第七章般分方程 我们已经熟悉了象代数方程、三角方程等一些方程，在这些方程 中作为未知而需要求的是一个量的某几个特定的值。在自然科学的许 多邻域中，却常常需要研究另外的一类性质上完全不同的方程，在这 类的方程中，作为未知而需要求的是整个函数，这类方程统称为函数 方程，而微分方程是最重要、最基本的函数方程之一。 微分方程的理论在十七世纪末就开始发展起来，很快的成为了研 究自然现象的一种强有力工具。早在十七、十八世纪，它就作为牛顿 力学的得力助手，在力学、天文、物理和技术科学中，就已经借助微 分方程取得了巨大的成就。例如海王星被实际发现（观测）之前，这 颗星的存在就被天文学家(Leverrier)用微分方程的方法推算出来 的，并准确的定出了这颗星在空中的位置。再如：范梅格伦伪造名画 案一一也是借助微分方程才破了此案。到目前为止，这个数学工具一 一微分方程，在力学、物理、化学和工程领域中，已获得了日新月异 的应用。例如：自动化控制和多种电工学的设备装置的设计，弹道的 计算，飞机、火箭和导弹飞行的稳定性的研究以及化学反应过程稳定 性的研究等，都可以化为求微分方程的解，或者是研究解的性质问题 来解决。 现在的问题是：一方面应用微分方程的理论已有许许多多的成 就；另一方面是现有的微分方程的理论还远远不能满足应用上的需
第七章 微分方程 我们已经熟悉了象代数方程、三角方程等一些方程，在这些方程 中作为未知而需要求的是一个量的某几个特定的值。在自然科学的许 多邻域中，却常常需要研究另外的一类性质上完全不同的方程，在这 类的方程中，作为未知而需要求的是整个函数，这类方程统称为函数 方程，而微分方程是最重要、最基本的函数方程之一。 微分方程的理论在十七世纪末就开始发展起来，很快的成为了研 究自然现象的一种强有力工具。早在十七、十八世纪，它就作为牛顿 力学的得力助手，在力学、天文、物理和技术科学中，就已经借助微 分方程取得了巨大的成就。例如海王星被实际发现（观测）之前，这 颗星的存在就被天文学家（Leverrier）用微分方程的方法推算出来 的，并准确的定出了这颗星在空中的位置。再如：范梅格伦伪造名画 案——也是借助微分方程才破了此案。到目前为止，这个数学工具— —微分方程，在力学、物理、化学和工程领域中，已获得了日新月异 的应用。例如：自动化控制和多种电工学的设备装置的设计，弹道的 计算，飞机、火箭和导弹飞行的稳定性的研究以及化学反应过程稳定 性的研究等，都可以化为求微分方程的解，或者是研究解的性质问题 来解决。 现在的问题是：一方面应用微分方程的理论已有许许多多的成 就；另一方面是现有的微分方程的理论还远远不能满足应用上的需
要，对工程师们感兴趣的很多有关工程上的微分方程问题，研究微分 方程的数学家们却无法给出满意的答案。所以，微分方程的理论现在 已经作为重要的数学分支之一来吸引愈加众多的数学工作者的注意 和研究。 §7一1散分方程的基本機念 (一)、什么叫微分方程 一表示函数与导数（或微分）及自变量之间的关系的方程。 (举几个例子) (三)、微分方程的分类 1、常微分方程 一（一阶、高阶方程） 2、偏微分方程 一（一阶、高阶方程） (三)、微分方程的阶 日一方程中出现的各阶导数（微分）中最高的阶数叫做微分方 程的阶。 (举几个例子) (四)、微分方程的解 日一代入微分方程能使方程两边相等的函数，称为微分方程 的解（或积分）
要，对工程师们感兴趣的很多有关工程上的微分方程问题，研究微分 方程的数学家们却无法给出满意的答案。所以，微分方程的理论现在 已经作为重要的数学分支之一来吸引愈加众多的数学工作者的注意 和研究。 §7—1 微分方程的基本概念 （一） 、什么叫微分方程 ——表示函数与导数（或微分）及自变量之间的关系的方程。 （举几个例子） （二） 、微分方程的分类 1、常微分方程————（一阶、高阶方程） 2、偏微分方程————（一阶、高阶方程） （三）、微分方程的阶 ——方程中出现的各阶导数（微分）中最高的阶数叫做微分方 程的阶。 （举几个例子） （四）、微分方程的解 ——代入微分方程能使方程两边相等的函数，称为微分方程 的解（或积分）
例：y=e+e是y'+y=2e的解 [通解一一含有任意常数，且它们的个数与方程的 阶数相等 微分方程的解分为 特解 根据已知条件将通解中的任意常数确定 下来的解（举几个例子） 奇解°一一不能由己知条件而从通解中得出的解 初始条件 一确定通解中的任意常数的已知条件（求解条件） 例：y=cx-c是微分方程y=yx-(y)的通解 y=x是方程=yx-(y)的奇解(y=x不能从通解中 定出的值而得到) §7一2可分离变量的般分方程 (一)、变量已经分离的方程 形如fx)d=g0y)山 的方程，称为变量已经分离的方程。 解法一二 直接积分得通解：/(：=∫s0+c
