第二章微积分的直接基础极限 教学要求 (1)了解数列极限和函数极限的定性描述和定量描述：了解 极限的唯一性.(3课时) (2) 理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与无穷大量 的关系。掌握极限的运算和两个特殊极限(3课时 (3)理解用极限定义连续函数的概念：掌握连续函数的四则 运算、反函数和复合函数、初等函数连续性。掌握判断 函数的间断点的方法：会利用连续函数求函数的极限： 理解闭区间的连续函数的几个重要定理。(2课时) 教学重点 极限的运算法则和两个重要极限的应用 数学难点 无穷小量的概念：利用连续函数求极限：判断函数的间断点. 第一节数列极限 数列的概念 1引例（芝诺悖论)：一位古希腊学者芝诺(Zenon,公元前496~前429)曾提 出一个著名的追龟”诡辩题.大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是 古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远 追不上乌龟 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟 已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，阿基里斯再追0.1 米，乌龟又进了0.01米.把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 10,1,0.1,0.01,0.001,102m,.(m∈N) 据论益我腐有变痛备 列数有无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟。实际上该 2数列的定义：以正整数为自变量的函数y=∫(，n=1,2,3,.时所得到的一列函 数值a=f),4=f2),4=f(3),a=fm,.称为无穷数列，简称数列， 记为{a},称an=fn)为数列的通项 例1：引例中阿基里斯所前进的一系列距离所表示的数就是数列，通项是α，=102" 2482通项为1 例2：111 例3：2,4,8.，2，.；通项为2 例4：-1,1,1,1，.，(1)P;通项为(1)只 例0号若1g通项为4 1
1 第二章 微积分的直接基础-极限 教学要求 （1） 了解数列极限和函数极限的定性描述和定量描述；了解 极限的唯一性；（3 课时） （2） 理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与无穷大量 的关系。掌握极限的运算和两个特殊极限（3 课时） （3） 理解用极限定义连续函数的概念；掌握连续函数的四则 运算、反函数和复合函数、初等函数连续性。掌握判断 函数的间断点的方法；会利用连续函数求函数的极限； 理解闭区间的连续函数的几个重要定理。（2 课时） 教学重点 极限的运算法则和两个重要极限的应用 教学难点 无穷小量的概念；利用连续函数求极限；判断函数的间断点. 第一节 数列极限 一、 数列的概念 1 引例（芝诺悖论）：一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前 496～前 429）曾提 出一个著名的“追龟”诡辩题. 大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是 古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙. 芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远 追不上乌龟！ 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面 10 米. 当阿基里斯跑了 10 米时，龟 已前进了 1 米；当阿基里斯再追 1 米时，乌龟又前进了 0.1 米，阿基里斯再追 0.1 米，乌龟又进了 0.01 米.把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 2-n + 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001, , 10 , ( ) " " n N ∈ 因为这一列数有无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟。实际上该 结论和我们的直觉相悖. 2 数列的定义：以正整数为自变量的函数 y f = (n), n=1, 2, 3,"时所得到的一列函 数值 12 3 (1), (2), (3), , ( ), n a f a f a f a fn == = = " "称为无穷数列，简称数列， 记为{ }n a . 称 ( ) n a fn = 为数列的通项. 例 1：引例中阿基里斯所前进的一系列距离所表示的数就是数列，通项是 2- 10 n n a = . 例 2： 通项为 . 例 3： 通项为 2n . 例 4：-1, 1，-1, 1，.，(-1)n .; 通项为(-1)n 例 5： ; 通项为 . 111 1 , , , ; 248 2 " "n 1 2n 2,4,8, ,2 , ; " "n 3 2 5 4 ( 1) 0, , , , ,1 , 2345 n n − " " + n (-1) 1+ n
