第六章定积分的应用 第二节定积分在几何学上的应用 一、平面图的面 1.直角坐标情形 例1计算由两条抛物线y2=x,y=x所围成图形的面积。 个y 解 =x交点为0,0.(0，图在x=0,x=1之间 如取横坐标x为变量，其变化范围为[0,1】 xx+d你 第一步分割[0,1]，考虑[x,x+dx)](红>0)所对应的面积△A,可用dA来近似， dA是图中带斜线的小矩形的面积△A0dA=(乐-x入ax 第二步令△x→0，将dA相加取秘限，即将dA从0到1粉个yy=) A- 我们从定积分的几何意义也可得此结论 一架地，由直线x=a,x=b,曲蛾y=f(x),y=g(x ol'a (a<五，g(x)<f(x》所围成的图形面积为： 784) A=U(对-g(d 例2求由y2=2x与y=x-4所围成图形的面积。 K22 图形介于y=-2及y=4之间，取y为积分变量，则y∈【-2,4] 1)Dy+1dA=0+4-2) c2)A=2A=0+4-o=18 一最地，由直线y=c,y=d,曲线x=g0y),x=h(0y)c<d,g0y)<0y》
1 第 六 章 定积分的应用 第二节 定积分在几何学上的应用
所围成图形的面积为：A=广(0y)-g0y》 此例中，如取x为积分变量， 则A=22xdx+2x-x+0d=18,稍顺。 ,51 例3求由抛物线x=5y2及x=1+y2所围成图开形的面武 期=海=1+f的-个夜方存 法眼y为限分，则4=20-内-号 法：要x则4=后+后-可 2.极坐标皆形 求由曲线p=p(,射线日=&，8=B,(a0)所围图形的面积A 分析可惜鉴直角坐标下作图方法作出草图〔对称性，单调性等) 解(1)d4=2a21+cos2d08e0.列 (2)4=4=-2a+cosd0=子0i 由对稀性得，面职A=2A=号元2 求曲线p=2acog2日所围图形的面积 分析可借鉴直角坐标下作图方法作出草图（对称性、单调性等）
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解A=2p(0d0=值4a2cosu0=2 例6求由曲线=3cos日及P=1+c0s日所围成公共部分的面积 解∫0=3cos日 1o=1+cos8 A9c-(0 二、体积 1.平行截面面积为已的应体的体期 设一立体由闭曲面和垂直于轴的两个平面围成 在点1处平行截面的面积为4A),下面用元素法导出 计算该体积的下列计算公式 ”=jA0t tt+dt 第一步分割[a,b],[,t十d]对应的小立体可近似地看作小正柱体，其上、下底面面积都 是A),而高为d,所以dW=Ae)d 第=步v=广ap=心Ae0d 例1计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有基面是等边三角形的 立体的体积 馨建立如图所示的坐标系底圆方程：x2+y2=R 闭=22R2-不WR2-)m写=5(R-7 所以 ”=h=号联 2.旋转体的体积 〔1)y=f(x)20,x=a,x=b,y=0(a<b)围成平面图形绕x轴旋转一周后而成
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的立体体积为（用元漆法导出）队=万f产(x)d 个yy=(x) o 注y=f(x)之0，x=4,x=b,y=0(0<a<b)围成平面图形绕y轴旋转一周后而 成的立体体积为〔用元素法导出) /=2mx对x)d你 为使用方便，此公式得来的方法后面称为柱壳法。 （2)x=fy)≥0，y=c,y=d,x=0(<d)图成平面图形绕y轴旋转一周后而成的 立体体积为〔用元素法导出) ,=πg20 g(y y名a-,=小0=对e2-ra=号a y名，动=y=- V=A()dk=π62注意：当a=b时，4-号元 例3求如图所示阴影部分分别院x轴、y轴旋转所得立体的体积
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都收-2-9知 个yy=N g-心+29- (2.0)x 家有做y-君02-力、y装款建城在它大值点文2效的所国的开 面图形，绕y轴旋转一周所形成的的旋转体的体积。 解利用柱壳法 22-2-h-号 三、平面曲线的长 （1)曲线段：y=f(x,a≤x≤b,求该弧段的张度。 孤长元索为ds=+y2ax M 长度8=s=+yPk a 个y y（3对 8=小+-2=25- 13八x av: ,a≤t≤B,求该弧段的长度. s=a树2+=V0+w百d弧长=g0+wd “y=a(1-cos)
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ds=0d0=2asin 9de 8=”d0=2am号d0=8a （3)曲线弧：P=p(,&≤日≤B,求弧段的长度. 第一步：将曲线参数化： 「x=p()cos8 Ly=p(e)sin a 第二步：求ds的极坐标表达式 ds=√x(e0+y(ed8=√p()+o2(0d8 第三步：积分得弧长 s=2间+o(画d8 例3求心形线p=a(1+cos)的长度 解p()=-asin8, 2 由对称性，8=2dk=2(9+or(可d8=4acos号d8=8a 6
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