例： y = e x + e −x是y + y = 2e x的解 微分方程的解分为 奇解 — —不能由已知条件而从通解中得出的解 下来的解（举几个例子） 特解 — —根据已知条件将通解中的任意常数确定 阶数相等 通解 — —含有任意常数，且它们的个数与方程的 初始条件——确定通解中的任意常数的已知条件（求解条件） 例： 2 y cx c = − 是微分方程 ( ) 2 ' ' y y x y = − 的通解 ( ) 2 1 1 2 ' ' 2 4 4 y x y y x y y x c = = − = 是方程 的奇解（ 不能从通解中 定出 的值而得到） §7—2 可分离变量的微分方程 （一）、变量已经分离的方程 形如 f (x)dx = g( y)dy 的方程，称为变量已经分离的方程。 解法- 直接积分得通解： f x dx g y dy c ( ) = + ( )
举例：①sin xdx+e2y+2xdk=0 (二)、可分离变量的方程 形知克-方国60)或(M)M0)本+N(倒y0)本=0) 的方程，称为可分离变量的方程。 分离变量得 $=咳（必8+凸以 N(x) 0=0) 积分得： 1 N(x) M(y) 举例： ②安-2w yl-o=e ③(x+y2x)+(y-x2y)=0 ④（P301一例3应用题) 应 用 上
举例：① sin 2 0 2 + + = − xdx e dy xdx y （二）、可分离变量的方程 形如 1 2 ( ) ( ) dy f x f y dx = 或 （ M x M y dx N x N y dy 1 2 1 2 ( ) ( ) + = ( ) ( ) 0 ） 的方程，称为可分离变量的方程。 解法- 分离变量得 ( ) 1 ( ) 2 1 dy f x dx f y = 或（ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 M x N y dx dy N x M y + = ） 积分得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 , ) M x N y dy f x dx c dx dy c f y N x M y = + + = 或（ 举例： ② xy dx dy = 2 y e | x=0 = ③ ( ) ( ) 2 2 x y x dx y x y dy + + − = 0 ④（P301—例 3 应用题） 应用上 ：
1几何方面一一主要借助解析几何方面的知识 2力学方面-一牛顿第三定律：ma=F或a=册 [1).会合在每一点处的电流之代数和为0 3电学方面一一利用基尔霍夫定律2)沿电路上的任一闭合回路的电压律之代数 和为0 级化学反应方程：女=a-) 化学反应的速度与 d 参与反应的物质的 4.化学方面 二级化学反应方程， =k(a-xXb-x) 有效质量和浓度成 正比 作业：304页1(6)，(7)：5. §7一3齐次方程 (一)、齐次方程 形如：密-的方程称为齐次方程。 解法—设，则吹=“+x血，原方程变为： 密u-分离变量，积分得：∫小加-h+hc 求出积分∫7。血后再代回：-兰便得原方程的通解 举例：①安=+g兰，儿号 ，(6n=x)
= − − = − = = 正比 有效质量和浓度成 参与反应的物质的 化学反应的速度与 二级化学反应方程： 一级化学反应方程： 化学方面 — — 和为 ）沿电路上的任一闭合回路的电压律之代数 ）会合在每一点处的电流之代数和为 电学方面 — —利用基尔霍夫定律 力学方面 — —牛顿第三定律： 或 几何方面 — —主要借助解析几何方面的知识 ( )( ) ( ) 4. 0 2 . 1 . 0 3. 2. 1. k a x b x dt dx k a x dt dx m F m a F a 作业：304 页 1（6），（7）； 5. §7—3 齐 次 方 程 （一） 、齐次方程 形如： = x y f dx dy 的方程，称为齐次方程。 解法——设 x y =u，则 dx du u x dx dy = + ，原方程变为： u f (u) dx du x + = 分离变量，积分得： = + − du x c f u u ln ln ( ) 1 求出积分 − du f (u) u 1 后再代回 y u x = 便得原方程的通解 举例：① dx dy = x y + x y tg ， 2 | 1 y x= = ，( sin y x x = )
