重积分相类似。 二、三重积盼的计草方法 1.利拥直角坐标计慎三重积 方法：化为算一个定积分和一个二重积分. (1)设积分区城2满足：上下底面分别为连续曲面z=(x, z=2(x,月，区城Q在xQy面上的投影驱城为D,即区城个z 2=2(x) 2:z1(x,y)≤z≤z2(x,),(x,y)∈D 则有下列计算公式： ∬xy.aw=∬yx,y.a也 z=21(x,y) 例1计笪1=川xd红其中2为三个坐标面及x+2y+2=1所围或的区 城。 解1=∬xd地=∬红”x 13
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=1-x-20h -时宁0-2冲= 例2计算1=∬dx地其中0：x20,y20,220,2+y+2≤R2 1-∬2h2=儿应 =网a-2-P -uR-ra“四teoe亮 例3计算1=川xzd地其中2是由平面z=0,2=y,y=1以及抛物啦 面y=x2所围威. 解1=∬adkt =∬aa =∫小xa=0 (2)设分区感2满足：在z轴上的投影区间为[G1,】(即积分区城夹在两 平面z=G1、z=C2之间)，对z轴上[G,C2]内任一点z,作平行于x0y面的 个2 平面，该平面截区城2得一平面区城D,即 Q={x,y,zkx,y)eD,91≤z≤c2} 则有下列计算公式： 14
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∬y.w=y, 对例2由于：D,的面积=（号因面积）-牙(R2-2),放 h恤==原-R2-=石 :1=∬a咖==时学动最 对例3用此方法不易计算 例4计算1=∬z2女小出其中Q是由椭球面 2,y2 22 a 围成。 1-at-厚小可e0-e智 如用前一个积分公式计算则比较麻烦，用哪一个积分公式要看积分区域，兼被积 函数是什么来定。 2.利用壮面坐标计草三重粉 在二重积分计算中，由积分区城的特点及被积函数的特点，有时用极坐标来计算简 单。对于三重积分来说，也有相应的问题 空间柱面坐标系就是平面极坐标加上z轴。对于空间一点M(，y,z)可以用 口，日，z三个量来确定，（只，日，2）叫做点M的面坐标。个2 Mx,2) 柱面坐标与直角坐标的关系为： [x=pcos日 0≤p<+o0 y=pm9,其中0≤8≤2x Z=2 -G0<Z<100 y
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在柱面坐标系中，三组坐标面分别为： 口=常数A,即以z轴为轴的圆柱面〔x2+y2=A2) =常数，即过z轴的半平面（上=tan=常数 z=常数20，表示平面. 在柱面坐标系下， ∬fxy,a)d的能式是什么？ 为此，用一族同轴圆柱面（P=常数)，一族有共同边 的半平面（日=常数），一熊平行于x0y面的平面(z= 常数)去分害积分区域Q,把区域Q分成许多小区域，考虑典型的小区域，它可以看 成是由半径为r和r+d的两个圆面，极角为日和日+d8的两个半平面，高度为 和z十让的两个平面所围成。通过以曲代直，可以把这个小区城看成一个小长方体，它 的三边长分别为：dp,ad日，d正 利用元索法，可得体积元索为dy=dad,于是 J∬fxy,ad=j∬f(ocos8,)d 22(0,) 如果积分区城2（如图所示）的 上部曲面用极坐标表示为：z=22(,) 下部曲面用极坐标表示为：2=21(0，) 则有计算公式： 1w-小o 侧5计丝到∬公2+y,其中0是由曲面2+y2=2与平面 z=h(h>0)所围成。 解圆面x2+y2=z2的柱坐标方程为：乙 =x2+y +y2=h2
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平面z=h(仍>0)的柱面坐标方程为：z=为 区城2在x@y面上投影区城为：x2+y2≤2 是2+yw=ap他-哥的 解6计性到∬：公+少，其中Q是由球面x2+少2+2=2与曲面 z=x2+y2所围成。 解x2+y2+z2=2的姓面坐标方程为：2=2-P 曲面2=x2+y2的柱面坐标方程为：2=02 2+y2+z2=2 2=x2+y2 (x2+y22+(x2+y2)-2=0, x2+y2=1 即(x2+y2+2(2+y2-1)=0,得投影曲线： x2+y2=1 z=0 0e+=小ago= 105 3.利佣球面唑标计三重积分 空间一点M可用右图所示r,2,日来确定。 空间一点M分（r,2,日) M(x,z) （r,g,日)叫做点M的球面坐标 「x=rsin cos8 0≤”<+00 0 y=rsin sin0,其中0≤8≤2n /y) z=rcoso 0≤z≤万 x 球面坐标系中三组坐标面为：
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r=方：它是原点为中心的球面（从U几何上看很明显） 日=日。：过z轴且极角为品的半平面. =%:以原点为顶点z袖为轴、张角为%的圆推面 （z2=tam2%(x2+y2) 点M也可看作是半径为r的球面，极角为日的半平面，张角为g©的圆推面相胶而得的 点。 下面把川f(x,y,z)dy化为球面坐标形式. 在球面坐标系中，用一族同心的球面：？=常数：一族同心的圆锥面：=常数（不 同张角)：一族有公共边的半平面划份区域2，把区城2划分成很多小区城，考虑典型 小区域，它可以看作由半径为r和r+dr的球面，张角为和十d,极角为日和 日+d8的衅平面所围成.可以把它看成-个小长方体，其三边长为 r,drsin o8这样， d 体积元素： dy =r'sin, 于是 03 ∬，y,2d r=sing r sin ode =∬8,rmpm8rcos网r'd0 如果0：月≤日≤月，头≤p≤吗，h(日，例≤r≤乃（日，例，则有下列计算 公式 ∬fx,a -dq可aorm9coe8rmpa82a做 注确定日，2，r的上、下限的方法：在积分区城2内任取一点M,OM=r,观察
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日，2，r的变化范围即可， 例7计性]∬公2+少2+2)，其中2是由球面x2+)y2+2=R2与圆推面 2=√公2+y所围成 解x2+y2+z2=R2的球坐标方程为：r=及 2=P+了的糊坐标方程为：P=子 =2+y 0052,0s950rR ∬x2+y2+z=dido细=R2-2 如积分区城为第一卦限部分，如何安掩积分限？ 到项0a 2=√公2+y2所围成的空间区城在第一封限部分. 解x2+y2+z2=a2的球面坐标方程为r=a X2+y2+z2=2的球面坐标方程为r=b :=P+了程才能为和：晋 x 9 0≤9≤50≤ms开asr≤b 咖-月9脑-0'-. 0计算∬x20,其中0：x2+y2+2≤22 解x2+y2+z2=2z的球面坐标方程为r=2c0s9 0≤0≤2m,0≤ps5.0≤r≤2co80 ∬a-小"fdra2co2grm咖-音
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