第二章导数与般多 (derivative and differentiate) §2=1导数的橇念 (concepts of derivative) （一）、引例：变速直线运动的速度：=巴+-0 △ 曲线的切线斜率。k=ga=m+-四 Ax (二)一、导数的构造性定义 )某x,点处的导数定义 设y=fx)在x,点的一个邻域有定义。若极限 色是-+) Ax 存在，则称它为)在x,点对x的导数，记为f:,咸(，减r= 即：%-典+g园 此时，也称y=x)在x。点可导，否则称为不可导（导数不存在 举例：1)设fx)=x2+1,求x=2点的导数f(2)
第二章 导数与微分 （derivative and differentiate） §2 一 1 导数的概念 (concepts of derivative) （一） 、引例：变速直线运动的速度： t s t t s t v t + − = → ( ) ( ) lim 0 曲线的切线斜率： x f x x f x k tg x + − = = → ( ) ( ) lim 0 （二） 、导数的构造性定义 a) 某 0 x 点处的导数定义 设 y = f (x) 在 0 x 点的一个邻域有定义。若极限 存在，则称它为 y=f(x)在 0 x 点对 x 的导数，记为 0 0 ' 0 ' ( ) ( ) x x dx dy f x 或y x 或 = 即： x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 ' 此时，也称 y=f(x)在 0 x 点可导，否则称为不可导(导数不存在). 举例：1）设 f(x)=x2+1,求 x=2 点的导数 (2) ' f x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0
)=+A- △x 导数定义的几种等价形式： @+月-16) h f(x)-f() X-名 朝子设的在点可号，则U化+片 原极限 +h-f2显3 lim- =f) b)导函数的定义 若f(x)在某区间(a,b)内点点可导，则称y=fx)在(a,b)内可导，此 时，其导数是区间(a,b)上点x的函数.称为fx)对x的导函数，简 称为导数，记为y或（域安，即 厂)=▣+A-) Ar 举例：①fx)= ②y=1 ③y=c求y (三)、导数的几何意义 )一色兰=侧-自线在点处的初线的斜率（国图） 因此，曲线y=fx)在(x)点切线方程为 y-Yo=f(xoXx-xo)
导数定义的几种等价形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x h x x f x x f x f x x f x h f x h f x f x x x → → → + − = + − = − = − 例子：设 f(x)在 x0点可导，则 + − − = → )] 2 1 ) ( 1 lim [ ( 0 0 n f x n n f x n ( ) 2 3 2 3 ) 1 ( 2 3 ) 2 1 ) ( 1 ( lim 0 ' 0 0 f x n n f x n f x n = + − − = → 原极限 b) 导函数的定义 若 f (x) 在某区间 (a,b) 内点点可导，则称 y = f (x) 在 (a,b) 内可导，此 时，其导数是区间 (a,b) 上点 x 的函数. 称为 f (x) 对 x 的导函数, 简 称为导数, 记为 dx dy y'或f '(x)或 ，即 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 ' 举例：① f (x) = x ② x y 1 = ③ y = c 求 y' （三） 、导数的几何意义 tg x y f x x = = →0 0 '( ) lim =曲线 f (x) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的切线的斜率（画图） 因此, 曲线 y = f (x) 在 ( , ) 0 0 x y 点切线方程为 ( )( ) 0 0 ' 0 y − y = f x x − x
法线方程为：-%=-】 1 顺便指出：电学上 i0(电流强度)= d 力学上 (四)、可导性与连续性的关系 1.可导性与连续性的关系： 可导之连线（证明）（举D 不可号士不连续 2.导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即 （左导数)化)=典+-m产园 Ar x-Xo （右导数))-+=m- x-Xo 举例：(x)= x2+1,(x>1) 2x,(xs1)
