第、章 空间解析几何与向量代数 §8一1向量及其钱性适算 空间直角坐标系的概念：（见P6的定义） 空间直角坐标系共有八个卦限 王灵下列区回 空间中的任一点M←一有序数组(x,y,z) x,y,z分别称为点M的横，纵，竖坐标。 空间直角坐标系把空间分为八个部分一一称为八卦限。（说明) 点在各卦限的符号为：
第八章 空间解析几何与向量代数 §8—1 向量及其线性运算 一． 空 间 直 角 坐 标 系 的 概 念 ：（ 见 P6 的 定 义 ） Ⅶ x o y z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间中的任一点 M ⎯⎯→ 1 1 −− 有序数组（x,y,z） x,y,z 分别称为点 M 的横，纵，竖坐标。 空间直角坐标系把空间分为八个部分-称为八卦限。（说明） 点在各卦限的符号为：
卦限（一）Ⅱ（二） .VⅢ（八） （x,y,z)（+,+,+)(-,+,+) . (+,-) 两点距离公式： (数轴上) (平面中) d-x上飞-x d=MM=Vx-x)了+-) dM,M2=Vx2-x)+02-y)2+(52-)月 (空间中) 定比分点公式： 设A(y,）分两点4k,:)为定比：即：4=元，则分点公式 AA、 为 x=考+ y=当+ (中点) 1+元 y=当+ 2 二、向量的概念 1.向量的定义-既有大小，又有方向的量。如：力、速度、 加速度。 2.向量的表示法-一用有向线段表示：ā=4B或坐标表示： a=(a,a2,a3）。 3.向量的模-向量的大小；记为d。 4. 单位向量模为1的向量
卦限 I （一） II（二） . VIII（八） （x,y,z） （+，+，+） （-，+，+） . （+，-，-） 两点距离公式： （数轴上） （平面中） d= ( ) 2 2 1 2 1 | | x x x x − = − d= ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 | | M M x x y y = − + − d= M1M2 = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) （空间中） 定比分点公式： 设 A（x,y,z）分两点 ( , ) i i i, i A x y z 为定比 ；即： 1 2 AA AA = ，则分点公式 为： 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x y y y z z z + = + + = + + = + （中点） 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x y y y z z z + = + = + = 二、 向量的概念 1． 向量的定义-既有大小，又有方向的量。如：力、速度、 加速度。 2． 向量的表示法-用有向线段表示： a AB = 或坐标表示： a a a a = ( 1 2 3 , , )。 3． 向量的模-向量的大小； 记为：a 。 4． 单位向量-模为 1 的向量
5.零向量一模为零的向量；记为0。 6.负向量模相等方向相反的向量；的负向量记为-ā。 7.相等的向量-模相等方向相同的向量ā，6：记为a=b。 8.平行（共线）向量-方向相同或相反的向量a,记为a6 三、向量的线性运算 1.向量的加减法 1).向量的加法一一三角形法则，平行四边形法则（如图） a-b 运算律：a+b=i+a a+(6+c=(a+b+c 2).减法—定义：a-i=a+(-b(如图) 且任一向量有a-a=0a+i=a 0-a=-d 2.向量与数量的乘积 1)、定义：数量1与a的乘积定义为一个向量1a。且 1°a=|2a 2°a平行a（2>0时，同向；1<0时，反向；1=0时
5． 零向量-模为零的向量；记为 0。 6． 负向量-模相等方向相反的向量； a a 的负向量记为− 。 7． 相等的向量-模相等方向相同的向量 a b a b , ;记为 = 。 8． 平行（共线）向量-方向相同或相反的向量 a b a b , ; // 记为 。 三、向量的线性运算 1．向量的加减法 1）．向量的加法——三角形法则，平行四边形法则 （如图） 运算律： a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c 2）．减法——定义： a −b = a + (−b) （如图） 且任一向量有 a − a = 0 a + 0 = a 0 − a = −a 2. 向量与数量的乘积 1）、定义：数量 与 a 的乘积定义为一个向量 a 。且 1 a = a 2 a 平行 a （ 0 时，同向； 0 时，反向； = 0 时， a b a b − a b +