②w-y=R-y，y儿=0 （arcsin艺=Lr) ③4=x2 dy xy-y2 作业：309页2(2). (二)、可化为齐次方程的方程*（见讲义例子）（略） §7-4一阶线性散多方程 (一)、一阶线性微分方程 1概念：形如：y+px)y=q)(或x+p0x=q)的方程，称为 一阶线性方程。 当9)=0时，广+)y=0称为一阶线性齐次微分方程， qx)≠0时，y+p(x)y=q(x)称为一阶线性非齐次微分方程
② ' 2 2 xy y x y − = − ， y | x=1= 0 （ Lnx x y arcsin = ） ③ dx dy = 2 2 xy y x − 作业：309 页 2（2）. （二）、可化为齐次方程的方程*（见讲义例子）（略） §7-4 一阶线性微分方程 （一）、一阶线性微分方程 1.概念：形如: ' y p x y q x + = ( ) ( ) (或 ' x p y x q y + = ( ) ( ) ) 的方程，称为 一阶线性方程。 当 ' ' ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) q x y p x y q x y p x y q x = + = + = 时， 称为一阶线性齐次微分方程； 时， 称为一阶线性非齐次微分方程
2.解法（方法一参数变易法） 其步骤：1°先求y'+Pxy0的通解：y=cea 2”设y=xea是方稻+p(xy=q(x)的解，代入积分 求得 ux)=fa(xe+c 3°回代原假设得方程y+p(x)y=qx)的通解为 y=e∫xwln在+c(通解公式) (方法二变量代换法) 其步骤为：设y=u(xv(),则原方程为 [u+P(x)uy+vu+Q(x)令+Px)w=0求出u),再由 vu=Qx)求出v(),便得通解为y=u(v(x) x+py)x=qy)的通解为 类似地方程 =e0加+e 举例0少+ 2y-y=e xy+y=sinx（x=y=0) y'+ly-smx ④yd+(x-y2)dy=0y>0)
2．解法（方法一 参数变易法） 其步骤：1° 先求 y′+P(x)y=0 的通解：y= − P x dx ce ( ) 2° 设 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ' 是方程y p x y q x + = ( ) ( )的解 ，代入 积分 求得 ( ) ( ) ( ) p x dx u x q x e c = + 3° 回代原假设得方程 ' y p x y q x + = ( ) ( ) 的通解为 ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e q x e dx c − = + （通解公式） （方法二 变量代换法） 其步骤为：设 y=u(x)v(x),则原方程为 [u'+P(x)u]v + v'u + Q(x) 令 u'+P(x)u = 0 求出 u(x) , 再由 v'u = Q(x) 求出 v(x) , 便得通解为 y=u(x)v(x) 类似地 方程 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p y dy p y dy x p y x q y x e q y e dy c − + = = + 的通解为 举例 ○1 ( ) 3 ' 2 1 1 y y x x − = + + ○2 2y ' x − y = e ○3 ' xy + y = sinx （ , 0 2 x y = = ） y ' + x 1 y = x sin x ○4 ydx + (x - y ) dy = 0 3 (y>0)
+ (二)、贝努利型方程 y'+p(x)y=Q(x)y" (n≠0,1)（非线性型） 方程变形为：y"y+p(x)y=Q(x),设4=y,得： 些=0-少史，代入方程得 血+1-m)pxw=1-m)Q)（一阶线性方程) d 通解为u=ee0-mge-aa恤在+c小 回代=y得原方程的通解为 y一fd-nek=ah+c司 (可见=0时便是一阶线性方程的通解) 举例y-y=xy 作业：315页1(3)；21
