第二章导数和微分 2.1导数的概念 2.1.1导数的定义 一、函数在点x。处的导数的定义 1、【讲述】定义1设函数y=f(x)在点x。的某个邻域内有定义，当自变量x 由点x。改变到点x。+△x(△x≠O)时，函数f(x)取得相应的改变量 △y=fx,+△)-fx)。如果当△r→0时，y的极限存在，即 △r 典是-m+a0）e △x 存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点xo处的导数（或在点x0处的微商）， x=0 二、函数导数的定义 1【饼述1过度：若通数f代)在点，处有号数，即巴化+A-f化 △ 极限值存在，我们称函f(x)在点x。处可导，反之称f(x)在点x处不可导。 上面我们介绍了函数在某一点处的导数，如果函数f(x)在某区间(a,b)内每一 点都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导。 2、【板演】例1求函数y=√x在点xo=1处的导数。 解△y=√1+△x-1 1
1 第二章 导数和微分 2．1 导数的概念 2．1．1 导数的定义 一、函数在点 0 x 处的导数的定义 1、【讲述】定义 1 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 由 点 0 x 改 变 到 点 ( 0) x0 + x x 时，函数 f (x) 取 得 相 应 的 改 变 量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 。如果当 x →0 时， x y 的极限存在，即 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 (2.1) 存在，则称此极限值为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的导数（或在点 0 x 处的微商）， 2、表示：可记作 ( ) 0 f x 或 0 x x y = 或 0 x x dx dy = 或 0 ( ) x x f x dx d = 。 二、函数导数的定义 1、【讲述】过度：若函数 f (x) 在点 0 x 处有导数，即 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 极限值存在，我们称函 f (x) 在点 0 x 处可导，反之称 f (x) 在点 0 x 处不可导。 上面我们介绍了函数在某一点处的导数，如果函数 f (x) 在某区间 (a,b) 内每一 点都可导，则称 f (x) 在区间 (a,b) 内可导。 2、【板演】例 1 求函数 y = x 在点 x0 = 1 处的导数。 解 y = 1+ x −1
+A-1_+Ar-1XI+AY+1) Ar △x △x(V1+△x+1) △r 1 △x(V1+△x+1)V1+△x+1 1 因此y1a=如+Ax+12 3,【讲述】定义2设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，若对于区间(a,b) 内任一点x都有一个导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们把该函 数称为函数f(x)在区间(a,b)内对x的导函数，简称为导数，记作"(x)或y叫 4、【讲述】由定义1可知，∫'(xo)是函数f(x)在点x0处的导数，也就是导函 数∫'(x)当x=X。时的函数值。于是根据定义2，例1就可以描述为：求函数 y=√天对x的导数y',并求y'在x=1时的值。所以 △y=x+△x-√ y=x+Ar- Ar Ar+Ar+石r+A+F导数为 y-品tE2左 于是，当x=1时，川1=2 5、【例2、3、4由教师指导学生完成】然后学生【板演】 2
2 ( 1 1) 1 1 ( 1 1)( 1 1) + + + − + + = + − = x x x x x x x y 1 1 1 ( 1 1) + + = + + = x x x x 因此 2 1 1 1 1 lim 0 1 = + + = → = x y x x 3、【讲述】定义 2 设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，若对于区间 (a,b) 内任一点 x 都有一个导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们把该函 数称为函数 f (x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数，简称为导数，记作 f (x) 或 y 或 dx dy 或 f (x) dx d 。 4、【讲述】由定义 1 可知， ( ) 0 f x 是函数 f (x) 在点 0 x 处的导数，也就是导函 数 f (x) 当 0 x = x 时的函数值。于是根据定义 2，例 1 就可以描述为：求函数 y = x 对 x 的导数 y ，并求 y 在 x =1 时的值。所以 y = x + x − x x x x x x x x x x x x x x y + + = + + = + − = 1 ( ) 导数为 x x x x x y y x x x 2 1 1 ( ) lim lim 0 0 = + + = = = → → 于是，当 x =1 时， 2 1 y x=1 = 。 5、【例 2、3、4 由教师指导学生完成】然后学生【板演】
