第十一章 曲钱积分与曲面积分 §1一1第1型（对蘸长）曲线积分 一、 第一型曲线积分的概念 1.引例：求曲线的质量 (曲线弧L的线密度为=xy)) (分析略) )小 M, M=m2fG,n)A。 M. AM, 2.第一型曲线积分的定义(P186); 设=k,y)在（分段）光滑曲线L上有定义， 细分L为n小段，△，i=1,2,3-,n 任取一点(5，n)e△s,若极限： lm∑f(5,n)As（=max{As△，} 存在，则称该极限值为x,y)在曲线L上对弧长的曲线积分， 记为：∫fx,s或∫fx)杰 即∫fx,s=m∑f(传nAs· (当L为封闭曲线时，记为：∫/xs) 其中，fy称为被积函数，L称为积分弧段或积分路径，ds 称为孤长元素（微分）。 因此，以上曲线弧L的质量记为：M=∫fx,ys。 类似地，三元函数=fx,y,z)在空间曲线Γ上的第一型（对 弧长的)曲线积分定义为：
1 第十一章 曲线积分与曲面积分 §11—1 第 1 型（对弧长）曲线积分 一、 第一型曲线积分的概念 1 . 引例：求曲线的质量： （曲线弧 L 的线密度为 u=f(x,y) ） （分析略） ( ) 0 1 lim , n i i i i M f s → = = 。 2. 第一型曲线积分的定义（P186）； 设 z=f(x,y)在（分段）光滑曲线 L 上有定义， 细分 L 为 n 小段， s ,i =1,2,3. i -，n; 任取一点 ( i i , ) i s ，若极限： ( ) 0 1 lim , n i i i i f s → = （ =max{ n s .s 1 } 存在，则称该极限值为 f(x,y)在曲线 L 上对弧长的曲线积分， 记为： L f (x, y)dS 或 ( , ) AB f x y ds 即 L f (x, y)dS = ( ) 0 1 lim , n i i i i f s → = 。 （当 L 为封闭曲线时，记为： L f (x, y)dS ） 其中，f(x,y)称为被积函数，L 称为积分弧段或积分路径，ds 称为弧长元素（微分）。 因此，以上曲线弧 L 的质量记为： M = l f (x, y)dS 。 类似地，三元函数 u=f(x,y,z)在空间曲线 上的第一型（对 弧长的）曲线积分定义为： A B o x y M2 M1 Mi−1 Mi M n−1 ( , ) i i L
达=2/） 二、第一型曲线积分的性质： 1、∫kxy)dS=k∫fx,y)dS,(k为常数)： 2、「f+gds=「fds±「gds, 3、「fds=∫as+∫fas: 4∫/，S=∫f3,y心，（对弧长的曲线积分与曲线的方 向无关！这也是对弧长积分与对坐标积分的主 要区别) 三、对弧长曲线积分的计算方法： (化为定积分求解法，但转化时要注意一上限>下限) 1若曲线L的方程为参数方程x=% ,(a≤t≤B):且 y=9() g(0与g(0)连续，则： Jr.yd=().(+(d 由上册可知弧长微分元素为 ds-)+(d)()+((d 2、若曲线1的方程为y=x,(a≤x≤b),y(x)连续， 则： [fx,y达=fx,xN1+y2 若曲线1的方程为x=g(y),(c≤y≤d 则 ∫fxy)s=f[g(y),y]V1+(x） x=p(0 3、(空间曲线)若r的方程为：y=()(a≤1≤B) 二=03(1)
2 ( ) ( ) 0 1 , , lim , , n i i i i i f x y z ds f s → = = 二、 第一型曲线积分的性质： 1、 l kf(x, y)dS =k l f (x, y)dS ， (k 为常数)； 2、 + l ( f g)dS = l fdS l gdS ； 3、 = 1+ 2 l l l fdS = 1 l fdS + 2 l fdS ； 4、 AB f (x, y)dS = BA f (x, y)dS ，（对弧长的曲线积分与曲线的方 向无关！-这也是对弧长积分与对坐标积分的主 要区别） 三、 对弧长曲线积分的计算方法： （化为定积分求解法，但转化时要注意-上限 下限） 1.若曲线 L 的方程为参数方程 ( ) ( ) 1 2 x t y t = = ，（ t ）；且 ( ) ( ) ' ' 1 2 t t 与 连续，则： l f (x, y)dS = ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 2 1 2 1 2 f t t t t dt , ( ) ( ) + 由上册可知弧长微分元素为 ds= ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 2 2 2 2 ' ' 1 2 dx dy t t dt + = + 2、若曲线 l 的方程为 y = y(x),(a x b), y'(x) 连续， 则: f x y ds f x y x y dx b l a 2 ( , ) = ( , ( )) 1+ ( ') 若曲线 l 的方程为 x g y c y d = ( ),( ) ; 则 l f (x, y)dS = ( ) ( ) 2 ' , 1 d c f g y y x dy + 3、（空间曲线）若 的方程为： = = = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 z t y t x t ( t )
