第五章定积分 §5-1定积分的概念与性质 (Concept and propoties of definite integral) 一)、定积分的概念 1、问题的提出 1)、求面积一曲边梯形的面积S（分析) 无限细分 采用的做法 化整为零 无限累加 积零为整 2)、求变速直线运动的路程（分析略）。 2定积分的定义(225一226页) 设y=fx)在a,b上连续（有界） 1)、细分a,b为几个小区间[x,x],Ax,=x-x 2)、做乘积：f(5)△x,5∈[xx] 3)、求和：∑f()△ 4八取极限.把立f(传)A年a=(A》 若极限存在，则称该极限值为y=fx)在a,b上的定积分，记为 fx达，即fx)d=m∑f形，A, 其中：a,b称为积分区间，a,b称为积分下、上限。x称为积分变 量。 注意理解：「心f(x)d是一个数，这个数的大小只与积分区间和被积 函数有关，与积分变量选择无关，即
1 第五章 定 积 分 §5-1 定积分的概念与性质 （Concept and propoties of definite integral） (一)、定积分的概念 1、 问题的提出 1）、求面积——曲边梯形的面积 S（分析） 采用的做法 积零为整 无限累加 化整为零 无限细分 2）、求变速直线运动的路程（分析略）。 2、 定积分的定义（225-226 页） 设 y=f(x)在[a,b]上连续（有界） 1）、细分[a,b]为几个小区间 [ , ] i 1 i x x − , i = i − i−1 x x x 2）、做乘积： f x x x ( i i i i i ) , , −1 3）、求和： ( ) 1 n i i i f x = 4)\取极限 ( ) ( ) 0 1 lim n i i n i f x → → = 或 ( ) 1 ( max ) i i n x = 若极限存在，则称该极限值为 y=f(x)在[a,b]上的定积分，记为 b a f (x)dx ，即 = → = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 其中：[a,b]称为积分区间，a,b 称为积分下、上限。 x 称为积分变 量。 注意理解： b a f (x)dx 是一个数，这个数的大小只与积分区间和被积 函数有关，与积分变量选择无关，即
rfx)d=ft)dt。 3,定积分的几何意义一fx>0时，fx体在几何上表示由 y=fx),x=a,x=b,yO围成的曲边梯形的面积S,即 s=[f(x)dx 举例 f()<0.s=-心∫x)(画图说明)。 4,可积性(226-227定理1，定理2) f)在[a,b上连续、或单调有界、或有界且只要有限多个间断 点-则fx)在a,b1上可积。 (二)、定积分的近似计算 (Approximate calcution of define integra) 1、矩形法 把a,b分成n个恒等分，则 r心86+++lo+空】 2、梯形法(S上底+下底×高) 2 广f*Ab++业++-+ 2 2 2 b-a[f@+f®+fk, n 2 3、抛物线法 [f(xyix 、b-Va+f6)+42f)+22f,】 bn 2
2 = b a b a f (x)dx f (t)dt 。 3, 定积分的几何意义——f(x)>0 时， b a f (x)dx 在几何上表示由 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 围成的曲边梯形的面积 S，即 ( ) b a s f x dx = 举例 f x( ) 0 ( ) b a s f x dx = − （画图说明）。 4, 可积性（226-227 定理 1，定理 2） f(x)-在 a b, 上连续、或单调有界、或有界且只要有限多个间断 点-则 f(x)在 a b, 上可积。 (二)、 定积分的近似计算 （Approximate calcution of define integra） 1、矩形法 把[a,b]分成 n 个恒等分，则 ( ) [ ] [ ( ) ( )] 1 1 0 1 1 − = − + − + + + = − n i n i b a f a f x n b a y y y n b a f x dx 2、梯形法（S= 高 上底 下底 + 2 ） ( ) ( ) ( ) ( ) + − + = + + + + + + − = − 1 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 n i i n n b a f x f a f b n b a y y y y y y f x dx x 3、抛物线法 ( ) [ ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )] 1 1 2 1 2 1 − = = + + − + − n i i n i i b a f a f b f x f x bn b a f x dx