数列极限的定性描述 1.引例2：公元前四世纪，庄子在《庄子·天下篇》中的名句“一尺之棰，日截 其半，万世不竭”，我们把逐日取下的棰的长度依次列出来，便得到数列{}， 当n越来越大，通项越来越接近0. 2.定义：如果n无限增大时，数列{a,}的通项a,无限接近于常数a,则称该数 列以a为极限，记做0，=a,或a.→a（→o.此时也称该数列收 敛到a.如果不以任何常数为极限，则称数列发散 数列的收敛或者发散的性质统称为数列的敛散性 3.举例说明 在例1中， 1im102m=0. 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 S=10+1++ 10 =10米) 9 所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！ 例2中im7=0.例3中m2”=+切 例4中数列0，反复取1和-1，显然是发散的.例5中m1+少 每一项均为常数的数列称为常数列.常数列的极限仍是该常数.如数列{1,1，.} 为常数列，且1iml= 三、 数列极限的定量描述 1提问1：当n无限增大时，a,是否无限接近于某一确定的数值？如何确定？ 在例5中当n无限增大时 &无限接近于1 提问2：“无限接近”意味着什么？如何佣数学语言刻划它？ 考虑两者之间的距离在侧5中：只-小←广川-日 2定义：如果对于任意小的正数6（无论它有多小），总存在相应的正整数N,使 得满足n>N的一切n,能使不等式a。-ak6恒成立，则称数列{a,}以a为极限， 记作ima,=a,或a,→a→o） 数列极限的“e-N”语言描述s>0,3正整数N,当n>W时，恒有1a,-aks成立 3几何解释： 当n>N时，所有的点x都落在点的e邻域即区间(a-6,a+)内， 至多只有有限个(N个)落在其外
2 二、 数列极限的定性描述 1. 引例 2：公元前四世纪，庄子在《庄子·天下篇》中的名句“一尺之棰，日截 其半，万世不竭”. 我们把逐日取下的棰的长度依次列出来，便得到数列 1 { } 2n ， 当 n 越来越大，通项 1 2n 越来越接近 0. 2. 定义：如果 n 无限增大时，数列{ }n a 的通项 n a 无限接近于常数 a，则称该数 列以 a 为极限，记做 或 此时也称该数列收 敛到 a. 如果不以任何常数为极限，则称数列发散. 数列的收敛或者发散的性质统称为数列的敛散性. 3. 举例说明 在例 1 中， 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 所以，阿基里斯只要坚持跑到 11.2 米的路程就可以追上乌龟！ 例 2 中 1 lim 0. 2n n→∞ = 例 3 中 lim 2 + . n n→∞ = ∞ 例 4 中数列 n a 反复取 1 和-1，显然是发散的. 例 5 中 (-1) lim (1 )=1 n n→∞ n + . 每一项均为常数的数列称为常数列. 常数列的极限仍是该常数. 如数列{1,1,.} 为常数列，且 lim1=1 n→∞ . 三、 数列极限的定量描述 1 提问 1：当 n 无限增大时, n a 是否无限接近于某一确定的数值? 如何确定? 在例 5 中 提问 2：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 考虑两者之间的距离. 在例 5 中 . 2 定义：如果对于任意小的正数ε （无论它有多小），总存在相应的正整数 N，使 得满足 n>N 的一切 n, 能使不等式| -| n a a ∃ > −+ ε ε ε 至多只有有限个 个 落在其外 () . N
例如在例s中，给定e高由片0只要1>10就有a水日 对于任意给定6>0取N=[日当a>N时，都有a-1K6 说明， (1)定义中的常数：具有二重性：既具有很小正数的固定性，又具有随意小的 任意性. (2)￡是首先给定的，N是由E确定的.常记作N=N(e), 4例题：证明m之=0， 证明：Vc>0.微使-d小2取v=[g 则当时，恒有-即得0
3 1 0, , | -1| . N nN an ε ε ε ⎡ ⎤ >= > . log , 2 2 1 1 > 0 . lim =0. 2 2 n n n n n N n N ε εε ε ε ε →∞ ∀ ⎡ ⎤ > −< = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − < 证明： 欲使 即 ，只要 取 则当 时，恒有 即证得