则∫f(xy)d达=∫f(m,g))+(p+(g)d山 例1)：(189页-例1)， 例2)：(190页-3(4)题) 例3)：(189页-例3) 例4)： 求=x+y+:-)杰，其中：「是从点A,2,-)到点8(2-1)的直线。 四、应用 1、 几何上，求弧长：s=[=V1+y)山 2、 物理上：求曲线的质量M=[fx,y)达（f(x,y)为线度) 重心(x,习) =xns,=列恤 转动惯量↓，=∫y2fx,)d山 1,=[x'f(x.y)ds 1=(x+y)f(x.y)ds 例5)：(190页-一4题) 作业：（190页-1(3).5)，7题)
3 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ' ' ' 1 2 3 1 2 3 f x y z ds f dt , , , , = + + 例 1）：（189 页-例 1）， 例 2）：（190 页-3（4）题） 例 3）：（189 页-例 3） 例 4）： I x y z ds B ( 1 , 2, 1,1 ) ( ) ( ) = + + − − 求 其中： 是从点A 1,2,-1 到点 的直线。 四 、应用 1、 几何上，求弧长： s ds y dx b l a = = + 2 1 ( ') 2、 物理上：求曲线的质量 = l f (x, y)ds （ f (x, y) 为线度） 重心 ( x y, ) = l xf x y M x ( , ) 1 ds ， ( ) 1 , l y yf x y ds M = 转动惯量 = l I x y f (x, y)ds 2 = l I y x f (x, y)ds 2 ( ) ( ) 2 2 0 , l I x y f x y ds = + 例 5）：（190 页-4 题） 作业：（190 页-1(3),(5),(7)题）
§-2第山型（对业标的）曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念 1、引例：变力沿曲线作功： 变力 =Px,7+Q(x,)沿曲线从A到B所作的功为：y w=m∑[P(x,y)△x,+Qx,y,)Ay,] F(5,n,) (分析：功的微分为： M -略) M. 2、对坐标的曲线积分的定义(192页略) P(x,以，Q(x,)沿曲线1从A点到B点 对坐标x,y的曲线积分和，记为 .()A+(x)v] 元=max0As0,△s,={Ax,4y} 其中：∫P(x,)称为Px)沿1对坐标x的曲线积分： ∫Q(xy)称为Q(x,y)沿/对坐标y的曲线积分。 当1为闭曲线时，记为∮P本+Q
4 §11-2 第Ц型（对坐标的）曲线积分 一 、对坐标的曲线积分的概念 1、 引例: 变力沿曲线作功： 变力 F = P(x, y)i + Q(x, y)沿曲线l从A到B所作的功为： = → = + n i i i i i i i o w P x y x Q x y y 0 lim [ ( , ) ( , ) ] （分析：功的微分为： = − − − − − − w F s i i i 略） 2 、对坐标的曲线积分的定义（192 页略） P(x, y),Q(x, y) 沿曲线 l 从 A 点到 B 点 对坐标 x,y 的曲线积分和，记为 P x y dx Q x y dy l ( , ) + ( , ) = + → n i i i i i i o P x y x Q x y y 1 lim [ ( , ) ( , ) ] ( ) 1 max | | i i n s = ， = s x y i i i , 其中： ( , ) l P x y dx 称为 P(x, y) 沿 l 对坐标 x 的曲线积分； ( , ) l Q x y dy 称为 Q x y ( , ) 沿 l 对坐标 y 的曲线积分。 当 l 为闭曲线时，记为 l Pdx Qdy + o x y A B L ( , ) F i i M1 M2 Mi−1 Mi M n−1 i x i y