一般上，以上三种方法中是抛物线法精确最高（但计算量也较 大)，不论哪种方法都是越大精度越好。 通常—图形法，面积分割法等近似法。 (三)定积分的性质 (Propertions of definite intagral) 、厂位=-，)（伪常数，下同 k=l时心k=b-ak=0时∫0dk=0 2、(规定)心fx)=0 3、心fx)本=-fx(简述理由) 4、kfx)d=kfx)d 5、[Ux)±(x=f(x)t±f(x)达 6、f(x)=fx)本+fx)达 7、若fx)≥gx),x∈a,b,则 广fx)≥g(x)d特别地，1fx)川斗心fx) 若（最小值）m≤f(x)sM(最大值)，x∈[a,b] 8、(估值Th.) 则m(b-a)s∫f(x)≤M(b-a 9、（中值Th.)若fx)在a,b上连续，则在（a,b)内至少存在一点 c,使得[fx)=f(c)(b-a) 10、（奇偶性)
3 一般上，以上三种方法中是抛物线法精确最高（但计算量也较 大），不论哪种方法都是 n 越大精度越好。 通常——图形法，面积分割法等近似法。 （三） 定积分的性质 (Propertions of definite intagral) 1、 = = − = = = − b a b a b a k dx b a k dx kdx k b a k 1 0 0 0 ( ) ( 时 时 为常数，下同） 2、（规定） ( ) = 0 a a f x dx 3、 = − a b b a f (x)dx f (x)dx （简述理由） 4、 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx 5、 = b a b a b a [ f (x) f (x)]dx f (x)dx f (x)dx 1 2 1 2 6、 b a f (x)dx= + b c c a f (x)dx f (x)dx 7、若 f(x) g(x),x [a,b]，则 ( ) ( ) | ( ) | | ( ) | b a b a b a b a f x dx g x dx特别地， f x dx f x dx 8、（估值 Th.） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , b a m f x M x a b m b a f x dx M b a − − 若 最小值 最大值 则 9、（中值 Th.）若 f(x)在[a,b]上连续，则在（a,b）内至少存在一点 c，使得 f (x)dx f (c) (b a) b a = − 10、（奇偶性）
0,(f(x)为奇函数) [f(x)dx= 2f(x)在，(f(x)为偶函数) 例，e与et较大小是 Ce'dk≥Cedk或选择题 例子：(235页-习题10(4)) 例：设fx)在0,1川上连续，在(0,1)内可导，且满足 f-2,证：在(0,1)内至少存在一点5，使f(G)=0 证明：（略） 作业：235-236页10(2)，13(5) §5-2 微积分基本公式 (牛顿-莱布尼兹公式) (Newton Leibniz fermula) (一)、可变上、下限积分的概念。 若fx)在a,b]连续，则对于区间a,6中的任一点x-积分 [fx本存在，且确定了Ia,b中点x的函数，称之为变上限积分确定 的函数，简称为可变上限积分，记为：(x),即 (x)=∫f0,(画图)
4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,( 2 ,( a a a f x f x dx f x dx f x − = 为奇函数） 为偶函数) 例： 或选择题 与 比较大小是 1 0 1 0 1 0 1 0 3 3 e dx e dx e dx e dx x x x x 例子：（235 页-习题 10（4）） 例：设 f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且满足 f(1)=2 2 1 0 f (x)dx ，证：在（0，1）内至少存在一点 ，使 ( ) ' f = 0 证明：（略） 例 2 1 2 1 cos cos 1 sin 1 x x dx x x x dx x − − = + + = + 作业：235-236 页 10（2），13（5） §5-2 微积分基本公式 （牛顿-莱布尼兹公式） (Newton_Leibniz fermula) （一） 、可变上、下限积分的概念。 若 f(x)在[a,b]连续，则对于区间 a b x , 中的任一点 -积分 f x dx x a ( ) 存在，且确定了[a,b]中点 x 的函数，称之为变上限积分确定 的函数，简称为可变上限积分，记为： (x)，即 (x) = x a f (t)dt ，（画图）
类似地，定义可变下限积分为 g(x)=「)dt，(画图) 另外还有一0f0由，（等） (二)、可变上、下限积分的求导Th 若f(x)在a,b上连续，则可变上、下限积分 (x)=[f (rdi 与g(x)=心f(h均可导，且 ·创0]/回（证明：） 2.8=C/0山=-f（证明：） 另外有 3.猛0a][e网 +.&rw甸=-[ee]o回 5. [gr0a]-aa-aa可 举例： 1)F(x)=cosd求F号 2）F()=arecosd, F(x)=. 3)m (1-cost)dt x3 例：4) 设∫'(x)连续。f0)=0,f'0)≠0