第二节函数极限 1到 函数极限的定义与性质 例1.考查函数y=f(x)=x+1,(K∈R)当x无限趋近于常数1（记x→）的变化趋势. 例2考查函数=g)= ,(xeR且x≠I)当x→1时的变化趋势 x-1 当x从x。=1的左右近旁越来越接近于1时，f(x)越来越接近于2，要多接近就 会有多接近.当kx-1无限变小时，f(x)-2也无限变小 例1和例2中函数的区别仅在于在点x,=1处是否有定义，而这一差别并不影响 它们的极限. 2.函数极限的定量描述(x→x。时) (1)定义：设函数fx)在点x,的去心邻域U(x,)内有定义，如果对于任意小 的正数E(不论它有多小)，总存在相应的正数6，使得满足0x-x,k6的一切 x能使f(x)-Akε恒成立，则称函数当x→x,时以A为极限，或称函数f(x)在 x。点有极限，记作 Iimf(=A或f)→A(x→x) 6-6语言描述：6>0,36>0，使当00,要使|f(x)-A卡 -2k6成立，即2引x水减1x水号 2x-1 2K2 故。取6宁可知对满足0x水6的-切：能使二-<6成立，得正 2x-11 3.左极限和右极限 (1)定义
4 第二节 函数极限 一、 函数极限的定义与性质 1. 引例 例 1.考查函数 ， 当 无限趋近于常数1 记 的变化趋势 y fx x x R x x = ( ) 1 ( ) ( 1) . =+ ∈ → 例 2. 2 -1 () , ( ) 1 . -1 1 x y gx x x x 考查函数 当 时的变化趋势 == ∈ → R x 且 ≠ 当 x 从 0 x = 1的左右近旁越来越接近于 1 时， f ( ) x 越来越接近于 2，要多接近就 会有多接近. 当 x − 1 无限变小时， f x() 2 − 也无限变小 例 1 和例 2 中函数的区别仅在于在点 0 x = 1处是否有定义，而这一差别并不影响 它们的极限. 2. 函数极限的定量描述（ 时） （1）定义：设函数 f ( ) x 在点 0 x 的去心邻域 0 0 U x( ,) δ 内有定义，如果对于任意小 的正数ε （不论它有多小），总存在相应的正数δ ，使得满足 0 0|- | ∃> 0, 要使 2 4 1 | ( )- | 2 2 1 x fx A x ε − = −< − 成立，即 1 1 2| - | | - | . 2 22 x x ε < ε或 < 故，取 = 2 ε δ ，可知对满足 1 0| - | 2 < < x δ 的一切 x 能使 2 4 1 2 2 1 x x ε − − < − 成立，得证. 3. 左极限和右极限 （1）定义 0 x x → y f = ( ) x A− ε A A+ ε x y o ( ) 0 x + δ 0 x −δ 证明 2. 2 1 4 1 lim 2 2 1 = − − → x x x
x从左侧无限趋近xo,记作x→石；x从右侧无限趋近，记作x→x.如果它们的极限 存在的话，前者称为左极限，后者称为右极限记作1imf(x)和Iimf(x) (2)定理 (x)在x点的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等 (即1imf(x)=A台f(x6)=f(x)=A) (3)例题 「1当x>0 讨论符号函数f(x)=sgnx={0当r=0在点x0处的极限不存在 -1当x0,x无限变大，即x沿轴正方向无限变远： x→o,表示x0,X>0,使当>X时，恒有f)-AX时，函数y=f(x图形完全落在以直线y=A为中心线。 花为2的菱登经锅跑对值无限增大时函数x)的极限可能存在也可能不存在， 例：-acm一子can号-0 1im2F=0,1im2=+o.当x→o时，sin的极限不存在 5.函数极限的性质（以x→x,为代表） 定理1（函数极限的唯一性）若函数f(x)在x→x,时极限存在，则极限唯一. 定理2（局部保号性）如果1imf(x)=A>0(或A0(或f(x)<0) 定理3非负函数的极限非负.即若f(x)20,且limf(x)=A,那么A≥0. 推论：若f(x)≤gx),且1imf()=A,1img()=B,那么A≤B
5 - 0 0 + 00 00 . lim ( ) lim ( ). , ; , . xx xx fx fx x x x xx x x x → → + 从左侧无限趋近 记作 从右侧无限趋近 记作 如果它们的极限 → → − 存在的话，前者称为左极限，后者称为右极限 记作 和 (2) 定理 0 0 0 0 () . lim ( ) ( ) ( ) x x fx x fx A fx fx A − + → =⇔ = = 在 点的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等 （即 ） (3)例题 讨论符号函数 1 0 ( ) sgn 0 0 1 0 x fx x x x ⎧ > ⎪ == = ⎨ ⎪− → −∞ 0, >0, , ( ) . x fx A X X fx A ε x ε →∞ = ∀ ∃ > − = = 宽为 的带形区域内
