二、体 积 一、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做 旋转轴. 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、体 积 一、旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为此， y=f(x) x∈[a,b] 在4，b]上任取小区 间x,x+], b 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素，dV=f(x) 旋转体的体积为 V=∫fx&
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = x y o y = f (x) x x + dx
类似地，由连续曲线x=p(y),及直线y=c,y=,x=0 所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积 为 d y V=πp2) 例1求椭圆 P(r) 所围成的平面图形分别绕X 0 轴和y轴旋转一周所成的旋 转体（旋转椭球体)的体积
x = ( y),及直线y = c, y = d, x = 0 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积 为 = d c V ( y)dy 2 x y o x = ( y) c d 例1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋 转体（旋转椭球体）的体积 类似地，由连续曲线
解 ①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 y-ba-x 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体 4 1 ②与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆 x=- 及y轴围成的平面图形绕y 轴旋转而成的立体
①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 2 2 a x a b y = − 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体 a x dx a b V a a 2 2 2 2 1 = − − 2 3 4 = ab ②与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆 2 2 b y b a x = − 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体 解
片=j塔-r=mb 特别当α=b时旋转体成为球体 H=V-Am 22 例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 x∈[-a,a
b y dy b a V b b 2 2 2 2 2 = − − a b 2 3 4 = 特别当 a = b 时 旋转体成为球体 3 1 2 3 4 V =V = a 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a]
旋转体的体积 32 105 例3求摆线x=(t-sint),y=a(1-cost)的 一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积. y(x) 解绕x轴旋转的旋转体体积 =2r( 7π0 2元i× =a(1-cost).a(1-cost)dt 2元 =ma3[(1-3cost+3cos2t-cos3 t)dt =5π2a3
旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a 例 3 求摆线x = a(t − sin t)，y = a(1− cos t)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 a 2a y(x) V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a
绕y轴旋转的旋转体体积 =x(y) 可看作平面图OABC与OBC A 2元0X 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. y,=元xot-元ch a'(t-sint)2.asin tdt -w["a'(t-sint).asintdt =π(t-sin2sind=6元a2
绕y轴旋转的旋转体体积 o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y 可看作平面图OABC与OBC 分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
例4证明由平面图形0≤M≤b,0≤y≤f(x) (f(x)连续)绕y轴旋转而成的立体的体积为 V=2zjf() 证x,x+ca,b]对应的部分量 V 可近似看成内径为x,外径为x+x 高为f(x)的薄壁圆筒 故4y≈π(x+dc)2-x2]f(x) →dV=2f(x)d
例4 证明由平面图形 0 a b,0 y f (x) （f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为 = b a V 2 xf (x)dx [x, x + dx] [a,b] 对应的部分量 V 可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒 故 [( ) ] ( ) 2 2 V x + dx − x f x dV = 2xf (x)dx 证
或展开后近似于长为2宽为心高为 fx) 的薄长方体 →dV=2f(x)d b →V=2π∫f(x) 利用这个公式，可知上例中 y,=2xx|f(x)川 =2元a(t-sint)a(1-cost)da(t-sint0】 2元 -2ma[(t-sin t)(1-cost)'dt =6π3m3
或展开后近似于长为 宽为 dx 高为 f(x) 的薄长方体 2x dV = 2xf (x)dx = b a V 2 xf (x)dx 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a
例5求由曲线y=4-x2及y=0所围成的图形 绕直线x=3旋转构成旋转体的体积. 解 】 取积分变量为y,y∈I0,4 体积元素为 dW=[元PM-元0M]d =[π(3+V4-y)2-(3-4-y)2] =12元V4-Jy, -2 .V=12元0V4-J=64元
例 5 求由曲线 2 y = 4 − x 及 y = 0所围成的图形 绕直线x = 3旋转构成旋转体的体积. 解 取积分变量为y , y[0,4] 体积元素为 dV [ PM QM ]dy 2 2 = − [ (3 4 y) (3 4 y) ]dy 2 2 = + − − − − = 12 4 − ydy, V ydy = − 4 0 12 4 = 64. M dy Q P