a=0) 2)、性质1°a平行6（平行、共线）一a=6（1≠0) 2°a=a 3°2ka)=(k)a 41(a+b)=aa+6 S任一非零向量a都可以表示为：aal口哥- （与a同向的单位量ā 可a=cosa,csR,os) 1 (向量的模与方向a分开，给向量的研究带来方便) 例1)：证明：任一个三角形的中线可构成一个三角形。 四、向量线性运算的坐标表达 L.向量在轴上的投影 1) 、两个向量的夹角一
a =0 ） 2）、性质 1 a 平行 b （平行、共线） a =b （ 0) 2 a =a 3 (ka)=(k)a 4 (a b a b + = + ) 5 任一非零向量 a 都可以表示为： （与 a 同向的单位量 a 0= {cos ,cos ,cos } | | 1 a = a ） （向量的模与方向 a 分开，给向量的研究带来方便） 例 1）：证明：任一个三角形的中线可构成一个三角形。 四 、向量线性运算的坐标表达 1. 向量在轴上的投影 1） 、两个向量的夹角 a 1 2 − a 2a b 0 a a a =| | 0 . | | a a a = a
-两个向量a,万不超过π的夹角p。 2)、投影的定义以及投影的原理： 向量AB在轴1上的投影定义且记为 pri,(AB)=AB=4BIcos 并且Prj,(@,+2++a)=Prj,(a)+.+Prj,(@n) 2.向量的坐标表达式 给出空间一个点M,(x,以，)则向量OM在三个坐标轴上的投影分别 为x,y, 此时向量OM的坐标表达式为： OM=x,y,（或OM=(x,y))x,y:称作OM的坐标 OM的分解表示为：OM=xi+yj+zk 其中i={1,0,0,j={0,1,0,={0,0,1}称为m,y,o轴上的基本单 位向量
-两个向量 a b, 不超过 的夹角 。 2） 、 投 影 的 定 义 以 及 投 影 的 原 理 ： l 向量 AB 在轴 l 上的投影定义且记为 prj AB l ( ) = ' ' A B AB =| | cos 并且 Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) l 1 2 n l 1 l n j j j + + + = + + 2. 向量的坐标表达式 给出空间一个点 ( , , ) 0 x y z 则向量 OM 在三个坐标轴上的投影分别 为 x, y,z ； 此时向量 OM 的坐标表达式为： OM ={x, y,z} （或 OM =( x y z , , ) ） x, y,z 称作 OM 的坐标 OM 的分解表示为： OM = xi y j zk + + 其中 i j k = = = 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 称为 ox oy oz , , 轴上的基本单 位向量。 A B A B
(画图分析) 3。向量线性运算的坐标表达 设ā={a,a,a},6=,4,4}则a±i={a±h,a±6，a4±6} ā={a,a2,a,}（1为数量) 给出两点M,(x,y,),i=1,2,则MM={2-x为-片，2-} 五、向量的模与方向余弦的坐标表示法 设任一个向量ā=x,y与x,y:轴的正向夹角为a,B,y(称为方向 角)。而cosa,cosB,cosy称为a的方向余弦，则0≤a,B,y≤π) (模)同=√2+y2+ cosa= Vx2+y2+2 (方向余弦) COs B=- osa.Bys) y coS/= 2+y2+ 与a同向的单位向量为高=acs民小 因此，若已知向量的坐标，则可求出其模和方向余弦，反之，若 知模与方向余弦，则也可求其坐标。 例2)：（例一知某一向量的方向与模，求其坐标） 己知a=(2,-3,6),6=(-1,2,-2),向量c与a+6共线，且1ch3W52,求 的坐标。 作业-13页第15题