例2求线性函数y=amr+b(a≠0)的导数. 例3求函数y=x2的导数。 创4求函数y=二的导数。 2.1.2导数的几何意义 一导数的几何意义 1、【作图】把2.1)式中的相关量放入平面直角坐标系中加以分析，如下图所示 【学生观察能力培养】 y↑ y-f(x) x0+A-. f(x0.- 0 x0+△r 图2.1.1 【分析】直线I为曲线f(x)过点A的切线，斜率为k,=ana,割线h交曲线 f(x)于A(xo,f(xo)》、B(xo+△x,f(xo+△x》两点，显然割线h的斜喇 为k:=anB=Ay △x 当△x→0时，点B→点A,xo+△r→x,anB→tana,经过简 单的分析，我们容易得到下面的结果 k=mA=色是=na 【结论】曲线y=f(x)在点x处的导数∫"(x,),就是曲线过该点的切线的 斜率。 3
3 例 2 求线性函数 y = ax + b (a 0) 的导数。 例 3 求函数 2 y = x 的导数。 例 4 求函数 x y 1 = 的导数。 2．1．2 导数的几何意义 一 导数的几何意义 1、【作图】把(2.1)式中的相关量放入平面直角坐标系中加以分析，如下图所示 【学生观察能力培养】 图 2.1.1 【分析】直线 l 为曲线 f (x) 过点 A 的切线，斜率为 kl = tan ，割线 h 交曲线 f (x) 于 ( , ( )) 0 0 A x f x 、 ( , ( )) 0 0 B x + x f x + x 两点，显然割线 h 的斜率 为 x y kh = tan = 。 当 x →0 时，点 B → 点 A ， 0 0 x + x → x ， tan → tan ，经过简 单的分析，我们容易得到下面的结果 tan lim tan 0 = = = → x y k x h 【结论】 曲线 y = f (x) 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x ，就是曲线过该点的切线的 斜率。 A B 0 x x y 0 y = f (x) l x + x 0 ( ) 0 f x ( ) 0 f x + x x y h
2【板淘】例来y=士在点)处的切货方程法线方混 然上一用的州中记得了=一日 因为y=-1,故所求切线方程为y-1=(-1)x-1),即 x+y-2=0 所技对物y-小事 x-y=0 3、【板演】例6求曲线f(x)=x2上哪一点处切线与直线y=2x+1平行？ 解直线y=2x+1斜率为k=2,故所求切线的斜率也等于2。 根据导数的几何意义f"(x)=(x2y=2x=2,得x=1 所以f()=1故所求点为(1,1). 二左、右导数 1、【定义讲解】设函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，如果 血区+A-有在，则务之为丽数y=阳在点飞处的左导 数起作)：如果飞+因存在，则路之为商数 y=(x)在点x处的右导数，记作(x)。显然，当函数在一点处的左、右 导数存在且相等时，函数在该点可导。 三可导与连续的关系 1、【定理讲解】如果函数f(x)在点处可导，则它在点x处连续。 需要注意的是，这个定理的逆定理是不成立的，即函数f(x)在点x处连续，但
4 2、【板演】例 5 求 x y 1 = 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程。 解 上一节的例 4 中已求得 2 1 x y = − 因为 y x=1 = −1，故所求切线方程为 y −1 = (−1)(x −1) ，即 x + y − 2 = 0 所求法线方程为 ( 1) 1 1 1 − − y − = − x ，即 x − y = 0 3、【板演】例 6 求曲线 2 f (x) = x 上哪一点处切线与直线 y = 2x +1 平行？ 解 直线 y = 2x +1 斜率为 k = 2，故所求切线的斜率也等于 2 。 根据导数的几何意义 ( ) ( ) 2 2 2 f x = x = x = ，得 x =1 所以 f (1) =1 故所求点为 (1,1) 。 