第六章定积分的应用 第三节定积分在物理学上的应用 一、支力沿直线作的吻 如果力是常力，则功WS。如果力户不是常力，则力户所作的功不能用此 公式计算，那么如何求变力所作的功呢？用元索法解。 例1一物体按规律x=c子作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 x=0移至x=a时，克服媒质阻力所作的功 解速度V=X=3t2 xx+dx a x 阻力R=K.户=9Ke49Ke,考虑典型小区间[不，x+内]，在这个区 间上，可以认为物体所受的阻力为x处物体所受的阻力，因此，在位移间隔[x,x十x)]上 物体所作的功为p=R=9K,五，从面 w=w=9ke=22k。 其中K为比例常数。 有些问题虽不是变力作功问题，但也可以用积分来解决】 一圆形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满水，试问要把桶内的水全部 吸出，需作多小功？ 解建立如图所示坐标系 取深度x为积分变量，x∈[0,5]，考虑对应于x,x+dx] 的一薄层水，它的高度为d,水的比重为9.8千牛/米 5m :AADK~△AOB -5母0=30- OB x 这薄层水的重量为9.8π3(1-)？红，把它吸出桶外需作 3m、 的功近地为dw=x9.8x32(1-百2d红=88.2x1-2dx 所似w=加=-82x1-学d05725汗焦 二、水压力 由物理学知道，在水深h处的压强为p=Pg,P是水的密度，g是重力加速度。如果
1 第 六 章 定积分的应用 第三节 定积分在物理学上的应用
有一面积为A的平板，水平地放置在水深h处，那么平板一侧所瓷的冰压力为P=PA 如果平板垂直放置在水中，那么平板一侧所受的水压力，不能用上述公式来计算，因为 在不同水深处，水的压强不相等。 例有一等腰梯形闸门，它的两条边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相脐， 计算何门的一侧所受的水压力， 解建立如图所示的坐标系。 5米上B0), 48方：y-5=5-3 20-0x-0,即y=5- 020米m 车联霸动为23咖=26治出 x+dx A(203 力：中=p=82(5-司 所，*短为P=中=0g20-前本=143733(+) 三引功 质是为网，州2硬为r的两质点同的引力的大小F=Gm座2，其中C为3引 常数，引力的方向沿若质点的连线方向。 现要计算一根细棒对一个质点的引力，那么由于细棒上各点与该质点的臣离是变化的， 且各质点的引力的方向可能也是支化的，故引力不能用上述公式来计算了。 解[x,x十x]相应的一小段近似地看作一 质点M 质点，这小段的质量为丛太，于是比小段棒对高 0 质点的3引方为：dF=G州恤，沿棒从到a+十L积分，得捧对质点的引方方： a(a+L) 例2设有一半径为R,中心角为@的圆弧形细棒，其线密度为常数山，在回心处有一质量 为m的质点M,试球这细棒对质点M的引力 de 质点
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都取88e-号孕， 小弧段对质点M的31力为：△F≈CRd84m=G4d9m R2 R 有△R,=△Fcos8Nco89G4d9m R d讽=△Fsm8Nm&G4d8m dF,=cos LGmde R ,dFy=sin Gumde R 从断8-值识=值co940029-2”m R R 2 8-识=月m9we-0 R 合状小R=风2+g=20 R ，方向指向弧的中点，即x轴正方向· 2
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