第十二章无穷级数 作用1)求积分近似值：，e,等。 2)求特殊量的值：π=3.14159265359.， e=2.71828182846.。 原型-曲边梯形的面积s=lim∑f()Ar, 13,3.3 写0+0+0+. 42 =1++++品+ §12一1无穷级数的概念及性质 一、无穷级数的概念 1.定义(（P249):∑4.=4+4+4++4+.-(1) 其中：u称为无穷级数的一般项（通项）；当4为常数 (函数)时∑“称为常数项（函数项）级数。 例如： 常数级数：动立'-r片 函数项级数：∑a,x，立a,sny。 2.级数24的部分和-一前几项和：5，=立4 部分和数列：s,523,.,5n. 3.收敛与发散
1 第十二章 无 穷 级 数 作用 1）求积分近似值： dx x x 1 0 sin ， e dx x − 1 0 2 ， dx x e 1 ln 1 等。 2）求特殊量的值： = 3.14159265359， e = 2.71828182846 。 原型 -曲边梯形的面积 ( ) 1 lim n i i n i s f x → = = ， = + 2 + 3 + 10 3 10 3 10 3 3 1 ， = + + 2 + 3 + 4 + 10 2 10 4 10 1 10 4 2 1 。 §12—1 无穷级数的概念及性质 一、 无穷级数的概念 1．定义（P249）： = + + ++ + = n n un u u2 u3 u 1 1 - （1） 其中： n u 称为无穷级数的一般项（通项）；当 n u 为常数 （函数）时 1 n n u = 称为常数项（函数项）级数。 例如： 常数级数： 1 3 1 n ， 1 ( +1) 1 n n ， − − 1 1 1 ( 1) n n ； 函数项级数： n n a x 1 ， a xy n sin 1 。 2 ．级数 1 n n u = 的部分和-前几项和： = n n uk s 1 部分和数列： s1 ,s2 ,s3 , ,sn , 3． 收敛与发散
若m,=5(存在)，则称级数2叫.收敛，且称s为级数 4的和，即 s=∑wn; 此时尺=s-5,=+以2++n4+一称为级数的余项。 若m5,不存在，则称2u,发散。 例D（等比级数)三立品，从1 发散g≥1 二mm+)的敛散性。 例2)判别级数方，1 二、级数的性质：（p251一253) 1、设k≠0，则∑u,与∑ku,的敛散性相同。 2、若∑”，∑收敛，则∑u,)-∑±∑，亦收敛。 3、级数∑u,的前面加上或减去有限多项不改变其敛散性。 4、收敛级数可以任意地加括号（但不可以任意地去括号）。 推论：加括号后发散，则原级数发散。 注：1).发敢的级数和差不一定发散。如：2。 2)·收敛级数去括号后不一定收敛。如： (1-1)+1-1)+1-1)+ 三、级数收敛的必要条件和发散的充分条件： 1、级数∑.收敛定im山，=0（收敛的必要条件） 但m4。=0不定→∑4，收敛。 2、若im4n≠0（或m4,不存在)（发散的充分条件） -定，∑u发散
2 若 s s n n = → lim （存在），则称级数 1 n u 收敛，且称 s 为级数 1 n n u = 的和，即 = 1 un s ； 此时 R s s u u u u n n n n n n = − = + + + + + + + + 1 2 3 4 -称为级数的余项。 若 n n s → lim 不存在，则称 1 n u 发散。 例 1） （等比级数） = − − 1 , 1 1 1 1 q q q a aq n 发散， 例 2） 判别级数 1 ( +1) 1 n n 的敛散性。 二、 级数的性质：（p251—253） 1、设 k 0 ，则 1 n u 与 1 n ku 的敛散性相同。 2、若 1 n u ， 1 n v 收敛，则 = 1 1 1 ( ) n n n n u v u v 亦收敛。 3、级数 1 n u 的前面加上或减去有限多项不改变其敛散性。 