（画图分析） 3．向量线性运算的坐标表达 设 { , , }, { , , } a = a1 a2 a3 b = b1 b2 b3 则 a b a b a b a b = 1 1 2 2 3 3 , , { , , } a = a1 a2 a3 （ 为数量） 给出两点 ( , , ) i i i i x y z ，i = 1,2 , 则 M M x x y y z z 1 2 2 1 2 1 2 1 = − − − , , 五 、向量的模与方向余弦的坐标表示法 设任一个向量 a = {x, y,z} 与 x, y,z 轴的正向夹角为 , , （称为方向 角）。而 cos,cos ,cos 称为 a 的方向余弦，则 (0 ,, ) （模） 2 2 2 a x y z = + + （方向余弦） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x x y z y x y z z x y z = + + = + + = + + (0 ,, ) 与 a 同向的单位向量为 a 0= {cos ,cos ,cos } | | 1 a = a 。 因此，若已知向量的坐标，则可求出其模和方向余弦，反之，若 知模与方向余弦，则也可求其坐标。 例 2）：（例一知某一向量的方向与模，求其坐标） 已知 a b = − = − − (2, 3,6 , 1,2, 2 ) ( ) ，向量 c 与 a b + 共线，且 | | 3 32 c = ，求 c 的坐标。 作业-13 页第 15 题
§8-2数量积、向量积和混合积* 二、两个向量的数量积（点积或内积） 1,点积的定义： 设给出向量a与6，且a与6的夹角为e,称同cose为 a与方的数量积，记为a.i,即a.i=园同cos0 2.点积的性质及运算律： 1)a.a= 2)ii=jj=kk=1 3)1.j=j.k=k.i=0 4)a16a.6=0 5)a.b=b.a 6)2(a-6)=(a6 7)a-(6+d=a-b+a-c 3.点积的坐标表示法 设a={a,a2,a}，i=,b2,b} 则a-b=a4+a.h+a6-∑ah 4.几个结论： 由于a-i=abcos=a,4+a,4+a,h因此有： )夹角=云，匠+店+·公+公+ ab+azb2 +asb3 2)a1iea-i=0，即a,b+a,b+a,b=0
§8-2 数量积、向量积和混合积* 一、 两个向量的数量积（点积或内积） 1． 点积的定义： 设给出向量 a 与 b ，且 a 与 b 的夹角为 ，称 a b cos 为 a 与 b 的数量积，记为 a b ，即 a b = a b cos 2． 点积的性质及运算律： 1） a a = 2 a 2） i i j j k k = = =1 3） i j j k k i = = = 0 4） a b a b ⊥ =0 5） a b b a = 6） (a b a b = ) ( ) 7) a b c a b a c + = + ( ) 3. 点积的坐标表示法 设 a = a1 ,a2 ,a3 ，b = b1 ,b2 ,b3 则 3 1 1 2 2 3 3 1 i i i a b a b a b a b a b = = + + = 4．几个结论： 由于 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b a b = = + + cos 因此有： 1) 夹角 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 , arccos ˆ a a a b b b a b a b a b a b + + • + + + + = = 2) a b a b ⊥ =0 ，即 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
3)aM6a=2b即4=元，i=l,2,3 4) p时i:6)-a-6 际何牙 举例1)已知a={12-1以i={2,1-,求a·6及夹角0 2)给出a,i,c,求(a)e. 三、两个向量的向量积（叉积或外积） 1,两向量的向量积定义： 两向量a与6的向量积是一个新向量c,记为axb=c,且 满足 1bx=郎sn8(9为a,6夹角) 2°a×i1a,axi⊥i,且a,i,a×6构成右手法则。 2.单位向量叉积的性质 ixi=jxj=衣xk=0 ixj=kj×k=i kxi=j jxi=-kk×j=-ii×k=- 3.叉积的运算律 1)axa=0 2)axb=-(bxa) 3)2(axb)=(aad×b 4)ax(B+c)=axb+axc b+cxa=bxa+cxa 4.叉积的坐标表示 设a={a,a2,a},i=6,b2,b}则