法线方程为： ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y − y == − − 顺便指出：电学上 i(t)（电流强度）= dt dQ 力学上 dt ds t s v t t = = →0 ( ) lim （四）、可导性与连续性的关系 1． 可导性与连续性的关系： ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 一定 不一定 可导 连续 （证明）（举例） ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 不一定 一定 不可导 不连续 2． 导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即 （左导数） 0 0 0 0 0 0 ' ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x f x x f x f x x x x − − = + − = → − → − − （右导数） 0 0 0 0 0 0 ' ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x f x x f x f x x x x − − = + − = → + → + + 举例： ( ) 2 1,( 1) 2 ,( 1) x x f x x x + =
§2-2基车求导公式及求导四则运算法则 (Derivatives of same elementary functions and the open rule derivatives) (一)、基本求导公式（导数基本公式） 1、(cy=0 2、(x"y=x- 3、(ay=aLna 4、(ey=e 5、(Log.=xna 1 6、nx)'=1 7、(siw)'=cos 8、(cosx)'=-sinx 1 9(@-oxw2 10、(a=x-cxx 1 ll、(secx)=secxtanx 12、(cscx)=-cscxcot 13、msn对j=- 1 14、(arccosx)=- v-x l5、((arctanx)=+ 16、((arccotx)=x+ 17、(shr)'=cm I8、(chr)'=shx (二)、求导四则运算法则 设u=u(x)v=(x)均可导，则 u士cu“（v≠0)也可导 且①(u±vy=生
§2-2 基本求导公式及求导四则运算法则 (Derivatives of same elementary functions and the open rule derivatives) （一） 、基本求导公式（导数基本公式） 1、(c)'= 0 2、 1 ( )' − = n n x nx 3、 a a Lna x x ( )'= 4、 x x (e )'= e 5、 xLna Log xa 1 ( )'= 6、 x 1 (lnx) ' = 7、 (sinx) cos x ' = 8、(cosx) sin x ' = − 9、( ) ' 2 2 1 tan sec cos x x x = = 10、( ) ' 2 2 1 cot csc sin x x x = − = − 11、( ) ' sec sec tan x x x = 12、( ) ' csc csc cot x x x = − 13、 2 ' 1 1 (arcsin ) x x − = 14、 2 ' 1 1 (arccos ) x x − = − 15、( ) ' 2 1 arctan 1 x x = + 16、( ) ' 2 1 cot 1 arc x x = − + 17、 shx = chx ' ( ) 18、 chx = shx ' ( ) （二）、求导四则运算法则 设 u = u(x), v = v(x) 均可导，则 , , , (v 0) v u u v c u v u 也可导 且 ① (u v)'= u'v
②(cwy=cw ③(uvy=v+m ④白=-m 1,2 ⑧白. 举例： 1)y 2)证基本公式912 》灯孕别 4)y=xhnxsin,x求y 5）f)-os产+3r2+rg 求f(0). -smx,则财@=1 6)(用定义求)f=acsn+sm (三)、反函数求导公式 (The open rule of derivative of composite function) 若)单调可导，且少=f≠0，则其反函数x=f+地可导，且 或、 dx 1 1 在（举例说明） dx y (四)、复合函数的求导法则