无穷大量与无穷小量 1.无穷大量 定义：若在某个变化过程中，函数fx)的绝对值/(x变得越来越大，且想多 大就会有多大，则称该函数的极限为无穷大，记作f(x)→o(x→x或x→∞) fx)称为无穷大量，简称无穷大 例如：1im2产=+o,称2'在x→+o时是无穷大量. lim Inx=-o,称lnx在x→0时是无穷大量 说明：(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆」 (2)称函数是无穷大量， 必须指明其自变量的变化趋势 2.无穷小量的概念 定义：若函数f(x)在某个极限过程中以零为极限，则称f(x)为该过程中的无 穷小量，简称无穷小.（或称以零为极限的变量为无穷小量） 例如：1im2=0,称2在x→-o时是无穷小量 limsinx=0,称sinx在x→0时是无穷小量 说明：(1)无穷小是变量，不能与很小的数混为一谈 (2)称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势 (3)零是唯一可以作为无穷小的常数 变量、极限与无穷小量的关系定理： limf(x)=A台fx)=A+a,其中a→0e→x 3.无穷小量的性质 (1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量. (2)无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量 (3)无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量 (常量与无穷小的乘积也是无穷小) (4)无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大， 说明：关于无穷大的讨论，可归结为关于无穷小的讨论 4.无穷小量的阶的比较 我们把两个无穷小量的比写成。的形式，其极限有特确定，成为。型不定式 设α，B是同一过程中的两个无穷小，且B≠0.若 仙如果im分=0，则称a是B高阶的无穷小记作a=o(): (2)如果im名=o,则称a是p低阶的无穷小：
6 二、 无穷大量与无穷小量 1. 无穷大量 定义：若在某个变化过程中，函数 f ( ) x 的绝对值|f ( ) x |变得越来越大，且想多 大就会有多大，则称该函数的极限为无穷大，记作 0 fx x x x ( ) →∞ → →∞ （或） f ( ) x 称为无穷大量，简称无穷大. 例如： + lim 2 = + x x→ ∞ ∞ ,称2+ . x 在 时是无穷大量 x → ∞ + 0 lim ln = - x x → ∞, 称 lnx 在 x 0 → −时是无穷大量. 说明：（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （2）称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。 2. 无穷小量的概念 定义：若函数 f ( ) x 在某个极限过程中以零为极限，则称 f ( ) x 为该过程中的无 穷小量，简称无穷小.（或称以零为极限的变量为无穷小量.） 例如： - lim 2 = 0 x x→ ∞ , 称2- . x 在 时是无穷小量 x → ∞ 0 limsin 0 x x → = ,称sin 0 . x x 在 时是无穷小量 → 说明：（1）无穷小是变量, 不能与很小的数混为一谈. （2）称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. （3）零是唯一可以作为无穷小的常数. 变量、极限与无穷小量的关系定理: 0 0 lim ( ) ( ) , 0( ) x x f x A f xA xx α α → =⇔ =+ → → 其中 . 3. 无穷小量的性质 （1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量. （2）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量. 例如 sin 1 lim lim( sin ) 0 x x x x →∞ →∞ x x = ⋅ = （3）无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量. （常量与无穷小的乘积也是无穷小） （4）无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 说明：关于无穷大的讨论，可归结为关于无穷小的讨论 4. 无穷小量的阶的比较 我们把两个无穷小量的比写成 0 0 的形式，其极限有待确定，成为 0 0 型不定式. , , 0. (1) lim 0, , ( ) ; o αβ β α α β αβ β ≠ = = 设 是同一过程中的两个无穷小 且 若 如果 则称 是 高阶的无穷小 记作 (2) lim , α α β β 如果 则称 是 低阶的无穷小； = ∞
