习题二（部分习题解答） 5下列变量在给定的变化过程中，哪些事无穷小量，哪些是无穷大量？ 0y=→0. 答：~吗当→0时，是无方大量 aan x+3 答：~脚0，六当x→时，是无穷大量 )y=smx→w 答：msin=0,“当x→x时，是无穷小量 (4)y=3-1,(x→0). 答：im(3*-1)=0,当x→0时，是无穷小量 (5)y=lnx,(x→0*) 答：lim Inx=+o,当x→0*时，是无穷大量 ⑥y=1+1少，m→w n 答：m+仁少-0，∴当n→0时，是无穷小量 6.当→0时，讨论下列无穷小量关于无穷小量x的阶的比较 (1)x 答案：四=0儿的离阶无穷小 (2)x'sin I
1 习题二（部分习题解答） 5 下列变量在给定的变化过程中，哪些事无穷小量，哪些是无穷大量？ (1) ,( 0) 1 2 → − = x x x y . 答： 2 0 1 lim = x x → x − ∵ ∞， ∴当 x → 0时，是无穷大量. (2) ,( 1). 1 3 2 → − + = x x x y 答： 2 1 3 lim , x 1 x → x + = ∞ − ∵ ∴当x →1时，是无穷大量. (3) ,( ). 1 = sin x → ∞ x y 答： 1 lim sin 0, x→∞ x ∵ = ∴当x → ∞时，是无穷小量. (4) ). 3 1,( 0 y = - x − x → 答： - 0 lim(3 1) 0, x x→ ∵ − = ∴当x → 0时，是无穷小量. (5) ln ,( 0 ). → + y = x x 答： 0 lim ln , x x → + ∵ = +∞ ∴当 0 时，是无穷大量. → + x (6) ,( ). 1 ( 1) → ∞ + − = n n y n 答： 1 ( 1) lim 0, n n→∞ n + − ∵ = ∴当n → ∞时，是无穷小量. 6. 当 时， x → 0 讨论下列无穷小量关于无穷小量 x 的阶的比较. (1) 3 x 答案： 3 3 0 lim 0, x x x x → x ∵ = ∴ 是 的高阶无穷小. (2) 2 1 x sin x
答案：im x =阳女n上a地的高时无穷水 (3)√F 奢案：im上三m下=o,是的低阶无穷小 1 x (4)vxcosx 案 mc0s=0Fc0sx是的低阶无穷小 8。求极限 (01im3x-x+2) 答案：原式=im3x2-imx+2=3-1+2=4 co 第就} 答案：照式-四任+25-2》=吧K-2=4 *+2 0 lim 4+2.1 xx (6)lim x 2x-cosx 答案：原式-2.9g)-2-0c0sx-2
2 答案： 2 2 0 0 1 sin 1 1 lim lim sin 0, sin x x x x x xx → → x xx ∵ = =∴ 是 的高阶无穷小. (3) x 答案： 0 0 1 lim lim , x x x x x → → x x ∵ = =∞∴ 是 的低阶无穷小. (4) x x cos 答案： 0 0 cos cos lim lim , cos x x xx x x xx → → x x ∵ = =∞∴ 是 的低阶无穷小. 8. 求极限 (1) (3 2). 2 1 lim − + → x x x 答案：原式=. 2 1 1 lim 3 lim 2 3 1 2 4 x x x x → → − + = −+ = (2) . 4 2 2 3 2 2 lim − − + → x x x x 答案： 2 2 3 2 lim(2 2) 8 = 2. lim( 4) 4 x x x x x → → − + = = − 原式 (3) 2 ( 2) 4 lim . x 2 x → − x − + 答案： ( 2) ( 2) ( 2)( 2) = lim lim ( 2) 4. x x 2 x x x →− →− x + − = − =− + 原式 (4) 2 3 1 4 2 3 2 3 2 lim − + + − →∞ x x x x x x . 答案： 2 3 2 1 4 = lim 2. 3 1 2 x x x x x →∞ + − = − + 原式 . (6) . 2 cos lim x x x x − →∞ 答案： cos 1 = lim(2- ) 2 lim cos 2. x x x x →∞ →∞ x x 原式 =− =
（01im42+3+2 n 欧地-独号 10求下列极限： (④1ima 1 答案：原式= 0 am是 答案原式号经细2号 (3)limcotx. 答案：原式-cs品-co职1 ④limn-smr x 答案保式-烟-口加=1-1心 案原四42-
3 (7) 2 1 2 3 lim n n n + + + + →∞ " 答案： 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 = lim lim . n n 2 2 n n n n →∞ →∞ n n + + 原式 = = 10 求下列极限: (1) . sin lim 0 x x x→ 答案： 0 1 = =1. sin limx x → x 原式 . (2) . 3 sin 2 lim 0 x x x→ 答案： 0 0 2 sin 2 2 sin 2 2 = lim = lim = . x x 32 3 2 3 x x → → x x 原式 ⋅ (3) cot . lim 0 x x x→ 答案： 0 00 = limcos limcos lim 1 x xx sin sin x x x x → →→ x x 原式 =⋅= . (4) . tan sin lim 0 x x x x − → 答案： 0 0 tan sin = lim lim 1 1 0. x x x x → → x x 原式 − =−= (5) . 4 sin( 2) 2 0 lim − − → x x x 答案： 2 22 sin( 2) 1 sin( 2) 1 = lim lim lim . x xx ( 2)( 2) 2 ( 2) 4 x x → →→ xx x x − − = = +− + − 原式 (6) . cos 1 2 0 lim x x x − →
