第五章定积分及其应用 教学目标： 1.理解定积分的定义及几何意义： 2.了解利用定积分的性质比较和估计定积分： 3.掌握定积分的计算方法一牛顿菜布尼兹公式、换元积分法和分部积 分法： 4.学会利用定积分求平面图形的面积。 5.1定积分的概念 5.1.1定积分的定义 【讲解】引例求曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是指由曲线y=f(x(f(x)≥O)、直线x=a、直 线x=b以及x轴所围成的图形。下面我们来计算曲边梯形的面积。设 函数y=f(x)在[a,b]上连续。解决的思路是：“分割取近似，求和取 极限。”具体步骤如下： (1)分割 任取分点a=<x<<<x,<<x<x,=b,将区 间[a,b]分成n个子区间[x-1,x]0=1,2,.,m),每个子区间的长 度为△x,=x-x-1(i=1,2,.,n)。 (2)近似 在每一个子区间上任取一点5∈[x1,x,]0=1,2,.,m),作乘积 f(5)△x,第i个小曲边梯形的面积△A,可以近似地表示为 1
1 第五章 定积分及其应用 教学目标 ： 1.理解定积分的定义及几何意义； 2.了解利用定积分的性质比较和估计定积分； 3.掌握定积分的计算方法—牛顿莱布尼兹公式、换元积分法和分部积 分法； 4.学会利用定积分求平面图形的面积。 5.1 定积分的概念 5.1.1 定积分的定义 【讲解】引例 求曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是指由曲线 y = f (x)( f (x) 0) 、直线 x = a 、直 线 x = b 以及 x 轴所围成的图形。下面我们来计算曲边梯形的面积。设 函数 y = f (x) 在 [a,b] 上连续。解决的思路是：“分割取近似，求和取 极限。”具体步骤如下： (1) 分割 任取分点 a = x0 x1 x2 xi xn−1 xn = b ，将区 间 [a,b] 分成 n 个子区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1,2, ,n) ，每个子区间的长 度为 i = i − i−1 x x x (i = 1,2, ,n) 。 （2）近似 在每一个子区间上任取一点 [ , ] i i 1 i x x − (i = 1,2, ,n) ，作乘积 i i f ( )x ，第 i 个小曲边梯形的面积 Ai 可以近似地表示为
△4≈f(5)△x(i=1,2,.,n)。 (3)求和 把这些小矩形的面积相加就可以近似地表示曲边梯形面积A,即 A*f5)Ax+f5)-Ax++f5⑤)-Ax++f5)Ax,=∑f5)-Ax (4)取极限 令=maAx,Ax2,Ax,),若当2→0时，∑f5)△x,的 极限存在，则此极限值就是所求曲边梯形的面积，即 A=m∑f5)Ax 0 【结论】曲边梯形的面积是用一个和式的极限表达的。实际上，对于 变速直线运动的路程、变力做功以及变速电流通过导体截面的电量等 问题均可以利用上述方法解决。因此，若抛开它们的实际意义，将上 述和式的极限抽象成数学形式，便得到定积分的概念。 二定积分的定义 【讲解】定义1设函数y=f(x)在[a,b]上有定义，任取分点 a=x0<x1<x2<.<x,<.<xm-l<xn=b, 分割[a,b]为n个小区间[x-,x,],区间长度为 2
2 i i i A f ( )x (i = 1,2, ,n) 。 （3）求和 把这些小矩形的面积相加就可以近似地表示曲边梯形面积 A ，即 = + + + + + = n i i i n n i i A f x f x f x f x f x 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （4）取极限 令 max( , , , ) 1 2 n = x x x ，若当 →0 时， = n i i i f x 1 ( ) 的 极限存在，则此极限值就是所求曲边梯形的面积，即 = → = n i i i A f x 1 0 lim ( ) 【结论】曲边梯形的面积是用一个和式的极限表达的。实际上，对于 变速直线运动的路程、变力做功以及变速电流通过导体截面的电量等 问题均可以利用上述方法解决。因此，若抛开它们的实际意义，将上 述和式的极限抽象成数学形式，便得到定积分的概念。 二 定积分的定义 【讲解】定义 1 设函数 y = f (x) 在 [a,b] 上有定义，任取分点 a = x0 x1 x2 xi xn−1 xn = b ， 分 割 [a,b] 为 n 个 小 区 间 [ , ] i 1 i x x − ，区间长度为