4、收敛级数可以任意地加括号（但不可以任意地去括号）。 推论：加括号后发散，则原级数发散。 注： 1）．发散的级数和差不一定发散。如： 1 1 n ， − 1 1 n 。 2）．收敛级数去括号后不一定收敛。如： (1 −1) + (1 −1) + (1 −1) + 三 、级数收敛的必要条件和发散的充分条件： 1、 级数 1 n u 收敛 lim 0 n n u → ⎯⎯⎯→ = 一定 （收敛的必要条件） 但 lim = 0 → n n u ⎯⎯⎯→ 不一定 1 n u 收敛。 2、 若 lim 0 → n n u （或 n n u → lim 不存在）（发散的充分条件） ⎯⎯⎯→ 一定 1 n u 发散
例3)1（调和级数）（仁→0，但发散。） 例) “发散。) 作业：255页-3(1)、4(5) §12一2数项级数的审敛法 .正项级数及其判敛法(u,之0n=1224为正项级数) 1.正项级数∑4nu,20)收敛一s有界，∑4n发散一{}无 界。 (证明：一略) 2.正项级数∑u,敛散性的判别法： ()比较法设un≥0，yn≥0，且4，≥yn 1.若∑“收敛，则∑也收敛 2.若∑发散，则∑.也发散。 （证明：-略) 注意：立，（发）立.（发） ∑.（收）∑，（收） 关键记住“三大级数”的敛散性： 1)、(等比级数) M<时收敛，51- a g≥时发散 2)、(调和级数) (发散)
3 例 3) 1 1 n （调和级数） ( 0 1 → n ，但发散。) 例 4) + 1 3 1 n n （ 1 1 3 → + = n n un 发散 。） 作业：255 页-3（1）、4（5） §12—2 数项级数的审敛法 一．正项级数及其判敛法 （ u 0.n =1,2, , n 1 n u 为正项级数） 1. 正项级数 1 n u ( 0) un 收敛 sn 有界， 1 n u 发散 sn 无 界。 （证明：-略） 2. 正项级数 1 n u 敛散性的判别法： ⑴ 比较法 设 n n n n u 0,v 0,且u v 1． 若 1 n u 收敛，则 1 n v 也收敛； 2． 若 1 n v 发散，则 1 n u 也发散。 （证明：-略） 注意： 1 n u （发） 1 n v （发） 1 n v （收） 1 n u （收） 关键记住“三大级数”的敛散性： 1）、（等比级数） − = − 时发散 时收敛， 1 1 1 1 1 q q a q s aq n 2）、（调和级数） 1 1 n （发散）
》、一银数》空时 （p251-例1) 例1)判别下级数的敛散性： 022 (2)51 ←n2-1 2- (3) (2)比较法的极限形式 则当00%>0且-兰- p>时∑u收敛 即得m(nP4,)=1>0 p≤时∑u,发散 例2)判别下级数的敛散性 (4)如月 (5)1+月 (3)比值法（应用上比较方便） 设∑4n，4n≥0 1时24，发散 1=时∑4的敛散性待定 例3)判别下级数的敛散性：
4 3）、（P—级数） 时发散 时收敛 1 1 1 1 p p n p （p251-例 1） 例 1) 判别下级数的敛散性： （1） 1 2 −1 1 n （2） 1 − 2 1 1 n （3） − 1 − 1 1 3 5 7 (2 1) 2 n n ⑵比较法的极限形式 = + = → → 时 发散 时 收敛 即得 则当 时， 与 敛散性相同 注 且 1 1 1 1 1 1 lim ( ) 0 0 0, 0, lim n n n p n n n n n n n n p u p u n u l l u v l v u u v 例 2) 判别下级数的敛散性： （4） =1 2 1 sin n n （5） = + 1 ) 1 ln(1 n n ⑶比值法 （应用上比较方便） 设 1 n u ，un 0 若 = = + → 时 的敛散性待定 时 发散 时 收敛 ，则 1 1 1 1 1 1 1 lim n n n n n n l u l u l u l u u 例 3) 判别下级数的敛散性：