(因此，以上作功问题记为w=P本+Q） 类似地，定义三元函数Px,以0(x,男x,y,)沿曲线Γ对坐 标x5,:的曲线积分和为： Pk+Q+Rt即 ∫Px,y)=lim∑P5,n,5)△x ∫Q(x,y=lim∑0(5，n,5,)Ay JRx,yt=m∑R5,n,5)△ 二、对坐标曲线积分的性质一一类似对弧长的曲线积分性质， 但有一点不同的是： ∫.Pt+Q=-JPt+Q 三、对坐标曲线积分的计算方法（化为定积分计算时，要求定 积分的下、上限与曲线的始点、终点分别对应) 、若1为参数方程0（从a→0）：且，0连续。 y=p2() 则∫Px本+Oxy=Pm,)9+00,0)n,'h (194-195页证明) 2.若1的方程为y=y(x),(x从a→b),且y(x)连续， 则Pxy+Qx,=P(x,x》+Qx,x》门 3.若1的方程为x=o(y.O从c→d,且0(y)连续 则∫Px,y)d+Qx,y)=[Po(x,小pyy'+I(y%x] x=9,) 4.若空间曲线r方程为：y=p,()(从a→B) e=p,0 则∫P(x,y)s=P(a%gmh ∫0(x,y)y=∫Q(g,9,%p,t R(x.y.-)d=R()d
5 （因此，以上作功问题记为 = + l w Pdx Qdy ） 类似地，定义三元函数 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) 沿曲线 对坐 标 x, y,z 的曲线积分和为： Pdx + Qdy + Rdz 即 二 、对坐标曲线积分的性质-类似对弧长的曲线积分性质， 但有一点不同的是：- + = − + AB BA Pdx Qdy Pdx Qdy 三 、对坐标曲线积分的计算方法（化为定积分计算时，要求定 积分的下、上限与曲线的始点、终点分别对应） 1、若 l 为参数方程 = = ( ) ( ) 2 1 y t x t （ t从 → ）；且 ( ), ( ) ' 2 ' 1 t t 连续。 则 P x y dx Q x y dy P Q dt l + = + ( , ) ( , ) [ ( , ) ' ( , ) '] 1 2 1 1 2 2 （194-195 页证明） 2．若 l 的方程为 y y x x a b y x = → ( ),( ), ( ) 从 且 ’ 连续， 则 + = + • b a P(x, y)dx Q(x, y)dy [P(x, y(x)) Q(x, y(x)) y(x) ]dx 3．若 l 的方程为 x= (y). ( ) ' ( ), y c d y 从 → 且 连续 则 + = • + d c P(x, y)dx Q(x, y)dy [P[(x), y] (y) Q[(y), x]dy 4. 若空间曲线 方程为： = = = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 z t y t x t （ t从 → ） 则 ( ) ( ) ' 1 2 3 1 P x y z dx P dt , , , , = ( ) ( ) ' 1 2 3 2 Q x y z dy Q dt , , , , = ( ) ( ) ' 1 2 3 3 R x y z dz R dt , , , , = 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i P x y z dx P x → = = 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i Q x y z dy Q y → = = 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i R x y z dz R z → = =
例1)求积分1=∫+)达，其中l:x=Rcos1,y=Rsim,(从0→ 例2)(200页—3(2)) 例3)(P196-198例1-4) 四、两类曲线积分的关系 ∫Pdk+O=∫(Pcosa+QcosB)dk 即∫Pa∫Peosads,.-∫QeosBds: 或Pw-jQh=j品*： 其中：csa-密。os月-密为曲钱上点(c列处的切向量的方向余弦。 dk=V)+()2 若曲线方程为：y=则oa+o月“0 例4)化积分1=∫2+y为对弧长的曲线积分得1=一 (其中：1仿程为=x2,0≤x≤1) 类似地，「Pk+Q+Rdt=∫(Pcosa-+QcosB+Rcosy)d达 其中：Qoa密csB-会。oy-装为商线r上点(x处的切向量 的方向余弦，西=V(+(+(d) 作业：(200-201页-3(4)、(5)、(6)；73)题)
6 例 1） 求积分 , : cos , sin ,( 0 ) 2 l I xdy ydx l x R t y R t t = + = = → 其中 从 例 2）（200 页-3（2）） 例 3）（P196~198 例 1-4） 四 、两类曲线积分的关系 ( cos cos ) l l Pdx Qdy P Q ds + = + 即 cos , cos l l l l Pdx P ds Qdy Q ds = = ； 或 , cos cos l l l l P Q Pds dx Qds dy = = ； 其中： cos ,cos , ( ) dx dy l x y ds ds = = 为曲线 上点 处的切向量的方向余弦； ( ) ( ) 2 2 ds dx dy = + 若曲线 2 2 1 (y ) ,cos 1 (y ) 1 y f(x), cos + = + = = y 方程为： 则 例 4）化积分 I = 2 2 l xydx xy dy + 为对弧长的曲线积分得 I = - （ 2 其中：l y x x 方程为 = ,0 1 ） 类似地， Pdx Qdy Rdz P Q R ds ( cos cos cos ) + + = + + 其中： cos ,cos ,cos , , ( ) dx dy dz x y z ds ds ds = = = 为曲线 上点 处的切向量 的方向余弦， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ds dx dy dz = + + 作业：（200-201 页-3(4)、(5)、（6）；7(3)题）
§1-3格林公式及其爱用 一、格林公式(green fermula) 设分段光滑的有向线闭曲线L是有界闭区域D的正向边界， p(k,y)小、Q(x,y)在D上具有一阶连续的偏导数，则有下列-格林 公式： 器-器-r+ D （解析一正向边界的概念) 证明：fPh=-写，（设D域为X型证） ②f0=兴，（设D歧为型证） (过程略一一详见讲义)
7 §11-3 格 林 公 式 及 其 应 用 一 、格林公式（green fermula） 设分段光滑的有向线闭曲线 L 是有界闭区域 D 的正向边界， p(x,y)、Q(x,y)在 D 上具有一阶连续的偏导数，则有下列-格林 公式： = + − D L dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) （解析-正向边界的概念） 证明：⑴ L D P Pdx dxdy y = − ，（设D域为X型证） ⑵ L D Q Qdy dxdy x = ，（设D域为Y型证） （过程略-详见讲义） D
格林公式的意义： 1表明了曲线积分与二重积分的关系： (2给出了计算曲线积分的一个重要公式 3简单应用y=fd(或)=fdw或)=手x-达 例1)（204页-例1) 应用格林公式求曲线积分时应注意： ()分清P(,y,Q(x,y)哪一个？(2)积分曲线L为闭的正向曲线：若1 为非闭曲线，则应作辅助线变为闭的正向曲线，才能用此式求积 分，最后减去所作的辅助线上的积分值，即 ∫Pt+Q=∮Pt+Qy-∫Pt+Q 畏-e 注：所作的辅助线一一L,一般为平行坐标轴的直线 例2)求积分1=手yΨ-xd杰，L:x2+y2=d2（正向曲线) 例3)(P214习题5(4)) 例4)(204-204页-例3、4) 二、平面曲线积分与积分路径无关的条件：（206页) 设P(k,y),Q(y)在单连通域G内有一阶连续的偏导数， 则积分 ④P法+Q呦在G内与路径L无关台②架-x列e6 ax (或)③fP+Q=0(C为G内任一闭曲线） (或)④在G内存在u飞，y)使得：dx,y)=P(x,y)k+Q(x,y)d (①④命题等价) 例5)(P214-习题41) 三、全微分的准则，原函数的求法
8 格林公式的意义： = = = − D L L L xdy ydx ⑴ 2 1 ⑶ dxdy xdy( - ydx( ⑵ 简单应用： 或） 或） 给出了计算曲线积分的一个重要公式； 表明了曲线积分与二重积分的关系； 例 1） （204 页-例 1） 应用格林公式求曲线积分时应注意： ⑴分清 P(x,y),Q(x,y)哪一个？⑵积分曲线 L 为闭的正向曲线；若 L 为非闭曲线，则应作辅助线变为闭的正向曲线，才能用此式求积 分，最后减去所作的辅助线上的积分值，即 L L L L i i Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy + + = + − + = D Li Q P dxdy Pdx Qdy x y − − + 注： 所作的辅助线- Li 一般为平行坐标轴的直线 例 2） 2 2 , L I xy dy yx dx = − 求积分 2 2 2 L x y a : + = （正向曲线） 例 3）（P214~习题 5（4）） 例 4）（204-204 页-例 3、4） 二 、平面曲线积分与积分路径无关的条件：（206 页） 设 P(x,y),Q(x,y)在单连通域 G 内有一阶连续的偏导数， 则积分 ① + L Pdx Qdy 在 G 内与路径 L 无关 ② x y G y P x Q = ( , ) (或)③ Pdx Qdy 0(C为G内任一闭曲线 c + = ） (或) ④ 在 G 内存在 u(x,y)使得： du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy （①~④命题等价） 例 5）（P214-习题 4(1)） 三 、全微分的准则，原函数的求法
