第七章向量代数与空间解析几何 第二节数量积向量积 一、两型的敌星积 物理上，移物体在常力作用下沿直线从点M1到 点时，户所作的功为 2. 1。M w=F1川M1M21cos日 由此我们抽象地给出下列向量的教量积的定义， 1.定义设有向量a与5的的夹角力日，数1云川51co3日叫做向量云与方的视暴 积，记作京·方，即 ·6=laI川61co38 注：(1)数量积是一个数 〔2)功W是力户与位移矿的数显积，即W=户.寸 由数量积的定义可以推得： 2.性质(1)a·京=a2（因为夹角日：0) （2)向量a⊥方的充分必要条件是立·方：0， （3)a.高=lala5a.5=l5lja 3.运填律 a)交换律a,方：6·a 2)分配律(a+6).在=在·亡+6·c 3)结合律：(1)·方=月(a·方)入为数。 B 例1试用向量证明三角形的余弦定理。 证设在△ABC中，∠BCA=日|BCFa,1CA上b,|AB=c 要证c2=a2+b2-2 ab cos日因为=a-
1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第二节 数量积 向量积
1ehc,8=(a-i)(a-6=a,a+i.6-2a.高 =a2+152-21a川51cos(a,*6) 由1a=a,b,1=c,及(a,i)=0,所以c2=a2+b2-2 ab cos8 4.数量的唑标表示式 设a=(a,a,a）.6=,).则a.6=a,b,+a,b,+a,b 证按数量积的运草规律可得 a.i:(a,i+a,j+a万·6，i+b,j+b,月==ab,+a,b,+ab 由于a,五=a川方1cos日，所以当衣、方都不是零向量时，有 C0502 abs+a b,+abs 一夹角余弦的生标表示式 丽a,+a,2+a,6,+,+6, 例2已知三点M(1,1)、4(22,1)和B(21,2)末∠AM5 解利用夹角公式，o∠AMB=巨，所烈 2 二、两向显的响量积 杠杆乙：为支点。有一个力京作用于这杠杆上P点处，与OP的夹角为日】 由力学规定，力户对支点0的力距是一向量应 个 它的模1放E|OQ11P=1OP1P1m日 0 而应的方向垂直于OP与所决定的平面 a×6 〔如图所示)应的指向符合右手规则。 这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其它。 力学和物理问题中也会遇到，从而可以蚰象出，两个向量的息量积将念 2
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1定义两个向量a与方的向量积，记为：立×方，它是一个肉量 模1a川61m日，其中8为a、6间的夹角 的方向垂直于a与书所决定的平面（即既垂直于a又垂直于方）， 言的指向技右手规则从在转向方来确定 因此，上面的力距M等于OP与F的向量积，即度=OP× 0 由向量积的定义可以推得： 2性质(1)a×a:可（因为夹角日=0，所以1a×la12sim0=0) （2)当a,五非零时，有a×6=i台a/川5 即：向量51.色 ax a,as 3运虹规健： （1)方×=-a×石（注意：不满足交换律） (2)建(@+i)×亡=d×+6× (3)结合律：(2a)×6=在×（元6）=1(a×方)（见为数）. 4月量积的唑标表示式。 axB =(a,b:-ab,.a.b,-a,b:.axb,-a,b:) 证明：略 宝方刘 记忆方法：a×石：，4，a4 by b,bs 例3设a=(2,1-1),6=(1,-1,2),计算a×6 3
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解 a×21-i-5-3玩 1-12 例4已知A1,2,3),B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角形ABC的面积 解由于AB=(2,2,2),AC=L2.4), 方月 于是5=3a丽×4C外1-6可-2E1 54P+(-60+2丽
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