(6)盘 器 (4)根值法 设4，≥0,24. !(时∑4收敛 若m面，=侧0时∑发散 1=1时∑4的敛散性待定 例4)判别下级数的敛散性： 8)) (9)2”m (比值法，比较法) 作业：268页-1(3)、2(4)、3(3)、4(1)。 二。交错级数及其判敛法 1、交错级数的定义（262页)一一∑(-1)”u.(或∑(-1)-u,), wn>0,（n=1,2,3.） 2、交错级数的判敛法-莱布尼茨法则(1714年提出) 交错级数∑(-1w。,若满足()mM,=0, (2)u,“单减”，即 4n24n1(n=1,2,3 则∑(-1)u收敛，且其和s≤4，余项≤u （证明-见262页) 例5)判别下级数的敛散性：
5 （6） =1 2 ! n n n （7） = 1 2 ! n n n n n ⑷根值法 设 un 0， 1 n u 若 = = → 时 的敛散性待定 〉时 发散 〈 时 收敛 则 1 1 1 1 1 1 lim n n n n n n l u l u l u u l 例 4) 判别下级数的敛散性： （8） n n n n = 1 2 +1 （9） =1 3 2 sin n n n （比值法，比较法） 作业：268 页-1（3）、2（4）、3（3）、4（1）。 二．交错级数及其判敛法 1、交错级数的定义（262 页）- ( 1) ( ( 1) ) 1 1 1 − − − n n n n u 或 u ， un 0 ，（ n = 1,2,3, ） 2、交错级数的判敛法-莱布尼茨法则（1714 年提出） 交错级数 − 1 ( 1) n n u ，若满足 ⑴ lim = 0 → n n u ， ⑵ n u “单减”，即 un un+1 (n =1,2,3, ) 则 − 1 ( 1) n n u 收敛，且其和 1 s u ，余项 n un+1 r （证明-见 262 页） 例 5) 判别下级数的敛散性：
(10) 2-r日， (11) - (12)(-1)-n+i-n (13)2-l-Ln1+m n+1 三。绝对收敛与条件收敛 1、定义：若∑“，与∑以同时收敛，则称∑“，绝对收敛。 若∑4收敛，而u发散，则称∑4，条件收敛。 例6)判别下级数绝对收敛还是条件收敛？ (14)-片（条收） (15) （绝收) (16 -11+m（条收) n+1 2、绝对收敛与收敛的关系： 若2收敛，则24收敛，反之不然。 (证明见讲义) 即绝对收敛→收敛，但收敛绝对收敛。 3、*绝对收敛级数的性质(P265一266)（略） 作业：26页-5(3) 四.任意项级数的审敛法 (比值法)设∑“。(u为任意项)
6 （10） − − 1 1 1 ( 1) n n ， （11） − − 1 2 1 1 ( 1) n n （12） ( ) − − + − 1 1 ( 1) n 1 n n （13） − + + − 1 1 1 (1 ) ( 1) n n Ln n 三．绝对收敛与条件收敛 1 、定义：若 1 n u 与 1 un 同时收敛，则称 1 n u 绝对收敛。 若 1 n u 收敛，而 1 un 发散，则称 1 n u 条件收敛。 例 6) 判别下级数绝对收敛还是条件收敛？ （14） − − 1 1 1 ( 1) n n （条收） (15) − − 1 2 1 1 ( 1) n n （绝收） (16) − + + − 1 1 1 ln(1 ) ( 1) n n n （条收） 2 、绝对收敛与收敛的关系： 若 1 un 收敛，则 1 n u 收敛，反之不然。 （证明见讲义） 即绝对收敛 收敛，但收敛 绝对收敛。 3 、*绝对收敛级数的性质（P265—266）（略） 作业：269 页-5（3） 四．任意项级数的审敛法 （比值法）设 1 n u （ n u 为任意项）
