第一章极限与连续 第二节数列的极限 一、数列极的定义 数列：石，石，.，石.记为（石」例如： 数列 一般项 为+ 1 1 1 2》32“学；中 3)2,22,.,2,. x=2 401,-1,1,.,(←101，.：=(-10， 说明：1在几何上，数列〔)可看成数轴上的一个动点，依次取数轴上的点 万，.，不 2数列水x可看成自变星为正整数n的函数：不，=f(),#∈W, 当自变量浓次取1,2,3，.等一切正整数时，对应的通数值就排列 成数列《不 数3列闲的出述： 对于数列（无，如果2无限增大时，x,无限接近于一个确定的常数a,则 称常数a为该数列【不J的极限，记为1im不=a
1 第 一 章 极限与连续 第二节 数列的极限
本=1 1mx=1相当于：n大于某一个正整数时，x-1川可以凌到小于事先赶 意给定的一个小正数。例如 1)事先给定小正数品，要使御名，-1水品只委川>9，所以当m>9时， 有 *说，第9驴项后的略项 2 1不-1k而·即：对于数列x= 不10，不01，m.都满足不，-1水西·如记2从=99，上面结果可归纳 为： “对于给定的小正数高，存在正整数从=99，当”>时，有 1x-1k面” 类似地，有 1 2》“对于给定的小正数100存在正室数=999，当州>，时，有 1x,-1K100 1 但是x,-1水高x-1水1000x-1水1可，只能说明 1x,-1小于给定的
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某一小正数，不能说明它小于事先任意给定的小正数，所似，要刻划x。一1可以 1 任盘这-事实，用-些高·0'立一是不行的，而用 一个抽象的嫩，它是事先任意给定的，不指明数值，要它有多小就有多小的徽，来 11 统-代省而'10'可这些具体的数，这个抽蒙的数通军用e来表示 1 -地，起要，1比-水8，只要a>-1,起N-片-，当m>此 时可准得只要>1(：团0,3W,当>N,有x-1e,这就是数列数列 (不，=m十1限为1的实质· 数3列根限的定义 设x,}为一数列，如果存在常数，对于任始定的一个正数（不论它 多么小)，总存在正整数N,使悍当n>N时，不等式：x。~a:〈E都成立， 那么就称常数a是数列水x的极限，或者称数列不)收效于a,记为1im =a,或→a(w 如果不存在这样的常数a,就说数列《无)设有极限，或者说数列《x,) 3
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是发数的，习惯上也说1典不存在 例1试证数列不，= a+户的然限是等。 -1)2 甚分浙：Ye>0袋：-016e球等支：) m+02 E -1, 立，故 (-1 典十0 有时，直接从：不~a!〈c中等价变形找W较麻烦，可适当处理，如： a+切81 1 1 易了 0世南=年1职6=a>0,典m片0等 等 〔视吉况选择举例)
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并非每个数列都有极限，如： 《(-10*}-1,1,-1,1,.发散 〔2n)2,4,6,8,.发散. 下面我们给出数列（无，）收敛于a一个几何解释： :k-aKe台a-e初 当n>N时，所有x1xm42,x3.都落在区间(a-E,a+E)内，而 至多只有有限个点落在这个区间之外， → 不2，不1,3，a-8,不+1，Xw44不n20 不+100A+EXNAX 二、收敛数列的性质 定理1（极限的唯一性）如果数列（不）收敛，那么它的极限唯一· 证用版证法，设%→a及元，→力，且a从时，k-4码，k一小会 于是，取W=m(,),当>N时，k-a<,9与 2 5
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k-牛白，手循 数列的有界性的概念： 如果存在正数M,使得对于一切2，都有：无，：〈M,则称数列《飞，子有 界：如果这样的正数M不存在，就称数列{x,}无界 因为当n无限增大时，无，也可超过任何正数. 在几何上，数轴上对应有界数列的点x,都落在闭区间【一M，M]上 定理2〔收敛数列的有界性)如果数列(x,)收敛，那么数列《x,)一定有界 说明1)〔逆否定理)如果数列〔无，}无界，那么数列【无，」一定发散. 2)逆命题不成立，即如果数列（，}有界，不能断定数列（，}一定收敛， 例如数列 1，-1,1,-1,.,(-1)1,. 有界，但却是发散的.所以数列有界是数别收敛的必要条件，但不是充分条件。 定银3（收敛数列的保号性）如果1典不，=a,且a>8(或a<8,那么
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存在正整数N,当”>N时，都有无，>日（或x,《日). 推论如果数别（无，）从某项起x,之0（或不≤0），且1im无=a,那么a之0 (或a≤0。 在数列《不，}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列（不，}中的先后 次序，这样得到的一个数列称为原数列（五的子数列（或子列奶 如 子 数 ，.2-1；不2,4，.x1,310 定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列《}收敛于4，那么它的 任一子数列也收效，且极限也是a。 由定理4可知，如果数列不，有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列无，) 是发散的。如1，-1,1，-1，.，(1)+，.的子数列(k4收数 于1，而子数列(x2)收敛于-1，因此数列x=(←1)1（n=1,2,.) 是发散的，同时也说明了一个发散的数列地可能有收敛的子数列， 例4对于数列【J若x→a,→ak→四时，则 x,→a(n→m). 证由x1→a得：对任意正数e,了正整数2从，当k>N时， x-ak8 由不→a得：对任意正数E,3正整数2，当k>从时， lxx-ake 于是，取正整数2W=ma(2M-1,2N),当n>N时，|x-aKE,故 x.→a(n→0). 1
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