习题四（部分习题解答） 1,下列函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如满足，求出符 合定理的内点 ()f(x)=x3-2x+1,-1,0] 答案： 最益牌停09 利9=0D-l5=写(G=9不-0含 1 3 (2)fx)=e,[0,ln2] 答案： 器费的义9先在02河号 得5)=而2)-0的 In2 2心5=-lnln2 3.求下列极限： x3-8 limx- 省案默=mg-m芹卫 3x2 sin2x (lim sin3x 案限武儡号 2c0s2-2 )lim x-sinx 答案：原式im平-m器-君 Inx (4)limx-1 含案：原式-lm侣-lm子-1
习题四（部分习题解答） 1. 下列函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，如满足，求出符 合定理的内点ξ. (1) 3 fx x x ( ) 2 1,[ 1,0] = − +− 答案： 2 ( ) [ 1,0] [ 1,0] ( 1,0) (-1) 2, (0) 1, '( ) 3 2, (0) ( 1) 3 3 '( ) 1, - [ 1,0], ). 1 33 f x f f fx x f f f ξ ξξ − ∴− − = = =− − − = =− ∴ = = − ∵ 是整式函数，在 有定义， 在 连续，在 可导， 满足拉格朗日中值定理的条件.由 且 得 （ 不在 舍去 (2) ( ) ,[0,ln 2] x fx e = 答案： ( ) [0,ln 2] [0,ln 2] (0,ln 2) (0) 1, (ln 2) 2, '( ) , (ln 2) (0) 1 '( ) , -ln ln 2. ln 2 ln 2 x f x f f fx e f f f ξ ξ ∴ == = − = = ∴= ∵ 是基本初等函数，在 有定义， 在 连续，在 可导， 满足拉格朗日中值定理的条件.由 且 得 3. 求下列极限： (1) . 2 8 3 2 lim − − → x x x 答案：原式 3 2 ( 8)' ( 2)' limx x → x − = = − 12. 1 3 2 2 lim = → x x (2) . sin 3 sin 2 lim 0 x x x→ 答案：原式= 0 0 (sin 2 )' 2cos 2 2 lim lim . x x (sin 3 )' 3cos3 3 x x → → x x = = (3) . sin 3 0 lim x x x x − → 答案：原式= 2 0 0 1 cos sin 1 . 3 66 lim lim x x x x → → x x − = = (4) . 1 ln lim→1 x − x x 答案：原式= 1 1 1 (ln )' 1. ( 1)' 1 lim lim x x x x → → x = = −
(5 lim 1 答案：原式m0-m克-0 olim号 答案： 原m含-m若-m芳-mg-mg-m20 3r2 (3x2)y 4.求下列极限 (1)limse e 答案：原式=m号-回 (21im 答案： 1六，w,mn=吧工w四“细二=m-)=0 原式=e°-1. (3)liml+sinx)月 答案： lim)lim In(+sinx)=lim=limd+sin) COSx :原积分=e 6.求下列函数的单调区间、极值点和极值. (1)y=-x2+2x+3. 答案：由于y=-2x+2-2(x-I)
(5) . ln lim 3 x x x→+∞ 答案：原式= 3 (ln )' ( )' limx x →+∞ x = 0. 3 1 lim 2 = →+∞ x x x (6) 3 . lim x x x →+∞ e 答案： 原式= 3 22 ( )' 3 (3 )' 6 (6 )' 6 0. ( )' ( )' ( )' lim lim lim lim lim lim x x x xx x x x x xx x x x x xx →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ e e e ee e = = = = == 4. 求下列极限 (1) 1 0 . lim x x xe → + 答案： 1 1 1 1 00 0 0 1 ( )' ( )' = lim lim lim lim . 11 1 ( )' ( )' x x x x xx x x e e e x e xx x →→ → → ++ + + 原式 = = = = +∞ (2) . lim 0 x x x → + 答案： 0 ln 0 0 00 0 0 2 0 1 lim ln (ln )' lim lim ln = lim = lim lim lim( ) 0 1 1 1 ' = 1. x x x x x x xx x x x x x x e xx x x x x e → + → → →→ → → + + ++ + + = = = −= ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∴ = ，∵ 原式 . (3) (1 sin ) . 1 0 lim x x + x → 答案： [ ] 0 1 1 lim ln(1 sin ) 0 00 0 1 cos ln(1 sin ) ' lim(1 sin ) . lim ln(1 sin ) lim lim 1 ' (1 sin ) . x x x x x xx x x x xe x x xx e → + → →→ → + + = += = = + ∴ = ∵ 原积分 6．求下列函数的单调区间、极值点和极值. (1) 2 3 2 y = −x + x + . 答案：由于 y'= −2x + 2 = −2(x −1)