5 类似地，定义可变下限积分为 g（x）= b x f(t)dt ，（画图） 另外还有- ( ) ( ) ( ) ( ) , , x b a x f t dt f t dt （等） （二）、可变上、下限积分的求导 Th 若 f（x）在[a,b]上连续，则可变上、下限积分 x f t dt x a （ ）= （ ） 与 g（x）= f t dt b x （ ） 均可导，且 1． ( ) ( ) ( ) ' x a d x f t dt f x dx = = （证明：） 2． ( ) ( ) ( ) ' b x d g x f t dt f x dx = = − （证明：） 另外有 3． ( ) ( ) ( ) ( ) ' x a d f t dt f x x dx = 4． b dx d （ ） （ ） x [ f t dt] = ( ) ( ) ' − f x x 5． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ' ' 2 2 1 1 x x d f t dt f x x f x x dx = − 举例： 1） F（x）= ，求 （’ ） 2 cos 0 tdt F x 2） ( ) ( ) 2 cos ' arccos , x F x tdt F x = = 3） = − → 3 0 0 1 cos lim x t dt x x （ ） 例：4） 设 f (x) 连续。 f (0) = 0, f (0) 0
rOd 求m0d 4f(x2) （m,s-0+f -=1) r-0 (三)，牛顿莱布尼兹公式 Newton-=-Leibniz公式： 若f)在a,bM上连续且F)=),则 [f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a) （证明) 举例：5)cosxds=snx=sm7=l 6)e=e'6=e-l 刀=ag6=子 设f(x)在[0，上连续，且 、8)f)=x。f0d+1 则f(x)d=.f(x)=. 作业：243-244页4,9(2)，12 6
6 求 ( ) ( ) 2 0 0 2 0 lim x x x f t dt x f t dt → - （ ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 0 ' 4 lim 1 0 3 0 x f x f x f f x x → = − + − ） （三）．牛顿-莱布尼兹公式 Newton-Leibniz 公式： 若 f (x) 在[a,b]上连续.且 F(x) = f (x) ，则 = = − b a b f (x)dx F(x) | a F(b) F(a) （证明） 举例： 5） 1 2 cos sin | sin 2 0 0 2 = = = xdx x 6） | 1 1 0 1 0 = = − e dx e e x x 7) = = + 1 0 1 2 0 4 | 1 1 dx arctgx x 、 8） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 1 f x f x x f t dt f x dx f x = + = = 设 在 ，上连续，且 则 ， 作业：243-244 页 4， 9（2），12
§5-3定积分的换元积分法与分部积分法 (Integration by substitation)(Integration by parts) (一)■、第一换元积分法 设F'四）=/.u=(x)可微 则有 f((x)=if[([(] =F[o(x)T=FTo(b)]-F[p(a)] 例 1 13x+2 2)jsin2xds 3)e (二)、第二换元积分法（变量代换法） 设)f)在a,b上连续： 2)x=p0在a,B上单调，且o'()连续； 3)当x∈[a,b时1∈a,月，且a=a,b=t 则有：
7 §5-3 定积分的换元积分法与分部积分法 （Integration by substitation）（Integration by parts） （一） 、第一 换元积分法 设 F(u) = f (u),u =(x)可微 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' b b a a b a f x x dx f x d x F x F b F a = = = − 例 1） + 2 0 3 2 1 dx x 2） 2 0 sin 2xdx 3） 1 2 2 1 1 x e dx x 4） 2 2 0 sin 1 cos x dx x + （二）、第二 换元积分法（变量代换法） 设 1） f (x) 在[a,b]上连续； 2） x = (t) 在[ ， ]上单调，且 （t） 连续； 3）当 x[a,b]时t [,],且a =(), b =() ； 则有：
心fx)d(对x难积分) ('d (换元的同时要换限，且换元方 法与不定积分的换元法 类同) g0MG0e=Gp)-ca。 6)4-x2 刀证明f= 0,(f(x)为奇函数) 2°f(x),(f(x)为偶函数) 8)veldk 9)证明 自如-月ms女，并求值 1 例.10求1-1：m在的值 解.设x=子-1则 上 (三)定积分的分部积分法 (对比不定积分的分部积分法讲述)