3） a b a b // = 即 , 1, 2,3 i i a i b = = 4） prj a ( b )= a b a b ( ) a b prj a b = 举例 1） 已知 a = 1,2,−1,b = − 2,1,−1 ，求 a b 及夹角 2) 给出 a,b,c ，求 (a b c ) . 二、 两个向量的向量积（叉积或外积） 1． 两向量的向量积定义： 两向量 a 与 b 的向量积是一个新向量 c ，记为 a b = c ,且 满足 1 o ab = a b sin （ 为 a,b 夹角） 2 o ab ⊥ a ， ab ⊥ b ，且 a,b,ab 构成右手法则。 2． 单位向量叉积的性质 i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = − k k j = −i ik = − j 3． 叉积的运算律： 1） a a = 0 2) ab = −(ba) 3) (ab) = (a)b 4) a b c a b a c + = + ( ) (b + c)a = ba + ca 4． 叉积的坐标表示 设 a = a1 ,a2 ,a3 ，b = b1 ,b2 ,b3 则
。i方 axb=aa a, 66b 5.几个结论 1)a1i台a-i=0，即a,b+a,b+ah=0 2)a1i台axi=0即(a=eg=g=g bb b (这些充要条件在讨论两个向量、两直线、两平面，直 线与平面的平行、垂直、等命题时常用。) axb 3)交角的余弦cos0= 前，交角的正玻为咖 ab 例1)求同时垂直a={12,3},6=(1-3,4的向量 2)给出三角形的3点A,B,C,求其面积S=- 三、混合积*（略） 作业-22页第3题、10题 §8-3曲面及其方程 二·曲面方程的概念 空间曲面S的一般方程为Fx,y,2-0 若（不）在曲面S上的点坐标（不）满足F(x,y,z)0,则F(xy,z小O 称为曲面S的方程，而曲面S称为方程Fk,水20的图象
. 1 2 3 = 1 2 3 = b b b a a a i j k a b 5． 几个结论 1） a b a b ⊥ =0 ，即 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 2） a // b a b = 0 即 3 3 2 2 1 1 ( ) b a b a b a a = b = = （这些充要条件在讨论两个向量、两直线、两平面，直 线与平面的平行、垂直、等命题时常用。） 3）交角的余弦 cos a b a b = , 交角的正弦为 sin a b a b = 例 1） 求 同时垂直 a = 1,2,3，b = −1,−3,−4 的向量 c 2) 给出三角形的 3 点 A，B，C，求其面积 S =- 三、混合积*（略） 作业-22 页第 3 题、10 题 §8-3 曲面及其方程 一 . 曲面方程的概念 空间曲面 S 的一般方程为 F(x , y , z)=0 若（不）在曲面 S 上的点坐标（不）满足 F(x,y,z)=0，则 F(x,y,z)=0 称为曲面 S 的方程,而曲面 S 称为方程 F(x,y,z)=0 的图象
二，常见的几种曲面方程 1、球面方程：(x-x)+(y-)2+(-)=R2 球心：(6，)半径为R x+y+z-R 球心：(0,0,0)半径为R M1(0,y,z1) 2.旋转曲面方程 平面曲线 旋转轴 旋转曲面方程 ∫f(y,)=0 f±R+y,=0 f,Vx+2）=0 「f(x,y)=0 f飞±2+同=0 =0 f±F+,=0 f(x,)=0 fx,V2+2=0 y=0 f±y+x,=0 例：曲线=式绕乙轴旋转得旋转曲面方程为Z=y+X x=0 例：(P31-一习题10)
二 . 常见的几种曲面方程 1 、球面方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R − + − + − = 球心： ( x y z 0 0 0 , , ) 半径为 R x 2 + y 2 + z 2 =R 2 球心：(0,0,0) 半径为 R 2. 旋转曲面方程 平面曲线 旋转轴 旋转曲面方程 ( , 0 ) 0 f y z x = = z y ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0 , 0 f x y z f y x z + = + = ( , 0 ) 0 f x y z = = x y ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0 , 0 f x y z f x z y + = + = ( , 0 ) 0 f x z y = = x z ( ) ( ) 2 2 2 2 , 0 , 0 f x y z f y x z + = + = 例：曲线 2 0 z y x = = 绕 Z 轴旋转得旋转曲面方程为 Z= y 2 + x 2 例：（P 31——习题 10） 1 1 1 M y z (0, , ) z o y d f y z ( , ) 0 =