1吃发道 1=时∑4的敛散性待定 例6)：讨论级数X的敛散性。 问<1∑绝对收敛 因为会-，则当树时发故 内-电 §12—3幂级数 一、函数项级数的概念 级数∑4，(x)-—称为函数项级数。 当x=时，若∑u.(x)收敛（发散），则称x为∑u,x)的收敛点 (发散点)；全体收敛点（发散点）的集合，称为∑“，()的收敛 域（发散域)；对收敛域的每一点x级数有和，记为sx),即 sx)-∑“(x)(称为∑4(x)收敛于s(x),sx)成为级数∑u(x)和 函数。 （引例一古立） 二、幂函数及其收敛半径、区间
7 若 = = + → 时 的敛散性待定 时 发散 时 收敛，且为绝对收敛 则当 1 1 1 1 1 1 1 lim , n n n n n n l u l u l u l u u 例 6)：讨论级数 1 n n x 的敛散性 。 因为 x u u n n n = + → 1 lim ，则当 = = = 收敛（绝对收敛） 发散 时发散 绝对收敛 x -1, x 1, x 1 x 1 n x 1, 1 n x §12—3 幂 级 数 一、 函数项级数的概念 级数 ( ) 1 n n u x = -称为函数项级数。 当 0 x = x 时，若 1 0 u (x ) n 收敛（发散），则称 0 x 为 1 u (x ) n 的收敛点 （发散点）；全体收敛点（发散点）的集合，称为 1 u (x) n 的收敛 域（发散域）；对收敛域的每一点 x, 级数有和，记为 s(x) ，即 = 1 s(x) u (x ) n （称为 1 u (x) n 收敛于 s(x) ）， s(x) 成为级数 ( ) 1 n n u x = 和 函数。 （ 引例- = = 1− 0 1 n n x x ） 二、幂函数及其收敛半径、区间
、幂函数的概念空ax一少一称r-的幂级塑 区0，”一一春为的琴级数 其中一a称为幂函数系数。 2、Abel收敛原理（收敛的特征） 对于幂函数∑a,x“, 若()当x=。(≠0)时收敛，则在区间(-xD内绝对收敛； (2)当x=x(任0)时发散，则在区间(-xx)外发散。 （271页-证明) 3、收敛半径 aoxp 设空ar若回合a则数半-2 +,p=0 即收锁半径=中 1(或) 4、收敛区间及收敛域的求法一先求出收敛半径 R=回之，则得出收效区间（成网 再将x=±R代入∑ax”确定其敛散性，从而决定收敛域为一 -LRR戌-RR或(-RR或RR)之一。 例1)求下级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 ①-” ④∑10x @2r 5、立a,-x广的收敛区间及半径的求法 8
8 1 、幂函数的概念 − − = = — —称为 的幂级数 — —称为 的幂级数 x ( ) 0 0 0 0 n n n n n n a x a x x x x 其中- n a 称为幂函数系数。 2 、Abel 收敛原理（收敛的特征） 对于幂函数 n=0 n n a x ， 若⑴当 0 x = x ( 0) 时收敛，则在区间 ( , ) 0 0 − x x 内绝对收敛； ⑵当 1 x x = ( 0) 时发散，则在区间 (− | |,| | x x 1 1 ) 外发散。 （271 页-证明） 3 、收敛半径 设 n=0 n n a x ,若 + = = + + = = + → , 0 0, ,0 1 lim , 1 p p p p p R a a n n n 则收敛半径 即收敛半径 n n n n n n a a a R 1 lim lim 1 → + → = = （或） 4 、收敛区间及收敛域的求法-先求出收敛半径 1 lim + → = n n n a a R ， 则 得出收敛区间为 (−R R, ) 再将 x R = 代入 n=0 n n a x 确定其敛 散性，从而决定收敛域为- -− R,R或(− R,R)或(− R,R或− R,R) 之一。 例 1）求下级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 ① n n n x n = − − 1 1 1 ( 1) ② n n x n =1 ! 1 ③ =0 ! n n n x ④ =0 10 n n n x ⑤ =1 + 2 1 2 n n n x n 5 、 ( ) = − 0 0 n n n a x x 的收敛区间及半径的求法