二 左、右导数 1 、【 定 义讲 解 】 设 函 数 y = f (x) 在 点 0 x 的某邻域 内 有 定 义 ， 如 果 x f x x f x x + − → − ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则称之为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的左导 数，记作 ( ) 0 f x − ；如果 x f x x f x x + − → + ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则称之为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的右导数，记作 ( ) 0 f x + 。显然，当函数在一点处的左、右 导数存在且相等时，函数在该点可导。 三 可导与连续的关系 1、【定理讲解】 如果函数 f (x) 在点 0 x 处可导，则它在点 0 x 处连续。 需要注意的是，这个定理的逆定理是不成立的，即函数 f (x) 在点 0 x 处连续，但
不一定可导。 2【板演)例7设函数y=fx)==仁。之0，这 ,试讨论在点x=0处 的连续性和可导性。 解因为m=m.x=0 lim.=lim 所以，有 im.x=limn/)0 故函数y=-f(x)在点x=0处连续： 而在点x=0处 0=是是=签1 f0-母是 -1 因此f(O)≠f(0),所以f'(0)不存在，即f(x)在点x=0处不可导。 3、【结论】从上面的例子我们更清楚的认识到可导与连续的关系：可导一定连续， 连续不一定可导。 2.1.3基本求导公式 1、【热记】基本求导公式一重点1、2、3、4、5、6 (1)(C)'=0 (2)(x)y=r- (3)(a)y=a'ha(a>0且a≠1) ()(og.(a>Oa xIna (5)(sin x)'=cosx
5 不一定可导。 2、【板演】例 7 设函数 − = = = 0 0 ( ) x x x x y f x x ，试讨论在点 x = 0 处 的连续性和可导性。 解 因为 lim lim 0 0 0 = = → + → + x x x x lim lim 0 0 0 = = → − → − x x x x 所以,有 lim lim (0) 0 0 0 = = = → + → − x x f x x 故函数 y = f (x) 在点 x = 0 处连续； 而在点 x = 0 处 (0) lim lim lim 1 0 0 0 = = = = + → + → + → + x x x x x y f x x x (0) lim lim lim 1 0 0 0 = − − = = = − → − → − → − x x x x x y f x x x 因此 (0) (0) + − f f ，所以 f (0) 不存在，即 f (x) 在点 x = 0 处不可导。 3、【结论】从上面的例子我们更清楚的认识到可导与连续的关系：可导一定连续， 连续不一定可导。 2．1．3 基本求导公式 1、【熟记】基本求导公式—重点 1、2、3、4、5、6 （1） (C) = 0 （2） 1 ( ) − = a a x ax （3） a a a x x ( ) = ln (a 0且a 1) （4） x a e x x a a ln 1 log 1 (log ) = = (a 0且a 1) （5） (sin x) = cos x
(6)(cosx)'=-sinx (7)(tanx)'=sec2x (8)(cotx)'=-csc2x (9)(arcsin x)'=- 1-x (10)(arccosx)'=- 1-x2 (H1)(arctan x)= 1 (12)(arccotx)=-1+ 【证明省略】 作业：习题2.1-2、5 2.2导数的运算 一、导数的四则运算 1、导数的四则运算法则： 【条件】若函数(x)与v(x)在点x处可导，则函数u(x)士v(x)在点x处也可 【结论】1、[u(x)土v(x)]=u'(x)土v'(x) 2、[u(x)v(x)]'=d'(x)v(x)+(x)v'(x) [Cu(x)'=Cu'(x)(C是常数) 人g- [v(x月2 2、法则应用： 6
6 （6） (cos x) = −sin x （7） x x 2 (tan ) = sec （8） x x 2 (cot ) = −csc （9） 2 1 1 (arcsin ) x x − = （10） 2 1 1 (arccos ) x x − = − （11） 2 1 1 (arctan ) x x + = （12） 2 1 1 ( cot ) x arc x + = − 【证明省略】 作业：习题 2.1-2、5 2.2 导数的运算 一、导数的四则运算 1、导数的四则运算法则： 【条件】若函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处可导，则函数 u(x) v(x) 在点 x 处也可 导 【结论】1、[u(x) v(x)] = u (x) v (x) 2、[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) [Cu(x)] = Cu (x) ( C 是常数) 3、 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ v x u x v x u x v x v x u x − = 2、法则应用：