6)如果m合=ce生0则格店a是同阶无穷小 特别地，c=1,则称B与α是等价的无穷小，记作a~B 说明：(1)称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化 过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶. (2)在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的， (3)类似可对”型不定式进行阶的比较 方京万都是无穷小由于血- 例如：当n→∞时，↓，1 故是=哈即时是此片离阶的无穷小，面方 是比以低阶的无穷小 xsin I 又如1im一x =limsin-,极限不存在，故xsin上与x同为无穷小量却不能比较 三、极限的四则运算 1.定理：设imfx)=A,img(x)=B,则()limlf(x)±g(x=A±B (2)imf(x)小g(x)川=AB: 3imf9=A,其中B≠0. g(x)B' 推论()如果Iimf(x)存在，而k为常数，则imkf(x)=klimf(x) (2)如果Iimf(x)存在，而是正整数，则1im[f(x)]”=[imf(x)]”. 说明：(1)上述结论在1imf(x)和limg(x)都存在的前提下成立，不能反推。 (2②)上述结论可以推广至有限项成立， 2.例题 例1.求1im(x2-3x+5). 解：1im(x2-3x+5)=l1imx2-lim3x+lim5=4-6+5=3. x3-1 例2.求1imx2-3x+5 x-12-im-2-l_7 解：1m(c-3x+5)=30r-3x+5r-3x+3写 说明：（1)设fx)=ax”+ax+.+a, 7
7 (3) lim ( 0), , c c α β α β 如果 则称 与 是同阶无穷小 = ≠ ; 特别地， 则称 与 是等价的无穷小 记作 c =1, , ~ . β α αβ 说明：（1）称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化 过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶. （2）在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的. （3）类似可对 ∞ ∞ 型不定式进行阶的比较. 例如： 2 11 1 n , , , n n n 当 时 都是无穷小 由于 → ∞ 2 1/n 1 0 , 1/n n = → 1/ 1/ n n n = →∞ 2 2 111 1 o( ), n nn n 故 即 是比 高阶的无穷小， = 1 1 . n n 而 是比 低阶的无穷小 又如 0 0 1 sin 1 lim = limsin x x x x → → x x ，极限不存在，故 1 x sin x 与 x 同为无穷小量却不能比较. 三、 极限的四则运算 1. 定理：设 则 lim ( ) ,lim ( ) , f x A gx B = = (1) lim[ ( ) ( )] ; f x gx A B ± = ± (2) lim[ ( ) ( )] ; f x gx AB ⋅ =⋅ ( ) (3)lim , 0. ( ) fx A B gx B = 其中 ≠ 推论 (1) 如果 存在 而 为常数 则 lim ( ) , , lim[ ( )]= lim ( ). f xk kf x k f x (2) lim ( ) , , lim ( ) lim ( ) . [ ] [ ] n n 如果 存在 而 是正整数 则 fx n fx fx = 说明：(1) 上述结论在lim ( ) lim ( ) f x gx 和 都存在的前提下成立，不能反推. (2) 上述结论可以推广至有限项成立. 2. 例题 例 1. 求 2 2 lim( 3 5) x x x → − + . 解： 2 2 2 222 lim( 3 5) lim lim3 lim5=4-6+5=3. x xxx xx x x → →→→ −+= − + 例 2.求 3 2 2 1 limx 3 5 x → x x − − + . 解: 2 2 lim( 3 5) 3 0 x x x → ∵ − + =≠ ， 3 3 3 2 2 2 2 2 2 lim lim1 1 217 lim 3 5 lim( 3 5) 3 3 x x x x x x xx xx → → → → − − − ∴ = == −+ −+ . 说明：（1）设 1 0 1 ( ) n n n f x ax ax a − = + ++ "