1.（设条件同上一P(x,y),Q(,y)在单连通域G内有一阶连续的偏 导数)存在u=u(x,y使得 d=P+0可 此时， ,P+O一称为P,Q的原函数 (0=0,=P 类似一元函数-F(x)=f(x),F(x)=∫f(x) dy 称为fx)的一个原函数) 2.原函数的求法 u,%P+Q呦 x%h+Oxw- 或O+Px=+」 （画图说明) 例6)(P214-习题6(2) 最后指出一曲线积分的基本定理 一元牛顿-莱布尼茨公式：心fx达=F(x儿=Fb)-Fa 二元牛顿-莱布尼茨公式： P+Q陈==-n婴-血=k+Q购 作业：(213-214页-1(1)：43)：5(3)；6(2题)
9 1．（设条件同上-P(x,y),Q(x,y)在单连通域 G 内有一阶连续的偏 导数）存在 u=u(x,y), 使得 y P x Q du Pdx Qdy = = + ， 此时， u(x,y)= + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy -称为 P, Q 的原函数 （ , ; u u Q P y x = = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' , x x − − − − = = F x f x F x f x dx 类似一元函数 称为 f(x)的一个原函数） 2．原函数的求法 u(x,y)= + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy = + = + + = + y x x L L x x y y L L Q x y dy P x y dx P x y dx Q x y dy 0 0 0 0 1 2 y 3 4 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 或 （画图说明） 例 6）（P214-习题 6(2)） 最后指出-曲线积分的基本定理 一元牛顿-莱布尼茨公式： f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = − 二元牛顿-莱布尼茨公式： du Pdx Qdy y P x Q Pdx Qdy u x y u B u A B A B A = + = + = = − ( , ) ( ) ( ), , 作业：（213-214 页-1(1)；4 (3)；5（3）；6(2)题）
§11-4对面积的（第1型）曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1、(引例)求曲面的质量M=m立u(G,)A (对比求曲线的质量问题分析略) 2、对面积的曲面积分的定义(P215) f,y,2在光滑曲面Σ上对面积的曲面积分记为： 达=m2/际n,)△s(区为闭的曲面，记为时取y2 1=x(As,的直径) 其中：fxy,小被积函数，一积分曲面，ds一曲面的面 积元素； （如：d=√1+(，)+(，)dkd等等) 此时，曲面的质量记为M=川(x,y,)d 3、对面积的曲面积分的性质（类似重积分的性质，略） 二、对面积的曲面积分的计算方法（利用：“一代、二换、三 投影”，“曲积”化为“二重积”的方法) 1若曲面z的方程是用单值函数：=(x,)给出，且（工）w=D, 则：∬f(x,y,还=∬f(xyp(x,y)Nl+(o,+(g,)dd (三投影)（一代） (二换) 「二重积分求曲面面积时，有 (因为： ds=1+(p)2+(o)d 所以有上式。) 2.若曲面的方程是用单值函数y=(x,)给出，且（Σ）m=D:
10 §11-4 对面积的（第 型）曲面积分 一 、对面积的曲面积分的概念与性质 1、（引例）求曲面的质量 M= ( ) 0 1 lim , , n i i i i i u s → = (对比求曲线的质量问题分析—略) 2、对面积的曲面积分的定义（P215） f(x,y,z)在光滑曲面 上对面积的曲面积分记为： → ( , , ) = lim ( , ) • ( f(x, y, z)ds) , 0 1 i i i i 为闭的曲面，记为： n f x y z ds f S ( ) 1 max i i n s = 的直径 其中：f(x,y,z)-被积函数， -积分曲面，ds-曲面的面 积元素； （ 如： 2 2 1 ( ) ( ) x y ds z z dxdy = + + 等等） 此时，曲面的质量记为 M = u(x, y,z)ds 3、对面积的曲面积分的性质（类似重积分的性质，略） 二、对面积的曲面积分的计算方法（利用：“一代、二换、三 投影” ， “曲积”化为“二重积”的方法） 1.若曲面 的方程是用单值函数 z = (x, y) 给出，且（ ） xoy =D xy , 则： ( ) ( ( )) ( ) ( ) 2 2 , , , , , 1 x y D f x y z ds f x y x y dxdy = + + (三投影) (一代) （二换） （因为： = + + dxdy x y 2 2 ds 1 ( ) ( ) 二重积分求曲面面积时，有 所以有上式。） 2．若曲面 的方程是用单值函数 y = (x,z) 给出，且（ ） xoz =D xz