令y=-2(x-1)=0,求得驻点x=1可知 函数在(-0,1内单调递增，在L,+∞)内单调递诚，x=1为极大值点，y大=4. @-号 答案： 求码=1+亭-牛兰-兰0解得驻点=，不可导点。0 3 当r0,y个当-40时，y'>0,y个 函数在 ()y=x-2 答案： 求1立-5：心解得陆成高=1不可导友=8 x 极大值点为x=0,y默=0，*=·2 7.将边长为a的一块正方形铁片，四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后 将四边折起做成一个无盖的盒子，问截掉的小正方形边长多大时，所得方盒的体 积最大 答案： 设截去的正方形的边长为x,则方盒的体积V=xa-2x)2(0<x<号 V'=(a-2x(a-6x)=12x2-8amr+a2令：V'=0得 =号（舍去)，=6 V"=24x-8a=8(3x-a）V(2)=-4a<0 ·当x=。时，了有极大值，（即为最大值）. 答：当截去的小正方形的边长等于“时，所得的方盒体积最大
令 y'= −2(x −1) = 0,求得驻点x = 1,可知 函数在(−∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，x = 1为极大值点，y极大 = 4. (2) 2 2 x y = x − 答案： 求得 令 0，解得驻点为 4,不可导点为 0， 4 , ' 4 4 ' 1 2 3 3 1 3 3 3 3 = = − = + = + = + = x x x x y x x x y 3 3 33 3 3 3 4 ' 0, ; 4 0 ' 0, ; 0 ' 0, . ( , 4) ( 4, ) ( 4,0) 4, 3/ 2. x y y x yyx y y x y ↑ − > ↑ −∞ − ∪ − +∞ − =− =− 极大 当 时， 当 时， 当 时， 函数在 单调递增，函数在 单调递减， 极大值点为 (3) 3 2 2 3 y = x − x 答案： 求得 令 0，解得驻点为 1,不可导点为 0， 1 , ' 1 1 ' 1 1 2 3 3 3 3 3 = = = − = − = − = x x x x y x x x y 0 ' 0, ; 0 1 ' 0, ; 1 ' 0, . ( ,0) (1, ) (0,1) 1 0, 0, - . 2 x y y x yyx y y xy y ↑ > ↑ −∞ ∪ +∞ === 极大 极小 当 时， 当 时， 当 时， 函数在 单调递增，函数在 单调递减， 极大值点为 7. 将边长为a 的一块正方形铁片,四个角各截去一个大小相同的小正方形,然后 将四边折起做成一个无盖的盒子,问截掉的小正方形边长多大时,所得方盒的体 积最大. 答案： 设截去的正方形的边长为 x ,则方盒的体积 2 V = x(a − 2x) ) 2 (0 a < x < V ′ = (a − 2x)(a − 6x) 2 2 = 12x − 8ax + a 令:V ′ = 0 得 2 1 a x = ( 舍去 ) , 6 2 a x = V ′′ = 24x − 8a = 8(3x − a) ) 4 0 6 ′′( = − a < a V ∴ 当 6 a x = 时 ,V 有极大值,(即为最大值). 答: 当截去的小正方形的边长等于 6 a 时,所得的方盒体积最大
8.把长为1的一块塑料布剪成相等的两块，靠墙围成一个门宽为 矩形菜场，问每块塑料布怎样回折，才能使围成的场地面积最大？ 答 设围成的矩形宽为x,面积为S,则有 S=x-2x+a)=k-2x2+am0<x<+8, S1-4*0-46x-1令50得雅一住点x2 4 S”=-4<0:x+0是最大之点. 答：当围成的矩形宽为+口时所围成的场地面积最大 4
8．把长为 l 的一块塑料布剪成 相等的两块，靠墙围成一个门宽为 a 的矩形菜场，问每块塑料布怎样回折，才能使围成的场地面积最大？ 答案： 设围成的矩形宽为 x，面积为 S，则有 2 S ( 2 ) 2 (0 ), 2 ' 4 4( ), ' 0 , 4 4 '' 4 0, 4 . 4 l a x l x a lx x ax x la la S l xa x S x l a S x l a + = − + = − + << + + = − + =− − = + =− < ∴ + 令 ，得唯一驻点 = = 是最大之点. 答：当围成的矩形宽为 时所围成的场地面积最大