第八节 极限在经济工作中的 应用
第八节 极限在经济工作中的 应用
一、复利问题 复利是计算利息的一种方法.复利是指不仅对本金计算利 息，而且还要计算利息的利息.也就是说，本期的本金加上利 息作为下期计算利息的的基数，俗称“利滚利”， 设A,是本金，P是计息期的利率，A是本利和，则 第一个计息期末本利和为：A=A,(1+r) 第二个计息期末本利和为：A=A(1+r)+[4(1+r)=4+) 第t个计息期末本利和为：A=A,(1+r) 因此，本金为A,计息期利率为r,计息期数为t的本利和为： A=A(1+r)
一、复利问题 复利是计算利息的一种方法．复利是指不仅对本金计算利 息，而且还要计算利息的利息．也就是说，本期的本金加上利 息作为下期计算利息的的基数，俗称“利滚利”． 设 A0 是本金， r 是计息期的利率， A 是本利和，则 第一个计息期末本利和为： (1 ) 0 A = A + r 第二个计息期末本利和为： 2 0 0 0 A = A (1+ r) + A (1+ r) r = A (1+ r) 第 t 个计息期末本利和为： t A A (1 r) = 0 + ． 因此，本金为 A0 ，计息期利率为 r ，计息期数为 t 的本利和为： t A A (1 r) = 0 +
若每期结算m次，则此时每期的利率可认为是’， m 容易推得t期末本利和为：A=A,1+)m n 若每期结算次数m→0（即每时每刻结算）时，t期末本利和为： 4典”= 即 A=Ape" 离散复利公式， 连续复利公式， A,称为现值（或初值），A称为终值（或未来值）
若每期结算 m次，则此时每期的利率可认为是 m r ， 容易推得 t 期末本利和为： mt m r A A (1 ) = 0 + 若每期结算次数 m→ （即每时每刻结算）时， t 期末本利和为： r t mt m mt m A e m r A m r A A0 0 1 0 lim 1 lim = = + = + → → 即 rt A A e = 0 离散复利公式， 连续复利公式， A0称为现值（或初值），A称为终值（或未来值）．
例1现将100元现金投入银行，年利率为1.98%，分别用离散性 和连续性的复利公式计算10年末的本利和（不扣利息税）. 解若一年结算一次，10年末的本利和为 A=100(1+0.0198)10元≈121.66元 由连续复利公式，10年末的本利和为 A=100e0.019810元≈121.90元
例 1 现将 100 元现金投入银行，年利率为1.98% ，分别用离散性 和连续性的复利公式计算 10 年末的本利和（不扣利息税）． 解 若一年结算一次，10 年末的本利和为 由连续复利公式，10 年末的本利和为 0.0198 10 100 A = e 元 121.90元 10 A =100(1+ 0.0198) 元 121.66元
若已知未来值A,求现值A,称为现值问题. 由复利公式得离散现值公式为 A=A(1+r)1 A,=A(1+)m m 连续现值公式为 Ao=Ae-r
若已知未来值 A ，求现值 A0 称为现值问题． 由复利公式得离散现值公式为 t A A r − = (1+ ) 0 mt m r A A − = (1+ ) 0 连续现值公式为 rt A Ae− 0 =
例3设年投资收益率为9%，按连续复利计算，现投资多少元， 10年末可达200万元？ 解由A=Ae",A=200万元，r=0.09,t=10 4。=200e0.9万元≈81.314万元
例 3 设年投资收益率为9%，按连续复利计算，现投资多少元， 10 年末可达 200 万元？ 解 由 rt A Ae− 0 = ，A = 200 万元， r = 0.09 ，t =10 0.9 0 200 − A = e 万元 81.314 万元
二、抵押贷款问题 设两室一厅商品房价值100000元，王某自筹了40000元，要购房 还需贷款60000元，贷款月利率为1%，条件是每月还一些，25年内 还清，假如换不起，房子归债权人·问王某具有什么能力才能贷款购 房？ 贷款n(月)=25（年）×12（月/年）=300（月）， 每月还x元，yn表示第n个月仍欠前债主的钱. y%=60000 y=y(1+r)-x y2=y(1+r)-x=y1+r)2-x[1+r)+] y3=y20+r)-x=y,1+r)3-x[1+r)2+1+r)+]