△x,=x,-x1(=1,2,.,n)。在[x,x,】上任取一点5，作和式 三)a·令月=mNA,A,)若当-0时.该 和式的极限存在，则此极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作广fx)达，即 Cfx)d=m∑fG:)Ax 其中x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dk称为被积表达 式，[a,]称为积分区间，a称为积分上限，b称为积分下限，“∫”称 为积分号。 【讲解】特别指出： (1)定义中，区间是任意分割的，且5是任意取的，因此当极限 巴三《分》：△，存在时，其樱限值与区间分法及5，的取法无关，只 与被积函数和积分区间有关，即fx)本=∫心f)d: (2)由定积分的定义知，fx)k=0,广fx)=-x)。 根据定积分的定义，例1中所求曲边梯形的面积A=「f(x)k。 结合例1和定积分的定义，不难得出定积分的几何意义。 5.1.2定积分的几何意义 【讲解】(1)当fx)≥0时，定积分广f八x)本在几何上表示曲边梯
3 i = i − i−1 x x x (i = 1,2, ,n) 。在 [ , ] i 1 i x x − 上任取一点 i ，作和式 = n i i i f x 1 ( ) 。令 max( , , , ) 1 2 n = x x x ，若当 →0 时，该 和式的极限存在，则此极限值称为函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分， 记作 b a f (x)dx ，即 = → = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 其中 x 称为积分变量， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达 式， [a,b] 称为积分区间， a 称为积分上限， b 称为积分下限，“ ”称 为积分号。 【讲解】特别指出： （1）定义中，区间是任意分割的，且 i 是任意取的，因此当极限 = → n i i i f x 1 0 lim ( ) 存在时，其极限值与区间分法及 i 的取法无关，只 与被积函数和积分区间有关，即 = b a b a f (x)dx f (t)dt ； （2）由定积分的定义知， ( ) = 0 a a f x dx ， = − a b b a f (x)dx f (x)dx 。 根据定积分的定义，例 1 中所求曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 。 结合例 1 和定积分的定义，不难得出定积分的几何意义。 5.1.2 定积分的几何意义 【讲解】（1）当 f (x) 0 时，定积分 b a f (x)dx 在几何上表示曲边梯
形的面积A,即心fx)=A: (2)当f)<0时，定积分广fx)达在几何上表示曲边梯形的面积 的负值，即fx)=-A: (3)一般的，当f(x)在[a,b]上有正 有负时，定积分心f()达在几何上 表示面积的代数和。（如图5.1.3所示） 由定积分的定义以及前面学习的相关知识，我们很容易得到定积分 的七条性质。 5.1.3定积分的性质 【讲解】 1、运算性质： 性质1函数和差的定积分等于它们定积分的和差，即 [Vx)±gx=fx)±g(x)d 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前面，即 fx)=kfx(k为常数) 4
4 形的面积 A ，即 f x dx A b a = ( ) ； （2）当 f (x) 0 时，定积分 b a f (x)dx 在几何上表示曲边梯形的面积 的负值，即 f x dx A b a = − ( ) ； （3）一般的，当 f (x) 在 [a,b] 上有正 有负时，定积分 b a f (x)dx 在几何上 表示面积的代数和。（如图 5.1.3 所示） 由定积分的定义以及前面学习的相关知识，我们很容易得到定积分 的七条性质。 5.1.3 定积分的性质 【讲解】 1、 运算性质： 性质 1 函数和差的定积分等于它们定积分的和差，即 = b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号前面，即 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx （ k 为常数）