【板演】例1求函数y=√：-cosx+e2的导数. 解y=(F-cosx+e2)y =(Jx)'-(cosx)'+(e2) 2m 【板演】例2求函数y=x3snx的导数。 解y'=(x3sinx) =(x)'sin x+x'(sin x)' =3x2 sin x+xcosx 【板滨】例3求函数y=h工的导数。 x g=) _血xx-hxx _1-hx x2 【板演】例4求函数y=tanx的导数。 解(anxy=(加5 cosx (sin x)'cosx-sin x(cos x)" (cosx)2 -Cosx cossn xsinx (cosx)2
7 【板演】例 1 求函数 2 y = x − cos x + e 的导数。 解 ( cos ) 2 y = x − x + e = ( ) (cos ) ( ) 2 x − x + e = x x sin 2 1 + 【板演】例 2 求函数 y x sin x 3 = 的导数。 解 ( sin ) 3 y = x x = ( ) sin (sin ) 3 3 x x + x x = 3x sin x x cos x 2 3 + 【板演】例 3 求函数 x x y ln = 的导数。 解 ) ln = ( x x y = 2 (ln ) ln ( ) x x x − x x = 2 1 ln x − x 【板演】例 4 求函数 y = tan x 的导数。 解 ) cos sin (tan ) = ( x x x 2 (cos ) (sin ) cos sin (cos ) x x x − x x = 2 (cos ) cos cos sin sin x x x − x x =
(eosP产se'x 【教师指导学生完成】例5求函数y=COtx的导数。 2.2.2复合函数求导法则， 一复合函数求导法则 1、【讲述】法则 条件：若函数山=(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u处可导，则 复合函数y=f((x)》在点x处也可导 结论：[f(o(x)J'=f"(w)'(x) 表示：上=以以践少=少血 dx du dx 2、【板演】例6求函数y=simx2的导数。 解函数y=sinx2是由y=Sinu,u=x2复合而成，所以有 =yu;=(sin u)'(x2)'=cosu2x=2xcosx2 3、【教师指导学生完成】例7求函数y=In cosx的导数。 4、熟悉了复合函数求导法则后，可以不写出中间变量山，直接用运算法则。 5、【板演】例8求函数y=e的导数 y'=(e)'=e"(x)'=e3x2=3x2ex 6、【教师指导学生完成】例9求函数y=1-2x2的导数。 7、【讲解】复合函数求导法则可以推广到多个中间变量情形。例：复合函数 y=f{[w(x}可分解为y=f(0,u=(v),v=w(x),从而有 dy dy du dy dx du dy dx
8 2 (cos ) 1 x = x 2 = sec 【教师指导学生完成】例 5 求函数 y = cot x 的导数。 2.2.2 复合函数求导法则， 一 复合函数求导法则 1、【讲述】法则 条件：若函数 u = (x) 在点 x 处可导，函数 y = f (u) 在对应点 u 处可导，则 复合函数 y = f ((x)) 在点 x 处也可导 结论： [ f ((x))] = f (u)(x) 表示： x uux y = y 或 dx du du dy dx dy = 2、【板演】例 6 求函数 2 y = sin x 的导数。 解 函数 2 y = sin x 是由 y = sin u ， 2 u = x 复合而成，所以有 2 2 y y u (sin u) (x ) cosu2x 2x cos x x = u x = = = 3、【教师指导学生完成】例 7 求函数 y = ln cos x 的导数。 4、熟悉了复合函数求导法则后，可以不写出中间变量 u ，直接用运算法则。 5、【板演】例 8 求函数 3 x y = e 的导数。 解 3 3 3 3 3 2 2 ( ) ( ) 3 3 x x x x y = e = e x = e x = x e 6、【教师指导学生完成】例 9 求函数 3 2 y = 1− 2x 的导数。 7、【讲解】复合函数求导法则可以推广到多个中间变量情形。例：复合函数 y = f {[ (x)]} 可分解为 y = f (u),u = (v) , v = (x) ，从而有 dx dv dv du du dy dx dy =