② (c u)'= cu' ③ (u v)'= u'v + uv' ④ 2 ' ' ( )' v u v uv v u − = ⑤ 2 ' ( )' v cv v c = − 举例： 1） ' 2 2 2 y x x x y 求 + = 2）证基本公式 9~12 3） 1 2 ) 2 ( 1 cos sin ( ) ' = + + = f x x x f x 求 4） ' y = x ln xsin x,求y 5） (0). 3( 1) cos ( ) ' 2 f x arctgx e x f x x 求 = + + 6）（用定义求） , (0) 1 1 sin 1 sin ( ) arcsin ' = + − = f x x f x x 则 （三）、反函数求导公式 （The open rule of derivative of composite function） 若 y=f(x)单调可导，且 ( ) 0 ' = f x dx dy , 则其反函数 x=f-1 (y)也可导，且 dy dy dx dx dx dy dy dx 1 1 = 或 = （举例说明） （四） 、复合函数的求导法则
y=f几(x地可导，且 若y=fu,u=p(x)均可导，则y=(Lp(xD'=f((x)p'(x) 密来密（证明》 (可以推广到有限个中间变量的情形) 一般的规律： (0)‘=n0-0 e=e· (a )=a Ina. (loga ) 0)=1.· (sin▣)=cos 4 1 举例：①y=1+2x)° ②y=Lx2+1) ③y=-x2 ④y=sin2a ⑤y=2ma ⑥y=Ln(cose) ⑦y=Lml+e2)-x+earctge求y) ⑧y=fsin2x)+fcos2x)求(x) 国y-gF+求盘 +x2-1 设u=i+,则y-ngu+好lu+小-u-》 以’或=
若 y=f(u),u= (x) 均可导，则 或 （证明） 也可导，且 dx du du dy dx dy y f x f x x y f x = = = = ( [ ( )]) ( ( )) ( ) [ ( )] ' ' ' ' （可以推广到有限个中间变量的情形） 一般的规律： （ n ） ' =n n−1 ' ( ' e ) = ' e （a ' ) =a lna ' (loga ' ) = ' ln 1 a (ln ' 1 ' ) = (sin) ' ' = cos . （arcctg ' 2 ' 1 1 ) + = 举例：① 10 y = (1+ 2x) ② ( 1) 2 y = Ln x + ③ 2 y = 1− x ④ 2 y = sin ⑤ t y cos = 2 ⑥ (cos ) 1 x y = Ln e ⑦ x x x y Ln e x e arctge 2 2 (1 ) 2 1 = + − + 求 y'(x) ⑧ (sin ) (cos ) 2 2 y = f x + f x 求 f '(x) ⑨ 1 1 1 1 4 1 1 2 1 2 2 2 + − + + = + + x x y arctg x Ln 求 dx dy 设 2 u = 1+ x ，则 [ ( 1) ( 1)] 4 1 2 1 y = arctgu + LnLn u + − Ln u − 2 ' 1 x x ux + = ， 2 ' 1 1 u yu − = =
密 -1 (2x+x3)W1+x (五)、初等函数的求导双曲函数与反双曲函数的导数 1、初等函数的导数任何“初函”的导数均可由“基本求导公式和 求导法则“求出，且其导数仍然是初函”。 2、分段函数的导数-在各个分段内用导数公式和求导法则求其 导数，在各个分段点上用导数的定义和左右导数的存在且相等的 定理，判定其可导性。 例： f)-xs0 [1-cosx,x>0 求-0 3、双曲函数与反双曲函数 1 (shx)=chx (arshx)= Vx2+1 (chx）=shx 1 (archx)=- x2-1 (thx)= ch'x (arthx)=1-x2 1
3 2 ' ' (2 ) 1 1 x x x y u dx dy u x + + − = = （五）、 初等函数的求导 双曲函数与反双曲函数的导数 1、初等函数的导数-任何“初函”的导数均可由“基本求导公式和 求导法则“求出, 且其导数仍然是初函”。 2、 分段函数的导数-在各个分段内用导数公式和求导法则求其 导数，在各个分段点上用导数的定义和左右导数的存在且相等的 定理，判定其可导性。 例： − = 1 cos , 0 , 0 ( ) 2 x x x x f x 求 = sin , 0 2 , 0 '( ) x x x x f x 3、 双曲函数与反双曲函数 ( ) ch x thx chx shx shx chx 2 ' ' ' 1 ( ) ( ) = = = 2 ' 2 ' 2 ' 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) x arthx x archx x arshx − = − = + =
6a-） (arshx)=(n(x+vx+1) 1,x+Vx2+1 -e'+e +F 2 =x+1 §2一3高阶导数 (Higher-order derivatives) (一)、高阶导数的概念 因为y=x)的导数y=∫(x)仍然是x的函数，若y=∫(x)的导 数存在，则称它为y=x)的二阶导数。记为： 诚财a成安 类似地，若y=f(x)的导数存在，则称为y=x)的三阶导数，记为： P()浅票，一般上，若叫阶导数的导数存在，则称它为))