设两室一厅商品房价值 100000 元，王某自筹了 40000 元，要购房 还需贷款 60000 元，贷款月利率为1% ，条件是每月还一些，25 年内 还清，假如换不起，房子归债权人．问王某具有什么能力才能贷款购 房？ 贷款 n （月）=25（年） 12（月 / 年）=300（月）， 每月还 x 元， n y 表示第n 个月仍欠前债主的钱． 二、抵押贷款问题 y0 = 60000 y = y (1+ r) − x 1 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 y2 = y1 + r − x = y0 + r − x + r + (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 3 2 y3 = y2 + r − x = y0 + r − x + r + + r +
y,=y1+）”-x1+r)-+(1+）-2+.+(1+r）+1] =,1+八-+)°- 当贷款还清时，yn=0,可得 x=%0+r)” (1+r)”-1 把n=300,r=0.01,y=60000代入得x≈631.93 即王某如不具备每月还贷632元的能力，就不能贷款购房
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2 = 0 + − + + + + + + + − − y y r x r r r n n n n r x r y r n n (1 ) 1 (1 ) 0 + − = + − 当贷款还清时， yn = 0，可得 (1 ) 1 (1 ) 0 + − + = n n r y r r x 把 n = 300, r = 0.01, y0 = 60000代入得 x 631.93 即王某如不具备每月还贷 632 元的能力，就不能贷款购房
三、融资问题 某企业获投资50万元，该企业将投资作为抵押品向银行贷款， 得到相当于抵押品价值的0.75的贷款，该企业将此贷款再进行投 资，并将再投资作为抵押品又向银行贷款，仍得到相当于抵押品的 0.75的贷款，企业又将此贷款再进行投资，这样贷款一一投资一 一再贷款一一再投资，如此反复进行扩大再生产.问该企业共可获 投资多少万元？ 设企业获投资本金为A，贷款额占抵押品价值的百分比为 r(0<r<1),第n次投资或再投资（贷款）额为a,n次投 资与再投资的资金总和为S,投资与再投资的资金总和为 S
三、融资问题 某企业获投资 50 万元，该企业将投资作为抵押品向银行贷款， 得到相当于抵押品价值的 0.75 的贷款，该企业将此贷款再进行投 资，并将再投资作为抵押品又向银行贷款，仍得到相当于抵押品的 0.75 的贷款，企业又将此贷款再进行投资，这样贷款——投资— —再贷款——再投资，如此反复进行扩大再生产．问该企业共可获 投资多少万元？ 设企业获投资本金为 A ，贷款额占抵押品价值的百分比为 r(0 r 1) ，第 n次投资或再投资（贷款）额为 an , n 次投 资与再投资的资金总和为 n S ，投资与再投资的资金总和为 S ．
a1=A,a2=Ar,a3=Ar2,.,an=Ar"1,则 Sm=a1+a2+a3+.+an=A+Ar+Ar2+.+A =A-r") 1-r S=lim S lim 40-r=A (imr”=0) n00 n-→o1-r 1-r n-00 在本题中，A=50万元，r=0.75,代入上式得 50 S= 万元=200万元 1-0.75
a1 = A， a = Ar 2 ， , , 2 a3 = Ar −1 = n an Ar ，则 2 1 1 2 3 − = + + + + = + + + + n Sn a a a an A Ar Ar Ar r A r n − − = 1 (1 ) (lim 0) 1 1 (1 ) lim lim = − = − − = = → → → n n n n n n r r A r A r S S 在本题中， A = 50 万元， r = 0.75 ，代入上式得 1 0.75 50 − S = 万元=200 万元