2、值的性质： 性质3定积分对于积分区间具有可加性，即 心fx)本=fx)达+广fx)d(c为常数) 性质4若在[a,b]上，fx)=l,则心fx)达=心ldk=k=b-a 3、比较大小： 性质5若在[a,]上，fx)≥gx),则fx)≥gx)k 4、估计数值： 性质6（定积分的估值性）设M与m分别为连续函数f(x)在[a,b] 上的最大值与最小值，则m(b-a)≤f(x)dk≤Mb-a) 性质7（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少 存在一点5，使得 心fx)本=f(5b-a,(a≤5≤b)(如图5.1.5所示) 【板演】例1比较下列各组定积分的大小。 (1)fxdk与x (2)nxt与n2xdk
5 2、 值的性质： 性质 3 定积分对于积分区间具有可加性，即 = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx （ c 为常数） 性质 4 若在 [a,b] 上， f (x) 1 ，则 f x dx dx dx b a b a b a b a = = = − ( ) 1 3、 比较大小： 性质 5 若在 [a,b] 上， f (x) g(x) ，则 b a b a f (x)dx g(x)dx 4、 估计数值： 性质 6 （定积分的估值性） 设 M 与 m 分别为连续函数 f (x) 在 [a,b] 上的最大值与最小值，则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − 性质 7（积分中值定理） 若 f (x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上至少 存在一点 ，使得 = − b a f (x)dx f ()(b a),(a b) （如图 5.1.5 所示） 【板演】例 1 比较下列各组定积分的大小。 （1） 1 0 2 x dx 与 1 0 3 x dx （2） 4 3 ln xdx 与 4 3 2 ln xdx
解(1)因为当x∈[0，]时，x22x3,所以由定积分的性质5知， rc≥0rc. (2)因为当x∈3,4时，hx>1,则nx<h2x,所以由定 积分的性质5知，nxd<n2xd。 例2估计定积分er在的大小。 【分析】由性质6我们知道，只要找到被积函数的最大值和最小值再 分别乘以区间长度，便可以估计定积分的值。 【板演】解当-1≤x≤1时，因为f"(x)=-2xe,令∫(x)=0, 解得x=0,又0)=l仕=e,从而m=M=1,所以 sLodes2. 作业：习题5.1-1(1、2、3、4、2(1、2) 5.2定积分的计算 5.2.1原函数存在定理 【讲解】定义1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，x为a,b]上的任 意一点，则积分[ft)d存在，将ft)t称为积分上限函数。 【讲解】定理1若f(x)在区间a,b上连续，则积分上限函数 6
6 解 （1）因为 当 x [0,1] 时， 2 3 x x ，所以由定积分的性质 5 知， 1 0 2 x dx 1 0 3 x dx 。 （2）因为当 x [3,4] 时， ln x 1 ，则 x x 2 ln ln ，所以由定 积分的性质 5 知， 4 3 ln xdx 4 3 2 ln xdx。 例 2 估计定积分 − − 1 1 2 e dx x 的大小。 【分析】由性质 6 我们知道，只要找到被积函数的最大值和最小值再 分别乘以区间长度，便可以估计定积分的值。 【板演】解 当−1 x 1 时， 因为 2 ( ) 2 x f x xe − = − ，令 f (x) = 0 ， 解得 x = 0 ，又 1 (0) 1, ( 1) − f = f = e ，从而 , 1 1 = M = e m ，所以 2 2 1 1 2 − − e dx e x 。 作业：习题 5.1—1（1、2、3、4）、2（1、2） 5.2 定积分的计算 5.2.1 原函数存在定理 【讲解】定义 1 设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续， x 为 a,b 上的任 意一点，则积分 f t dt x a ( ) 存在，将 f t dt x a ( ) 称为积分上限函数。 【讲解】定理 1 若 f (x) 在区间 a,b 上连续，则积分上限函数