()(方法一)设x-x=1变为∑a,“求。 @(方法二)设局-e1区人则收效 半径 R=,，再以x=X,x=x,代入原级数定出收敛域。 例2)(P274一例4，例5) 三、幂级数的运算性质 1. 四则运算性质(P274-275)(略) 2. 分析运算性质： 设f)=∑a,”,收敛半径为R:8)=∑6，收敛半径为R。 则（①fx)±g)=∑a,+b,)k”，收敛半径R=m(k,R) (②)fx)在R,R内连续，gx)在(R,R内连续。 (③)fx以g(x)在收敛区间内可以逐项地微分、积分，且收敛半径不变 即：f)=a,xy-2a,m f(x)ds-Ea.x'ds 等等。 例3)：求 三的收敛半径，区间及函数和，并求级数和三”。 （=品，收效区同为 a-相j-町-周
9 ⑴（方法一）设 x − x = t 0 变为 n=0 n n a t 求。 ⑵（方法二）设 ( ) 1 2 1 , 1 , ( ) ( ) lim l l x x u x u x n n n + = 由 区间 → ，则收敛 半径 2 1 2 x x R − = ，再以 1 2 x = x , x = x 代入原级数定出收敛域。 例 2）（P274—例 4，例 5） 三、幂级数的运算性质 1． 四则运算性质（P274-275）（略） 2． 分析运算性质： 设 = = 0 ( ) n n n f x a x ，收敛半径为 R1 ； 2 0 g(x) b x , R n n n 收敛半径为 = = 。 则 ⑴ ( ) = = + 0 ( ) ( ) n n n n f x g x a b x ，收敛半径 ( ) 1 2 R = min R ,R ⑵ f (x)在(− R1 ,R1 )内连续，g(x)在(− R2 ,R2 )内连续。 ⑶ f (x)、g(x)在收敛区间内可以逐项地微分、积分，且收敛半径不变 即： = = − = = 0 0 1 ( ) ( ) n n n n n f x an x a nx ( ) 0 0 0 x x n n n f x dx a x dx = = 等等。 例 3）：求 = = − − 1 1 1 1 n 3 n 3 n n x n n 的收敛半径，区间及函数和，并求级数和 。 （ lim 3 1 = = + → n n n a a R ， 收敛区间为 (−3,3) ； 2 1 1 1 0 1 1 1 (3 ) 9 3 1 3 3 3 3 3 3 ( ) x x x x x dx x n s x n n n n n x n n n − = − = = = = = = = − − −
作业：277-278页-1（1)、(4；2(2) §2—4离数展开成幂级数 Taglor公式f=2x-+R, =a得-r (本节主要解决①fx)在什么条件下展成∑ax；②什么条件下 ∑a,r收敛于fx):图∑a,x中的a,的形式如何？唯不唯一？④如 何求f(x)的幂级数。)
10 4 9 (3 1) 9 3 2 1 1 = − = = − n n n ） 作业：277-278 页-1（1）、(4); 2(2). §12—4 函 数 展 开 成 幂 级 数 Taglor 公式： = = − + 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ! ( ) ( ) k n k k x x R x n f x f x 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x （本节主要解决——① =0 ( ) n n n f x 在什么条件下展成 a x ；②什么条件下 n=0 n n a x 收 敛于 f (x) ；③ n=0 n n a x 中的 n a 的形式如何？唯不唯一？④如 何求 f (x) 的幂级数。）