第1章微积分的基础和研究对象 ■§1.1微积分的基础一集合、实数 ■§1.2微积分的研究对象一函数 ■§1.3数学模型简介
◼ §1.1 微积分的基础——集合、实数 ◼ §1.2 微积分的研究对象——函数 ◼ §1.3 数学模型简介 第1章 微积分的基础和研究对象
§1.1微积分的基础—集合、实数 、从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 17世纪，科技发展给数学提出的四类问题 ●瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题（曲线长度、图形面积等）。 数学危机：在一定数学理论系统内无法解决的重大数学矛盾
§1.1微积分的基础——集合、实数 一、从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。 数学危机：在一定数学理论系统内无法解决的重大数学矛盾 17世纪，科技发展给数学提出的四类问题
从牛顿的流数法和第二次数学危机淡起 ■牛顿的流数术 以求函数y=x3的导数为例 (x+o)3-x3=3x20+3x02+03 求比值 x+oP-x=3x2+3x0+02 舍弃含0的项，得到 y=x的流数为3x2 问题：流量的微小改变量“0”是不是零？
一、从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 ◼ 牛顿的流数术 3 3 2 2 3 3 3 2 2 ( ) 3 3 ( ) 3 3 x o x x o xo o x o x x xo o o + − = + + + − 求比值 = + + 舍弃含o 的项，得到 3 以求函数y x = 的导数为例 3 2 y x x = 的流数为3 问题：流量的微小改变量“o”是不是零？
、 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 牛顿对它曾作过三种不 同解释：1669年说它是 一种常量；1671年又说 它是一个趋于零的变量； 1676年它被“两个正在 消逝的量的最终比”所 代替.但是，他始终无 法解决上述矛盾。 艾萨克牛顿(1642-1727) 问题：流量的微小改变量“0”是不是零？
➢ 牛顿对它曾作过三种不 同解释：1669年说它是 一种常量；1671年又说 它是一个趋于零的变量； 1676年它被“两个正在 消逝的量的最终比”所 代替. 但是，他始终无 法解决上述矛盾. 一、从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 问题：流量的微小改变量“o”是不是零？ 艾萨克·牛顿（1642-1727）
从牛顿的流数法和第二次数学危机淡起 莱布尼茨曾试图用和无穷小量成比例 的有限量的差分来代替无穷小量， 但是他也没有找到从有限量过渡到无 穷小量的桥梁. 英国大主教贝克莱于1734年写文章， 攻击流数（导数）“是消失了的量的 鬼魂”，亟力反对蕴含运动变化这一 新潮思想的微积分。 莱布尼茨（1646-1716) 围绕微积分的逻辑基础问题展开的激烈争论，被数学 史界称为第二次数学危机
英国大主教贝克莱于1734年写文章， 攻击流数(导数) “是消失了的量的 鬼魂”，亟力反对蕴含运动变化这一 新潮思想的微积分。 围绕微积分的逻辑基础问题展开的激烈争论，被数学 史界称为第二次数学危机。 莱布尼茨曾试图用和无穷小量成比例 的有限量的差分来代替无穷小量， 但是他也没有找到从有限量过渡到无 穷小量的桥梁. 一、从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 莱布尼茨（1646-1716）
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 极限理论的建立，解决了微积分的逻辑基础，消除了 第二次数学危机。 微积分 极限理论 集合 实数的连续性
极限理论的建立，解决了微积分的逻辑基础，消除了 第二次数学危机。 微积分 极限理论 集合 实数的连续性 二、极限、实数、集合在微积分中的作用
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ■1.数的认识 自然数(natural numbers)W 整数(integer) Z 有理数(rational number)Q 无理数(irrational number) 实数(real number) R 复数(complex number) C
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ◼ 1.数的认识 整数（integer) Z 有理数（rational number) Q 无理数（irrational number） 自然数（natural numbers ) N 实数（real number） R 复数（complex number） C
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ■自然数中减法产生负数，→整数系统： ■整数中除法产生分数，三有理数系统； ■自然数中开方产生无理数，三实数系统： ■负数中开方产生虚数，→复数系统
◼ 自然数中减法产生负数， 整数系统； ◼ 整数中除法产生分数， 有理数系统； ◼ 自然数中开方产生无理数， 实数系统； ◼ 负数中开方产生虚数， 复数系统。 二、极限、实数、集合在微积分中的作用
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ■2.实数系的建立 从代数上看，有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域。 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 从集合上看，有理数是有序的、可数的。 但是： 0 0.5 '1√2 X 从代数上看，有理数在开方运算下不封闭； 从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙
从代数上看， 有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域。 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 从集合上看，有理数是有序的、可数的。 二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ◼ 2.实数系的建立 从代数上看，有理数在开方运算下不封闭； 从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙。 但是： 0 0.5 1 2 x
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ▣2实数系的建立 有理数扩充的直接结果是实数集，有理数与无理数统称为实数 从代数上看，实数在开方运算下不封闭； 从几何上看，实数能铺满整个数轴，称为实数的连续性。 微积分研究对象 连续函数 实数的连续性
二、极限、实数、集合在微积分中的作用 ◼ 2.实数系的建立 有理数扩充的直接结果是实数集，有理数与无理数统称为实数 从代数上看，实数在开方运算下不封闭； 从几何上看，实数能铺满整个数轴，称为实数的连续性。 微积分研究对象 连续函数 实数的连续性