8、【板演】例10求函数y=hcos(e)的导数. 解y'=[In cos(e)' 'y =eose←sne"e") =-e*tane* 6.【货师指导学生完成】例山求函数y=e的导数 2.2.3高阶导数 1、【定义讲解】定义1若函数f(x)的导数∫"(x)仍可导，则称∫"(x)的导数 y为函数了)的三阶号数。记为或)y”践史线国， dx dx2 =r=f+A-f国 △x 类似地，若∫"(x)的导数存在，称此导数为函数f(x)的三阶导数。记为 (x)或y或或f田 一般地，若(n一I)阶导数-(x)的导数存在，称此导数为函数f(x)的 n阶导数。记为了)或y或或f国 小n 二阶及二阶以上的导数，称为函数f(x)的高阶导数。 相对于高阶导数，f'(x)又称为函数f(x)的一阶导数 9
9 8、【板演】例 10 求函数 ln cos( ) x y = e 的导数。 解 = [ln cos( )] x y e (cos ) cos 1 = x x e e ( sin )( ) cos 1 = − x x x e e e x x = −e tan e 9、【教师指导学生完成】例 11 求函数 x y e 1 sin = 的导数. 2.2.3 高阶导数 1、【定义讲解】定义 1 若函数 f (x) 的导数 f (x) 仍可导，则称 f (x) 的导数 ( f (x)) 为函数 f (x) 的二阶导数，记为 f (x) 或 y 或 2 2 dx d y 或 2 2 ( ) dx d f x ， 即 x f x x f x f x f x x + − = = → ( ) ( ) ( ) ( ( )) lim 0 类似地，若 f (x) 的导数存在，称此导数为函数 f (x) 的三阶导数。记为 f (x) 或 y 或 3 3 dx d y 或 3 3 ( ) dx d f x 一般地，若 (n −1) 阶导数 ( ) ( 1) f x n− 的导数存在，称此导数为函数 f (x) 的 n 阶导数。记为 ( ) ( ) f x n 或 (n) y 或 n n dx d y 或 n n dx d f (x) 二阶及二阶以上的导数，称为函数 f (x) 的高阶导数。 相对于高阶导数， f (x) 又称为函数 f (x) 的一阶导数
2、【板演】例17已知y=e2,求y 解y=e2-(2x-ly=2e2 y"=(2e2x-)y=2(e2-y=4e2- 【学生完成】例18已知y=xhx,求y" 【了解】例19求y=sinx的n阶导数 【作业】习题22-1(1、6、8、10) 2.3函数的微分 2.3.1函数微分的概念 1、【引入】 计算△y的近似值，能不能找出简单的计算方法呢？下面我们来看两个例子。 2【讲解例1设有一个边长为x。的正方形金属片，受热后它的边长伸长了△， 问其面积增加了多少？ 解如果正方形的边长为x,面积为A 则其面积与边长的函数关系为A=f(x)=x2, 由题意知正方形边长受热后由x变到x。+△x, △4=(x。+△x)2-x6=2x△x+(△x) 在△A中的作用很微小，因此当△（很小时，面积的增量△A可以近似地用 2x△x表示，即△4≈2x△x。由于f'(x)=2x。,所以上式可以改写为 △M≈f'(x)△r
10 2、【板演】例 17 已知 2 −1 = x y e ，求 y . 解 2 1 2 1 (2 1) 2 − − = − = x x y e x e 2 1 2 1 2 1 (2 ) 2( ) 4 − − − = = = x x x y e e e 【学生完成】例 18 已知 y = x ln x ，求 y . 【了解】例 19 求 y = sin x 的 n 阶导数. 【作业】习题 2.2-1(1、6、8、10) 2．3 函数的微分 2．3．1 函数微分的概念 1、【引入】 计算 y 的近似值，能不能找出简单的计算方法呢？下面我们来看两个例子。 2、【讲解】例 1 设有一个边长为 0 x 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 x ， 问其面积增加了多少？ 解 如果正方形的边长为 x ，面积为 A ， 则其面积与边长的函数关系为 2 A = f (x) = x ， 由题意知正方形边长受热后由 0 x 变到 x + x 0 ， 2 0 2 0 2 0 A = (x + x) − x = 2x x + (x) 在 A 中的作用很微小，因此当 x 很小时，面积的增量 A 可以近似地用 x x 2 0 表示，即 A x x 2 0 。由于 0 0 / f (x ) = 2x ，所以上式可以改写为 A f (x )x 0 /