Fx)=f0h在[a,b上可导，且 F()=r(yd=f(x)xela.] 由此得到下面的定理2 【讲解】定理2（原函数存在定理）若f(x)在区间[a,b]上连续，则 积分上限函数f)为f(x)在[a,b]上的一个原函数 【饭演】例1设F代)-，求F 解 因为 ：所以 得 5.2.2牛顿-莱布尼兹公式 【讲解】定理3设f(x)在区间a,b上是连续函数，F(x)是f(x)在 「a,b上的一个原函数，则 心fxt=FO)-Fa 定理3指出，对于连续函数f(x),如果求出它的一个原函数F(x), 那么f(x)在[a,b]上的定积分就等于Fb)-F(a,即 [心fx=F6治=Fb)-Fa) 这个公式称为牛顿-莱布尼兹公式。显然利用牛-莱公式简化了定积分 的计算。 7
7 F(x) = f t dt x a ( ) 在 a,b 上可导，且 F(x) = ( ) x a f t dt = f (x) xa,b 由此得到下面的定理 2 【讲解】定理 2（原函数存在定理） 若 f (x) 在区间 a,b 上连续，则 积分上限函数 f t dt x a ( ) 为 f (x) 在 a,b 上的一个原函数。 【板演】例 1 设 ( ) dt t t F x x = 4 sin ，求 2 F 。 解 因 为 x x dt t t dx d x sin sin 4 = 所 以 = 2 F sin sin 2 4 2 2 = = = = x x x x x dt t t dx d 5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 【讲解】定理 3 设 f (x) 在区间 a,b 上是连续函数，F(x) 是 f (x) 在 a,b 上的一个原函数，则 f x dx F(b) F(a) b a = − ( ) 定理3指出，对于连续函数 f (x) ，如果求出它的一个原函数 F(x) ， 那么 f (x) 在 a,b 上的定积分就等于 F(b)− F(a) ，即 f x dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = − ( ) 这个公式称为牛顿-莱布尼兹公式。显然利用牛-莱公式简化了定积分 的计算
【板演】例2求x水 【分析】要求定积分先求被积函数x的一个原函数，即F()=)x2。 然后利用牛-莱公式，其定积分的值为F①-FO)的差。 1 【度灯销求女 【分折】先求出被积函数十子的一个限函数F化)=m如，再根 据牛-莱公式求出F句-F(-)的差，即为所求定积分的值。 解 12本=amm中=arum-ama-骨-（}-号 【板演】例4求xedk 【分析】利用前面不定积分中所学凑微分法求出被积函数x的原函 数表达式F(,再利用牛某公式，代入函数值求差即可。 凑微分法 原函数 解de0-业-）-) 5.2.3定积分的换元积分法 【讲解】定理4（换元积分法）如果函数f(x)在区间a,b上连续， 函数x=p()在区间a,B是单调且有连续的导数，当1从a变到B 时，x=pt)在[a,b]是变化的，且有p(a)=a,p(B)=b,则有 8
8 【板演】例 2 求 xdx 1 0 【分析】要求定积分先求被积函数 x 的一个原函数，即 ( ) 2 2 1 F x = x 。 然后利用牛-莱公式，其定积分的值为 F(1)− F(0) 的差。 解 2 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 = = − = xdx x 【板演】例 3 求 dx x − + 1 1 2 1 1 【分析】先求出被积函数 2 1 1 + x 的一个原函数 F(x) = art tan x ，再根 据牛-莱公式求出 F(1)− F(−1) 的差，即为所求定积分的值。 解 4 4 2 tan tan1 tan( 1) 1 1 1 1 1 1 2 = = = − − = − − + − − dx art x art art x 【板演】例 4 求 xe dx x 1 0 2 【分析】利用前面不定积分中所学凑微分法求出被积函数 2 x xe 的原函 数表达式 ( ) 2 2 1 x F x = e ，再利用牛-莱公式，代入函数值求差即可。 解 ( ) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 2 2 = = = − = − x e dx e dx e e e e x x x 5.2.3 定积分的换元积分法 【讲解】定理 4（换元积分法） 如果函数 f (x) 在区间 a,b 上连续， 函数 x = (t) 在区间 , 是单调且有连续的导数，当 t 从 变到 时， x = (t) 在 a,b 是变化的，且有 () = a,() = b ，则有 凑微分法 原函数