-2sin 答案：原式-职父 -2 11求下列极限： (lim( 答案：令e。原式-iml+甘r=e lim+ 案式a护产心 (3)limd- 案式 ④limx之 答案：原式=叶白"-g*广0叶台=e1=心 14设函数f(x)= 仁，百起指选浙使利香数润网内走埃 答案：由初等函数的连续性可知，(x)在(-0,0)和(0，+o)内是连续的，下面讨论 x=0处的连续性 f(0)=a. f.(0)=limf(x)=lim(a+x)=a. (0)=lim/()=lime*=1. 要使fx)在点x=0处连续，必须.0)=人(0)=f0),即a=l,故选择 a=1时，能使得f(x)成为-o,+o内的连续函数
4 答案： 2 2 2 0 0 2 2sin sin 1 1 2 2 = lim lim . 2 2 ( ) 2 x x x x → → x x − 原式 =− =− 11 求下列极限： (1) (1 ) . 1 0 lim α α +α → 答案： 1 = lim(1 ) . u u u e α →∞ u + = 1 令 = ,原式 (2) ) . 2 (1 lim n n n + →∞ 答案： 2 2 2 2 2 2 2 = lim(1 ) = lim(1 ) = n n n n e n n ⋅ →∞ →∞ ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 原式 . (3) ) . 3 (1 lim x x x − →∞ 答案： ( ) ( 3) 3 3 3 = lim 1+( ) . x x e x − ⋅− − →∞ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 原式 (4) ) . 1 ( lim x x x x →∞ − 答案： 1 11 -1+1 1 = lim(1+ ) = lim(1+ ) lim(1+ ) 1 . 1 11 x x x xx e e x xx − →∞ →∞ →∞ = ⋅ = − −− 原式 14 设函数 ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ < = , 0 , 0, ( ) a x x e x f x x 应当怎样选择数a ,使得函数 f (x)在(−∞,+∞) 内连续. 答案：由初等函数的连续性可知， f (x)在(−∞，0)和(0,+∞) 内是连续的，下面讨论 x = 0处的连续性. (0) ( ) 1, (0) ( ) ( ) , (0) . lim lim lim lim 0 0 0 0 = = = = = + = = − − + + → → − → → + x x x x x f f x e f f x a x a f a 要 使 f (x) 在 点 x = 0 处连续，必须 (0) = (0) = (0), = 1, + − f f f 即a 故选择 a = 1时，能使得f (x)成为(−∞,+∞)内的连续函数
18利用连续函数求极限的法则求下列极限： 0 limos-h+》] x+1」 答案：原式limcosx-limx+ In(x+D)=1 elm[经nnax可 答案：原式-lim2-m2x+l-0 可 省：眼m2- (x-5(Vx-1+2) 答案：原式acsn1im-an-cor+cs-l)=-受 巳sinx,x0, 答案：讨论函数f(x)在分界点x=0处的连续性.因为 .(0)-limsnlim 人o=-limssin-lim+十liml=l 又f(0)=k, 要使(x)在分界点r=0处连续，则须1imf)=lim/x)=f0)=k,所以k=l 5
5 18 利用连续函数求极限的法则求下列极限： (1) . 1 ln( 1) cos lim 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − → x x x x 答案：原式= 1 ln( 1) cos lim lim 0 0 + + − → → x x x x x =1. (2) arctan 2 1 . 2 lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + →+∞ x x π 答案：原式= arctan 2 1 2 lim − lim + →+∞ →+∞ x x x π =0. (3) . 5 1 2 lim 5 − − − → x x x 答案：原式= 4. 1 1 2 1 ( 5)( 1 2) ( 1 2)( 1 2) lim lim 5 5 = − + = − − + − − − + → x x → x x x x x (4) ) . 12 tan cos( 2 1 arcsin lim 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + → π π x x x 答案：原式= 2. ) arcsin( 1) 12 tan cos( 2 1 arcsin lim 4 π π π = − = − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + → x x x . 19 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + > = < = sin 1, 0, , 0, sin , 0, 1 ( ) x x x k x x x x f x 问k 为何值时，函数 f (x) 在其定义域内连续? 答案：讨论函数 f (x) 在分界点 x = 0处的连续性. 因为 ( ) 0 ( ) ( ) (0) , 1. (0) , 1 1, 1 1 sin 1 (0) sin 1, sin sin 1 (0) lim lim lim lim lim lim lim 0 0 0 0 0 0 0 = = = = = = = + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = = = + − + + + − − → → → → → + → → − f x x f x f x f k k f k x x x f x x x x x f x x x x x x x 要使 在分界点 处连续，则须 所以 又