( ) chx e e e e shx x x x x = + = − = − − 2 2 ' ' ( ) ( ( )) 1 1 1 1 1 1 ln 1 2 2 2 ' 2 ' 2 + = + + + + + = = + + x x x x x x arshx x x §2—3 高阶导数 （Higher—order derivatives） （一） 、高阶导数的概念 因为 y=f(x) 的导数 ( ) ' ' y = f x 仍然是 x 的函数，若 ( ) ' ' y = f x 的导 数存在，则称它为 y=f(x) 的二阶导数。记为； 2 2 " ( ) dx d y y 或f “ x 或 类似地，若 ( ) " " y = f x 的导数存在，则称为 y=f(x)的三阶导数，记为： ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y y f x dx 3 d 或 或 ，一般上，若 n-1 阶导数的导数存在，则称它为 y=f(x)
的n阶导数。记为 y广或e威是 举例：1、y=lnx 求f(e) 2、s=)8r 求s, 3、y=a”y=e求ym 4、y=-sinx y=sx+) 5、y=x”y0(0)=. (二)、求导的莱布尼茨法则（公式） (u土v)=m±vm) (cw）=c (m)0=三cum-, (用数学归纳法可证明) 类似二项式(u+)=三c-, 例如：1、y=x2e2求y20 记v=x2u=e2 则w四=2e( k=0,1,2,3.) v=2x,v=2,=0k>2 2y=x-2x-8求 a品
的 n 阶导数。记为： n n n n dx d y y ( )或f ( ) (x)或 举例： 1、y=xlnx 求 ( ) " f e 2、s= 2 2 1 gt 求 ' " s ,s 3、y= n a y= x e 求 (n) y 4、y=sinx (n) y = ) 2 sin( n x + 5、y= n x ( ) (0) n y = （二）、求导的莱布尼茨法则（公式） ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) ( ) n n cu = cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) k n k k n n k n uv c u v − = = （用数学归纳法可证明） 类似二项式 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) k n k k n n k n u v c u v − = + = 例如：1、 y= x x e 2 2 求 (20) y 记 v= 2 x u= x e 2 则 2 e (k ) k 2x u = （k=0,1,2,3.） 2 , 2, 0 ' " ( ) = = = k v x v v k>2 2、y== 2 8 1 2 x − x − 求 (n) y ] 2 1 4 1 [ 6 1 ( 4)( 2) 1 + − − = − + = x x x x y
=( (x+2) §2一4德属敷及参数方程所确定的盖数 的导数相关变化牵 (The derivalives of implist function and parametric fanction) (一)、隐函数的求导方法 方法一：从F(xy)0中解出)，再求导 方法二：方程两边对x求导，再解出y 方法三：微分法求 方法四：公式法求（下册） 例1：设y2,0求器及装及求密 （两种解法) 例2：y2+y=s(x)求y (二)、幂指数函数的求导法 1、对数求导法取对数后求导 2、y=W=em利用(e)=e·求导
1 ( ) ( ) 1 ( 4) ( 1) ! ) 4 1 ( + − − = − = n n n x n x y 1 ( ) 2 ( 2) ( 1) ! + + − = n n x n y §2—4 隐函数及参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 （The derivalives of implist function and parametric fanction） （一）、隐函数的求导方法 方法一：从 F（x,y）=0 中解出 y=f(x), 再求导 dx dy 方法二：方程两边对 x 求导，再解出 ' y 方法三：微分法求 方法四：公式法求（下册） 例 1：设 y 2 - xe y = 求 0 | x= dx d y dx d y 及 及求 2 2 dx d y （两种解法） 例 2： sin( ) 2 y + y = xy 求 ' y （二）、幂指数函数的求导法 1、对数求导法-取对数后求导 2、 v vLnu y u e = = 利用( ' e ) = ' e 求导