则limf(x)=a,(imx)”+a,(imx)-+.+a,=ax”+ax"-++an=fx) 2)设f=.且Q)≠0，则mf Q(x) m-) lim e(x)(x) 州双求吗 解：因x→)时，分子分母的极限都是0，为“0，型不定式，不能用商的极限 0 法则。可先约去分子和分母中为0的公因式，于是 m4?-1=1m2x+2x-=m2r+2.称此方法为“消零因子法”. 2x2x1 例4求回 解：因为n→∞时，分子分母的极限都是无穷大，为“”型不定式，不能用商 的极限法则。求解时可以用分子、分母中幂次最高的项去除分子、分母，分 出无穷小，再求极限。 11 2+疗症2.称此方法为“无穷小量分出法” 1 例5.求lim(W+2-). 解：两个异号的无穷大量之和是“0-0”型不定式. =-r恤g-不2 (Nx+2+√F) 此方法称为“有理化法”. 浙+x-1 ※例6.求细+x- 1-1 1+12 解：令x+1=x→0→1→1.原式=二=+中专 此方法称为变量代换法
8 则 0 00 1 1 0 1 00 10 0 lim ( ) (lim ) (lim ) ( ) n n nn n n xx xx xx f x a x a x a ax ax a f x − − → →→ = + ++ = + ++ = " " . (2) 设 0 ( ) () , ( ) 0 ( ) P x f x Qx Q x = ≠ 且 ，则 0 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x x x x x P x P x f x fx Qx Qx → → → = == 例 3. 求 2 1 2 4 1 lim x 2 -1 x → x − . 解：因 1 2 x → 时，分子分母的极限都是 0，为 0 0 “ ”型不定式，不能用商的极限 法则。可先约去分子和分母中为 0 的公因式，于是 2 11 1 22 2 4 1 (2 1)(2 -1) lim = lim = lim (2 +1)=2. xx x 2 -1 2 -1 x xx x →→ → x x − + 称此方法为“消零因子法”. 例 4. 求 3 3 2 +1 limn 3 1 n n →∞ n + − . 解：因为n → ∞时，分子分母的极限都是无穷大，为 ∞ ∞ “ ”型不定式，不能用商 的极限法则。求解时可以用分子、 分母中幂次最高的项去除分子、 分母， 分 出无穷小， 再求极限。 3 2 3 3 3 1 1 2 + 2 +1 2 lim = lim = . 31 3 1 3 n n n n n n n n →∞ →∞ + + − − 称此方法为“无穷小量分出法”. 例 5. 求 + lim ( 2 - ) x x x → ∞ + . 解：两个异号的无穷大量之和是“ ”型不定式 ∞-∞ . ++ + ( 2 - )( 2+ ) 2 lim ( 2 - )= lim = lim =0. ( 2+ ) ( 2+ ) xx x x xx x x x →∞ →∞ →∞ xx xx + + + + + 此方法称为“有理化法”. ※例 6. 3 0 1 1 lim 1 1 x x → x + − + − 求 . 解：令 6 x tx t += → ⇒→ 1 0 1. ， 2 3 2 1 1 1 12 lim = lim = . t t 1 13 t t → → t tt − + = = − ++ 原式 此方法称为变量代换法
四、两个重要的极限公式 1婴1 1®里兰 1-sin3x 例2.x+snx 2.im1+=e. 例1.m-r=im+广r= 例2m+2子rx=m+产[m+v
9 四、 两个重要的极限公式 1. 0 sin lim 1 x x → x = 例 1. 0 0 tan sin 1 lim lim =1 cos x x x x → → x x x = ⋅ 例 2. 000 sin 3 sin 3 1 13 sin 3 1 3 3 lim lim lim 1 sin 1 1 sin sin 1 1 xxx x x x x x x x x x x x x →→→ − − − − = = = =− + + + + . 2. 1 lim(1 ) . x x e →∞ x + = 例 1. 1 11 1 lim(1 ) = lim[(1 ) ] = . x x x x x x e − − →∞ →∞ − + − 例 2. 3 3 11 3 3 lim(1 ) 3 lim(1 ) = lim(1 ) = . x uu x uu x u e →∞ →∞ →∞ x uu ⎡ ⎤ += + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 令
