第八章多元函数微分法 第一节多元函数的基本概念 学习本章，要与一元函数进行比较，“求同存异” 第一节多元汤数的基本 、平面点集 1.平面点集的念：平面上具有某种性质的点的朱合，称为平面点集，记为 E=(x,y)川(x,y)具有的性质) 例如： E=(x,y)川x2+y2≤1) E=(x,y)x+y>1,x20) 2.邻瓶念：设品（不，%）是x0y平面上的一点，6为某一正数，与点日（不0，乃%）距 离小于石的点的全体，称为点B的6贼，记为(B,),或简记为U(),即 (B,0=(x,ylWx-+0y-)2<6) 点乃的去心6邻域，记为(B.). 下面利用邻城来描述平面点P与点集E之问的关系。 （1)内点：如果存在点P的一个邻域U(),使得U(P)CE,则称点P为点集E 的内点。 〔2)外点：如果存在点P的一个邻域U(P,使得U(P)OE=中，则称P为E的外点， （3)边界点、边界：如果点P的任意一个邻域内既合有属于E的点，又含有不属于E的点， 则称P为E的边界点：E的所有边界点的全体称为E的边界 〔4)聚点：如果对任意正数6，点乃的去心邻域U(6,司内总有E中的点，则称点P为 E的聚点。 根据点集所属点的特征，下面定义一些重要的平面点集， 〔1)开集：如果点集E的点都是内点，则称点集E为开集。 〔2)闭珠：加果点集E的余集B为开集，则称点集E为闭集 〔3)连通集：如果点集E内任意两点，都可用折钱连结起来，且该折钱上的点都属于E,则称 中连集 〔4)区〔区)：连通的开集称为区域（开区域 开区域连同它的边 界一起所构 的点集称为闭区城 (6)有界集 能被 某个圆包含的点集称为有界集， (7)无界集：一个集合加果不是有界集，然称为无界集 例1指出下列集合中，哪些是开集？闭集？连通集？开区城？闭驱城？有界集？无界集？ 马=(x,011<x2+y2≤4，E2=(x,011≤x2+y2≤49
1 第 八 章 多元函数微分法 第一节 多元函数的基本概念
瓦={(a,y)川x+y≤)， E=(x,)川x>1,x-y<2 二、多元通数极念 例2考虑圆柱体的体积厂、底圆半径R、圆柱体高h之间的关系 V=h 例3考虑并联电阻R与电阻R,R之间的关系。 7 RR R2 R=8+R 定义1设D是平面上一个非空集，称映射/：D→R为定义在D上的二 元西数，记作 z=f(x,月(x,)eD 说明1”自变量x、y:定义城D;值城。 2”类似地可定义三元及三元以上的函数 3为二元函数z=(x,)在几何上表示一张曲面。 例4求下列函数的定义域 2-x-y 1 解定义域为D1=(x,)川x2+y2<1) (2)z=rcm+arcsin 解D,=(x0长1名≤) (3)z=(1-x-y) 解D3=(x,)川x+y<1) 三、多元函数极限 定义2设二元函数f(x,y)的定义域D,(x,乃%)是D的膝点，如果存在常数A, 对于任意正数E,总存在正数6，使当P(x,y)∈DO(B,6)时，都有 于（x,y)-A<E 则称常数A为f(x,y)）当(x,y)→(0，%)时的殿跟，记为
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黑6红川=A,求照为，川=A → :P0 正思列了0水分R+了，写现童正装c,虹6=2，则 0<x-0)2+0-0)2<6 即P(xy)∈Dno,①时，有 -0ke 思+0 必须注意，二元通数的极限存在，是指P(x,)以任何方式趋于B(乃%)时，二元 函数f(x,y)都无限接近于A.因此，如果P(x,)以不同特殊方式趋于君(0)时， f(不，y)趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。 xy 创6设时红，刀=+严 x2+y2￥0 证明：，不存在 0 x2+y2=0 y→0 量助0w0平=0 0功T号 所似：马，)不存在· 19 sin(2)2 解咒y sin(22.2x=1.2r=2r
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-1-月 0 8V⊙+1-1=照y+1+D2 y→0 凰、多元函数的连续性 定3如果照(x=),则红，川在(，%)处连 →为 说明1°若函数在区域D上每一点都连续，则称函数在区域D上连续， 2”函数的不连续点称为数的间断点 例如：f(x,y)=x2+y x2+y2*0 （0,0)是它的一个间断点。 0 x2+y2=0 (因为职（红，）不存在) y+0 再如：z=mx+y2一1 1 圆x2+y2=1每一点都是间断点。 性质】一切多元初等硒数在其定义区城上连续的 性质2〔有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续畅数，必定在D上 有界，且能取得它的最大值和最小值。 性质3（介值定理)在有界闭驱城D上的多元连续函数必取介于最大值和最小值之间的任 何值
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