8 b a f (x)dx （对 x 难积分） = = f t t dt x t ( ( )) ( ) ( ) 设 （换元的同时要换限，且换元方 法与不定积分的换元法 类同） = = = − g(t)dt G(t) | G( ) G() 化简 积分 。 例 5) dx x + 8 0 3 1 1 6) x dx − 1 0 2 4 7) 证明 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,( 2 ,( a a a f x f x dx f x dx f x − = 为奇函数） 为偶函数) 8） − ln2 0 e 1dx x 9）证明 + 2 0 cos sin sin dx x x x = 2 0 cos sin cos x dx x x + ， 并求值 例. 10) 求 + = 2 0 2001 1 ( ) 1 dx ctgx I 的值 解. 设 x = − t 2 则 I= 4 （三） 定积分的分部积分法 (对比不定积分的分部积分法讲述)
给曲rr8 0→jd=(m必-jd 例 1)fxeds 2)[xsin xd 3)xargigxdx、 o-:0 求efxw 4)h地 60(x-1业㎡(x+1)本 (e2-) 7)断o=1/@创-3r=3求 I=xf(2x)d *例8)设fx)在a,b]上存在连续的导数。 a)=b)=0,且f(xdk=1 1)求fx)fx 2)证明 Urf>
9 给出 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 b b a a f x f x f x dx dx f x 或 ( ) b b LIAET b a a a ⎯⎯⎯→ = − udv uv vdu 方法 例 1） − 1 0 xe dx x 2） 2 0 sin x xdx 3） 1 0 x argtgxdx、 = sin ( 0) ( 0) 3) ( ) x x xe x f x x 求 − 1 2 f (x)dx 4） e e 1 ln x dx 5） 2 1 ) sin 1 ( sin 2 cos 2 2 4 2 4 3 = − = x d x dx x x x 6) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 e x Ln x dx − − + ( ( ) 1 2 1 4 e − ) 7） ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 '' 0 0 1, 2 3, 2 5, 2 f f f I xf x dx = = = = 设 求 *例 8）设 f(x)在[a,b]上存在连续的导数。 = = = b a f(a) f(b) 0, f (x)dx 1 且 2 1） 求 b a xf(x) f (x)dx 2）证明 4 1 ( ( ( )) ) ( ( ) ) 2 2 2 • b a b a f x dx x f x dx
解：(1) 心x)fx=xdx》=产x)北-f产(x)=-2 证明(2)：对任意的实数t,有心(f"(x)+xfx》2≥0 ((d+)d+(ds>0 从而关于t的一元二项不等式恒成立。 故△=b2-4ac(←= 作业：253-254页1(11)，(16)：7(4)，(5)，(9) §5-4广义积分（反常积分） (Improper integral) 牛顿一-莱布尼关公式jfx=Fb)-F@)有两方面要求： 1、积分区间a,b是有限的： 2在ab1上连续，且有界。（举例：片) 因此，定积分概念作两方面的推广 1)、积分区间为无限的-无穷区间广义 积分 2)、fx)是无界不连续的函数-瑕 积分
10 解 ：（1） ) 2 1 ( ( ) | ( ) 2 1 ( ( )) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 = = − = − b a b a b a b a x f x f x dx x d f x x f x f x dx 证明（2）： 对任意的实数 t，有 ( ( ) ( )) 0 b 2 + f x txf x dx a 即 + + b a b a b a ( f (x)) dx 2t f (x) f (x)dx t x f (x)dx 0 2 2 2 2 从而关于t 的一元二项不等式恒成立。 故 = − − b a b a b a b 4ac 0 (2 x f(x) f (x)dx) 4 ( f (x)) dx x f (x)dx 0 2 2 2 2 2 从而得证 • − = b a f x dx x f x dx 4 1 ) 2 1 ( ( ( )) ) ( ( ) ) ( 2 2 2 2 作业：253-254 页 1（11），（16）；7（4），（5），（9） §5-4 广义积分（反常积分） （Improper integral） 牛顿-莱布尼茨公式 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 有两方面要求： 1、 积分区间[a,b]是有限的； 2、 f(x)在[a,b]上连续，且有界。（ 举例： dx x − 1 1 2 1 ） 因此， 定积分概念作两方面的推广- 1）、积分区间为无限的-无穷区间广义 积分 2）、f(x)是无界不连续的函数-瑕 积分