第三节连续函数 1.增量的定义：设函数y=x)的定义域是X当自变量从定点x变化到新的点x 时，它们的差称为自变量的增量（或叫做改变量）.记做△x=x-·对应的函数 值由fx)变化到f(x+△x),其差△y=f(x,+△x)-f(x)称作函数的增量，即 Ay=f(x)-f(x). 注：△r可能是正的，也可能是负的. 2.连续函数的定义 定义1.设函数f(x)在U,6)内有定义，如果当自变量的增量△x趋向于0时， 对应的函数增量Ay也趋向于0，即mA=0,或m[/化+A)-f,小=-0，那 么就称函数fx)在x点连续，也称x,点是fx)的连续点。 注：这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质.(1)自变量变化很小时，函 数值的变化也很小.（②）连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 定义2.设函数f(x)在Ux,6)内有定义，如果当x→，时，f(x)的极限存在且 等于f化，)，即mf)=f),那么就称函数f)在，点连续。 3.函数的间断点 由上述连续函数的定义可知，函数∫(x)在x点连续必须满足以下三个条件： (1)fx)在x点处有定义：（②）lim f(x)存在：(3)1imf(x)=f(x). 如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在x点处不连续（或间 断)，并称：为f(x)的不连续点（或间断点）· 例1.f在x=0处没有定义，所以x0是间断点. 「x,x≠1， 例2.fx)= 2 ,由您时≠02，同是间断点. sinx 例3.fx)=x x0.由m ninx=10,所以虽然x=0是分段点，但是 x=0. fx)的连续点. 注：若函数在一个区间内点点连续，就称这个函数是这个区间上的连续函数
10 第三节 连续函数 一、连续函数概念 连续函数是微积分研究的主要对象. 1.增量的定义：设函数 y fx = ( ) 的定义域是 X,当自变量从定点 0 x 变化到新的点 x 时,它们的差称为自变量的增量(或叫做改变量).记做 0 Δx xx = − . 对应的函数 值由 0 f ( ) x 变化到 0 f ( ) x x + Δ ，其差 0 0 Δy f = +Δ − ( ) () x x f x 称作函数的增量，即 0 Δ= − y f ( ) ( ). x f x 注：Δx 可能是正的,也可能是负的. 2.连续函数的定义 定义 1.设函数 f ( ) x 在 0 U x( ,) δ 内有定义，如果当自变量的增量Δx 趋向于 0 时， 对应的函数增量Δy 也趋向于 0，即 0 lim =0 x y Δ → Δ ，或 [ 0 0 ] 0 lim ( ) - ( ) =0 x fx x fx Δ → + Δ ，那 么就称函数 f ( ) x 在 0 x 点连续，也称 0 x 点是 f ( ) x 的连续点. 注： 这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质.(1)自变量变化很小时，函 数值的变化也很小.(2) 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 定义 2. 设函数 f ( ) x 在 0 U x( ,) δ 内有定义，如果当 0 x → x 时， f ( ) x 的极限存在且 等于 0 f ( ) x ，即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → = ，那么就称函数 f ( ) x 在 0 x 点连续. 3.函数的间断点 由上述连续函数的定义可知，函数 f ( ) x 在 0 x 点连续必须满足以下三个条件： (1) f ( ) x 在 0 x 点处有定义；(2) 0 lim ( ) x x f x → 存在；(3) 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx → = . 如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数 f ( ) x 在 0 x 点处不连续（或间 断），并称 0 x 为 f ( ) x 的不连续点（或间断点）. 例 1． 1 f x( )= x 在 x=0处没有定义，所以 x=0是间断点. 例 2. , 1, ( )= 1 , =1. 2 x x f x x ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ,由 1 lim ( )=1 (1)=1/2 x fx f → ≠ ， x=1是间断点. 例 3. sin , 0, ( )= 1, =0. x x f x x x ⎧ ⎪ ≠ ⎨ ⎪ ⎩ 由 0 sin lim =1= (0) x x f → x ，所以虽然 x=0是分段点，但是 f ( ) x 的连续点. 注：若函数在一个区间内点点连续，就称这个函数是这个区间上的连续函数