第三章导数的应用 第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其球法 1.极值的定义 定义设函数f(x)在点和的某一邻城（和）内有定义，若对于 xeU(),均有 f(x)f(xo)) 则称寸(x)是函数f(x)的一个极大值〔或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值：使函数取得极值的点称为极值点， 注1'极值概仑是一个局部性报念， 极大值未必大于极小值。 如图：极大值f(x2),f(x4),f(x) 极小值f(x),f(x),f红3)f(x)0名”面 极大值f(x)<极小值f(x) 之极值与最值的联系与区别：极值是局部性抵念，而最值是整体性概念极 值未必是最值，最值也未必是极值函数在开区间内的最值必是极值
1 第 三 章 导数的应用 第五节 函数的极值与最大值最小值
2.函数取得极值的必要条件 定理1)若数在点处取得极值，且该点具有导数，则必有()=0 2)若函数在点处x取得极值，则必有'（石）=0或'（和）不存 在 【简言之，函数的极值点必为驻点与不可导点，可导函数的极值点必为 驻点】 证)设(x)在×，处取得极大值，即(，)，使 f(x)<f(x),x∈0(x,),则当ב×，时 1,0w-生0 x-X0 当×〉×，时 -<0，从而 x-0 a-典0 故∫'(x0)=0 2)如f(x)=在点x=0处取得极小值，而在该点处f(x)不可导 ■ 注驻点与不可导点不一定都是极值点，即 (f(x)的极值点}C《f(x)的驻点}U(f(x)的不可导.点}
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3.函数取得极的充分条件 定理2（第一充分条件）设函数(x)在点和处连续，而在点的某个去心部 城(，)内可导， )若当x∈（伍-6，x)时，f"(x)刀：而当x∈(，0+）时， f"(x)①，则f(x)在和处取得极大值： 2)若当x∈(0-6,0)时，f"(x)0:而当x∈（而，和+时， (x)0,则f(x)在处取得极小值 3)若当x∈v(,可时，∫"(x)恒为正或恒为负，则f(x)在x处不 取极值 定理3〔第二充分条件)设∫(x)在点和处具有二阶导数，且 f(x)=0.f(x)≠0，则 (1)当f"(xo)<0时，函数f(x)在x处取得极大值.。一
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(2)当f"(红，)>0时，函数f()在处取得极小值。人 正1烟了化)-只园0:当x>和时，f"(x)<0.因此，f(x)在 ×,处取得极大值 〔2)同理可证.■ 4求函数设值的一报解影步柔 1)写出函数f(x)的定义城： （1)写出函数f(x)的定义城： 2)求f代x) 2)求f(x.f(x) 3)求f(x)的班点与不可导点 3)求f(x)的驻点： (4)列表讨论 ④)计算驻点处的二阶导数值，并确 定其符号，此写出结 论 5)写出结论
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例1求通数y=2x3-5x产的极值 解ú)函数y的定义域为(-00，十0o)。 y. 31 3)令y=0,得x=1:当x=0时，y不存在 -.000,01 (1.+0 0 0\0 0 由上表可知，y(0)=0为极大值：y()=-3为极小值 例2求通数y=2x2-3x2的极值 解ú)函数的定义城为(-00，+oo) 2)y=6x2-6x=6x(x-1) y=12x-6 3)令y=0得，x=0,x=1 )y(0=-60，y0)=0是极大 值：y(①=-1是极小值. 5
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例3求涵数f(x)=(x2-1)3+1的极值。 解（1)函数的定义域为(-60，十0) 2)f"()=3x2-1)2.2x=6x(x+1)2(x-1)2 /(x)=6(x2-1)2+12x(x2-102x=6(x2-05x2-10】 （3)由f'(x)=0得x1=-1x2=0,x3=1 〔4)列表讨论 x (-co,-10 (-1,0) 0 f"(x) 0 f(x) 0 0 0 5)由上表可知，f(0)=-1是极小值，而在x=-1,x=1处不取极 值 一、是大值、最小值问要 1.闭区间上的连续函数的最值 若函数f(x)在[a,b]上连续，则球(x)在[a,b]上的最值的-搬方法 与步骤如下： （1)求导数(x): 6
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（2)求f(x)在(a,b)内的所有可能级值点.设为，五，大 （3)计笪f(x),f(x),.,f(x)及f(@),()并加以比较其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值 1宝f6)=-4x在6,8上的虽值 是闭=881 3 Γ33 含f"(x)=0得x=-1,x=1:当x=0时，f()不存在 由于f仕1)=-3.f0=0.f(±8=240. 故(x)在8,8上的最小值为f(仕1)=-3：最太值为f仕8)=240 例2求函数f(x)=3x-8x2在【-1,1]上的最大值与最小值 解()=12x3-24x2=12x2(x-2) 由f"(x)=0得驻点x=0,x=2E(←1)（舍去）. 因f0)=0,f-1)-11,f0)=-5, 故f(x)在【-1,11上的最大值为f(1)=11,最小值为f(①=-5 2.在某区间内只有一个极值点的链续函数的最值 设∫(x)在某区间工内连线且只有一个极值点
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若f(x)是极太值则J(x)即为f(x)在工内的量大值 )若寸()是极小值则J()即为f(x)在工内的最小德 侧3求f(x)=x+4x的最值 量了(x)的定义域为(-0+o) f"()=4x2+4=4(x2+1) 全f（x)=0,得x=-1驻 点惟一) 因为f(-1)=12>0,故f(-1)=-3悬f(x)的级小值丛面地是 寸(x)的最小值。寸()设有最大值 3.实际问的最值 在某些实际问题中，如果由问题的性质就可断定目标涵数/(x)确有最太 值或量小值面且一定在寸(x)的定义区间内部取得，而J(x)在定义区间内部 只有一个注点，则咳驻点即为所球之最值点 例4心.1B113)从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗，问留 下的扇形的中心角取多大时，做成的漏斗容积最大 解设漏斗的半径为x,高为则 2=R,批得r=R，且=VR-=R-R 2元
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品-可 (0<p<2m 令f网=4r0-d则f(例=16rg-6=2d8r2 3w2） hR -0-g-2Se029 显然（网的最大值点即为V的最大值点由题意，V的最大值一定存在，龄 当P=25时漏科每联y大 作业：卫.180x.3-513,6,9)342)68
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