心fx=ob6t 【讲解】注意： (1)这个定理与不定积分换元法（变量置换）的定理类似，差别在 于不定积分最后需将变量还原，而定积分不需要作变量还原， 但要将积分限作相应的改变，即换元必须换限： (2)被积函数和积分变量也要作相应的变换，这与不定积分的换元 法相同，所以对不定积分使用换元法的技巧也可以用在定积分 的换元积分上。 【板演】例5求' 解令√x=t,则x=2,dk=2tdt 当x=时，1=1：当r=9时，t=3 换元必换限 4=f2=2=2+0+=2h0+f=2h4-2hg 【板演】例6求Va-k(a>0) 解令x=asn0s1s}则k=cosd 当x=0时，1=0s当x=a时，1-牙 9
9 f x dx f (t) (t)dt b a = ( ) 【 讲解】注意： （1） 这个定理与不定积分换元法（变量置换）的定理类似，差别在 于不定积分最后需将变量还原，而定积分不需要作变量还原， 但要将积分限作相应的改变，即换元必须换限； （2） 被积函数和积分变量也要作相应的变换，这与不定积分的换元 法相同，所以对不定积分使用换元法的技巧也可以用在定积分 的换元积分上。 【板演】例 5 求 dx x x + 9 1 1 解 令 x t, x t ,dx 2tdt 2 = 则 = = 当 x =1时,t =1；当x = 9时,t = 3 (1 ) 2ln(1 ) 2ln 4 2ln 2 2ln 2 1 1 2 1 1 2 2 t 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 9 1 + = + = − = + = + = + = + d t t t dt t tdt t dx x x 【板演】例 6 求 ( 0) 0 2 2 − a x dx a a 解 令 x a t t , dx acostdt 2 sin 0 = = 则 当 2 0 , 0 , x = 时 t = ；当x = a时 t = 换元必换限
snacosid=acos d-atcos2dn 2 号 5.2.4分部积分法 【讲解】定理5设函数(x,r(x)在区间[a,b]上具有连续导数 '(x),v'(x),则有 dhw=治-x(r (1 即 [di)=dxh6治-xh) (2) 由于使用定积分的分部积分公式的基本要求和具体步骤同不定积分方 法相同，在这里不再重复。 【板演】例7求hxd 【分析】利用公式(2)，把hx看做(x),把d本看做(x),即x看 做(x)。直接代入公式可得结果。 解 fmxdx=xhxi-fxdnx=e-fx.dx=e-xi=e-(e-1)=1 【板演】例8求xe在 【分析】在不定积分的分部积分中讲过，一般地当遇到在的形式时， 10
10 4 sin 2 2 1 2 2 1 cos2 sin cos cos 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 a t t a dt t a x dx a a t a tdt a tdt a a = = + + − = − = = 5.2.4 分部积分法 【讲解】定理 5 设函数 u(x),v(x) 在区间 a,b 上具有连续导数 u (x),v (x) ，则有 u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx b a b a b a = − （1） 即 u(x) v(x) u(x)v(x) v(x)du(x) b a b a b a d = − （2） 由于使用定积分的分部积分公式的基本要求和具体步骤同不定积分方 法相同，在这里不再重复。 【板演】例 7 求 xdx e 0 ln 【分析】利用公式（2），把 ln x 看做 u(x) ，把 dx 看做 dv(x) ，即 x 看 做 v(x) 。直接代入公式可得结果。 解 ( 1) 1 1 ln ln ln 1 1 1 1 0 = − = − = − = − − = dx e x e e x xdx x x x d x e x e e e e e 【板演】例 8 求 xe dx x 1 0 【分析】在不定积分的分部积分中讲过，一般地当遇到 e dx x 的形式时