dy dx + y 1 x=y 2 （ 二）、贝努利型方程* n y + p(x)y = Q(x)y （n 0，1） （非线性型） 方 程 变 形 为 ： ( ) ( ) n n ' 1 y y p x y Q x − − + = ， 设 n y − = 1 ，得： dx dy n y dx d −n = (1− ) ，代入方程得 (1 n) p(x)u (1 n)Q(x) dx du + − = − （一阶线性方程） 通解为 (1 n p x dx ) ( ) u e − − = [ + − − n Q x e dx c (1 n) p(x)dx (1 ) ( ) ] 回代 u= n y 1− 得原方程的通解为 n y 1− = (1 n p x dx ) ( ) e − − [ + − − n Q x e dx c (1 n) p(x)dx (1 ) ( ) ] （可见 n=0 时便是一阶线性方程的通解） 举例 5 y − y = xy 作业：315 页 1（3）;2(1)
(§7一5金搬分方程*) (一)、全微分方程 1.概念：若存在一个二元函数ky)使得 d(k,)=Px,y+Ox,y,则称方程P(,y达+Qxy=0为 全微分方程收，本+Qk,炒=0为全徽分方程一型-P(举 dx Oy 习题上题目) 此时全微分方程的通解形式为：x,)=c 2.求解方法 方法一（全微分的求积法） t,)=jPt,%)+je或)=了Px+h通 解为(，y)=c 方法二（不定积分求积法）要找出一个x,y),使得 是=P号=Q,由上两上式求积分的小=c 方法三（分项组合凑微分法）一先把方程中本已构成全微 分的项分出来，再把剩下的项凑成全微分，通过积分消去微 分得通解 举例(P350一讲义上例3及习题1(5)
（§7─5 全微分方程*） （一） 、全微分方程 1． 概 念 ： 若 存 在 一 个 二 元 函 数 u(x, y) 使 得 du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy ，则称方程 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 为 全微分方程 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 为全微分方程 y P x Q = （举 习题上题目） 此时全微分方程的通解形式为： u(x, y) = c 2． 求解方法 方法一（全微分的求积法） u(x y) P(x y ) Q(x y)dy y y x x = + 0 0 , , , 0 或 u(x y) P(x y) Q(x y)dy y y x x = + 0 0 , , , 0 通 解为 u(x, y) = c 方法二（不定积分求积法）要找出一个 u(x, y) ，使得 Q y u P x u = = , ，由上两上式求积分的 u(x, y) = c 方法三（分项组合凑微分法）──先把方程中本已构成全微 分的项分出来，再把剩下的项凑成全微分，通过积分消去微 分得通解 举例（P350─讲义上例 3 及习题 1（5））
(二)、含有积分因子的方程 设方程恤+k冰=0，器号，但存在因子k)使得 a(ve)alvp) 则方程P(x,+Q(x,=0称为含有积分因子的方程，而k,) 称为方程的积分因子。 此时，存在，)，使d=Pvdk+Qvd,所以(k)=c是方程 Pvd本+Qvd=0的通解，也是方程P(,y女+Qx,y=0的通解 (注：因积分因子法求方程的解法，要注意增根与失根，一般上， 用观察法求积分因子) (§7一6一阶搬分方程的近似解法*) 破拉一柯西近似值（图)医鞋法
（二） 、含有积分因子的方程 设方程 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 ， y P x Q ，但存在因子 v(x, y) 使得 ( ) ( ) y vP x vQ = ， 则方程 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 称为含有积分因子的方程，而 v(x, y) 称为方程的积分因子。 此时，存在 u(x, y) ，使 du = P vdx + Q vdy ，所以 u(x, y) = c 是方程 P vdx + Q vdy = 0 的通解，也是方程 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 的通解 （注：因积分因子法求方程的解法，要注意增根与失根，一般上， 用观察法求积分因子） （§7─6 一阶微分方程的近似解法*） ────欧拉─柯西近似值 (略) 图解法 数值解法