第六章定积分及其应用 6.1定积分的概念及性质 6.2定积分的计算方法 6.3非正常积分 6.4定积分的应用
第六章 定积分及其应用 6.1 定积分的概念及性质 6.2 定积分的计算方法 6.3 非正常积分 6.4 定积分的应用
6.1定积分的概念及性质 一.两个现实原型 1.求曲边梯形的面积 由连续曲线y=f(x)和三条直线x=M,x=b,y=0 所围成的图形称为曲边梯形.在x轴上的线段[，b 称为曲边梯形的底。 如何求曲边梯形 y=f(x) 的面积？ A=? 0 b
6.1 定积分的概念及性质 由连续曲线 y= f ( x)和三条直线 x=a, x=b, y=0 所围成的图形称为曲边梯形. 在 x 轴上的线段[a,b] 称为曲边梯形的底. 一. 两个现实原型 1. 求曲边梯形的面积 如何求曲边梯形 的面积？
6.1定积分的概念及性质 回顾：矩形的面积求法 思路：曲边梯形的面积可以近似为若干矩形面积之和 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 04 0.6 0.8
6.1 定积分的概念及性质 回顾：矩形的面积求法 思路：曲边梯形的面积可以近似为若干矩形面积之和
6.1定积分的概念及性质 设y=f(x)在[a,b]上连续，且f(x)≥0，求以曲线88 y=f(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A. (1)划分 任取分点：a=x0<1<x2<<x-1<x<<x-<Xn=b, 把区间[a,b]分为n个小区间：[i-1,xi(i=1,2,n), [xi-1,xi]的长度记为△xi=xi-xi-1(i=1,2,.,n)为 直线x=xi(i=1,2,.,n-1),把整个曲边梯形 分成个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面 积记为△4i(i=1,2,n)
6.1 定积分的概念及性质 设 y= f ( x)在[a,b]上连续，且 f ( x)0，求以曲线 y= f ( x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积 A . 任取分点：a x x x x x x x b = 0 1 2 i−1 i n−1 n = ， 把区间[a,b] 分为n个 小区间：[ , ]( 1, 2, , ), xi−1 xi i= n [ , ] ( 1, 2, , ), xi −1 xi 的长度记为xi = xi − xi −1 i = n 直线 x = xi ( i=1, 2, , n−1 ) ,把整个曲边梯形 分成n个 小曲边梯形，其中第 i 个 小曲边梯形的面 积记为 A ( i 1, 2, , n ) i = . （1）划分
6.1定积分的概念及性质 (2)近似 V5i∈xi-1,x,△4；≈f(5i)△xi（i=l,2,.,n). y=(x) 分割取近似， 求和取极限 Q=X0 X1 x2 xi-1ξixi Xn-1 xn=b (3)求和 A≈∑f(5i)Axi, (4)取极限 i=1 设d= max x}, 4=lim ∑f5)△x lsi≤n d→ i=1
6.1 定积分的概念及性质 [ , ], i xi −1 xi A f (ξ ) x ( i 1, 2, , n ). i i i = （3）求和 （2）近似 lim ( ) . 1 0 → = = n i i i d A f x （4）取极限 max , 1 i i n d = x 设 ( ) , 1 i = n i i A f x i ( )i f o a= x0 x1 x2 xi−1 xi xn−1 xn =b y x y = f (x) 分 割 取 近 似 ， 求和取极限
6.1定积分的概念及性质 二.定积分的定义 定义设f(x)是定义在[a,b]上的有界函数，任取一组 分点：=0<X1<X2<<Xi-1<Xi<<xm-1<xn=b, 把[a,b]分成n个小区间[xi-1,x(i=l,2,.n), ix-1,xi,作和式∑f(5)Ax,其中△=xi-x-1, i=1 令d=max {△}， 当d→0时，和式的极限存在， l≤i≤n 且与[α，b及5取法无关，则称此极限为函数 f)在a,b1上的定积分，记作∫fx)dc,即
6.1 定积分的概念及性质 定义 设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数，任取一组 分点： [ , ], i xi−1 xi , a=x0 x1 x2 xi−1 xi xn−1 xn =b 把[a, b]分成 n 个小区间[ , ] i 1 i x x − ( i=1, 2, n )， max , 1 i i n d = x 令 ( ) , , 1 1 − = i = i − i n i 作和式 f i xi 其 中 x x x 二. 定积分的定义 且 与 [a,b] 及 i 取 法 无 关 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 f (x)在[a,b]上的定积分，记作 b a f (x)dx ，即 当d → 0 时，和式的极限存在
6.1定积分的概念及性质 积分上限 积分和 lim ∑f(5)△；. d→0 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 若定积分∫fv)dr存在，则称f)在[a,1上可积 定积分就是特殊和式的极限
6.1 定积分的概念及性质 ( ) d lim ( ) . 1 0 = → = n i i i d b a f x x f ξ x 被 积 函 数 被 积 表 达 式 [ , ] a b 积分区间 积分上限 积分下限 积 分 变 量 积分和 若定积分 b a f (x)dx 存在，则称 f (x) 在[a, b]上可积. 定积分就是特殊和式的极限
6.1定积分的概念及性质 几何意义 1. 连续曲线y=f(x)≥0在[，b]上构成的曲边梯形 的面积A为函数y=f(x)在[M,b]的定积分： A=∫fx)dx. 2.连续曲线y=f(x)≤0在[a,b]上构成的曲边梯形 的面积A=∫f(x)dr
6.1 定积分的概念及性质 1. 连续曲线 y f x = ( ) 0 在[a,b] 上构成的曲边梯形 的面积 A 为函数 y f x = ( ) 在 [a,b] 的定积分： = b a A f (x)dx . 几何意义 2. 连续曲线 y f x = ( ) 0 在[a,b] 上构成的曲边梯形 的面积 | ( )|d b a A f x x =
6.1定积分的概念及性质 3.而当fx)在区间[4，b]上有正有负的时候，定积分则表示 各部分面积的代数和，见下图. ["f(x)dx=A-A+A-A
6.1 定积分的概念及性质 3. 而当f(x)在区间［a, b］上有正有负的时候， 定积分则表示 各部分面积的代数和，见下图. 1 2 3 4 ( )d b a f x x A A A A = − + −
6.1定积分的概念及性质 三.可积的条件 定理1（可积的必要条件) 若函数f(x)在a,b]上可积，则f(x)在a,b]上有界 注：可积则有界，无界函数一定不可积 定理2（可积的充分条件） 若函数f(x)是[a,b的连续函数，或者是[a,b]上的单调函数， 或者是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在 [a,b]上可积
6.1 定积分的概念及性质 三. 可积的条件 定理1（可积的必要条件） 定理2（可积的充分条件） 若函数f x a b f x a b ( ) [ , ] ( ) [ , ] . 在 上可积，则 在 上有界 ( ) [ , ] [ , ] [ , ] ( ) [ , ] . f x a b a b a b f x a b 若函数 是 的连续函数，或者是 上的单调函数， 或者是 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 上可积 注：可积则有界，无界函数一定不可积