数学是自然科学的基础，是自然科学的皇后，是科学的无限，数学 是思维的体操，它的特点是： 1.概念上的高度抽象性： 2.论证上的确切严格性， 3.结果上的精密肯定性； 4.应用上的极其广泛性。 第一章 离数与教限 (Functions And Limit) 徽积分研究的是变量与运动的学科。变量间的互相依赖关系叫函数关系， 也就是说，微积分研究的对象是函数，所利用的工具是极限论。因此， 函数的概念是高等数学中最重要的概念之一。 §1-1画 数 (Functions) 一)、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念） 1
1 数学是自然科学的基础，是自然科学的皇后，是科学的无限，数学 是思维的体操，它的特点是： 1. 概念上的高度抽象性； 2. 论证上的确切严格性； 3. 结果上的精密肯定性； 4. 应用上的极其广泛性。 第一章 函数与极限 （Functions And Limit） 微积分研究的是变量与运动的学科。变量间的互相依赖关系叫函数关系， 也就是说，微积分研究的对象是函数，所利用的工具是极限论。因此， 函数的概念是高等数学中最重要的概念之一。 §1-1 函 数 （Functions） (一）、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念）
集合（略） 变量（略） 区间：指介于某两个实数a与b之间的所有实数，即数集(a,b) =xa0为半径的开区间，称为点a的e邻域， 记作：U(a,e)=(ae,a+e)={x|x-a<e}, 去心邻域8(x,6)=(x-6,x)W(x,x+6） 举例： a-e aa+e 例1：设国=》小，若则团= '(x)=f几f(x】= f(x) +h+2x f)==万+3x 例2：设y=fx),xe(-0,+oo)的图形与x=a,x=b均对称(a≠b),证 y=fx)是周期函数，并求周期。 证：（要证f(x)=fx+)) f(a+x)=f(a-x).f(b+x)=f(b-x) ∴f(x)=f几a+(x-a】=f[a-(x-a】=f(2a-x) =f[b+(2a-x-b)]=fb-(2a-x-b)]=fIx+2(b-a)l=f(x+l) 1=2b-a)为周期
2 集合（略） 变量（略） 区间：指介于某两个实数 a 与 b 之间的所有实数，即数集（a,b） ={x|a0 为半径的开区间，称为点 a 的ε邻域， 记作 ：∪（a, ε）=(a-ε,a+ε)={x| |x-a|<ε}， 去心邻域 ( 0 0 0 0 0 , , , ) ( ) ( ) o U x x x U x x = − + 举例： a-ε a a+ε 例 1：设 f (x) f[ f .( f (x)).] n = ，若 2 1 ( ) x x f x + = ，则 2 1 ( ) nx x f x n + = 2 2 2 1 [ ( )] 1 2 ( ) ( ) [ ( )] x x f x f x f x f f x + = + = = 2 3 2 1 3 ( ) [ ( )] x x f x f f x + = = 例 2：设 y = f (x), x (−,+) 的图形与 x = a, x = b 均对称（ a b ）,证 y = f (x) 是周期函数，并求周期。 证：（要证 f (x) = f (x + l) ） f (a + x) = f (a − x), f (b + x) = f (b − x) [ (2 )] [ (2 )] [ 2( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] (2 ) f b a x b f b a x b f x b a f x l f x f a x a f a x a f a x = + − − = − − − = + − = + = + − = − − = − l = 2(b − a) 为周期
(二)映射（略述）-一两个非空集合X与y之间的某个对应法则 f:X-LY (其运算略) (三)函数的概念 1. 函数的定义（略述） 一实数集X到实数集Y之间的一个映射,称为定义在x上的 函数：y=f(x) 包含三大要素：①定义域：D()②对应法则（变量依赖关系的具 体表现)③值域 例子：①y=3-型 ②y=In arccosx,x∈(l,) 25-x 国6m克-2-cosx-2sm'萱+1，则-2山0-3 国8)=1+xg=，则f分=旦 2 2。函数的表示法 ①公式法（显函数：y=f(x),隐函数：F(x,y)=0,参数 ∫x=0函数) y=9(g1 ②图象法 ③表格法
3 （二） 映射（略述）- 两个非空集合 X Y 与 之间的某个对应法则 : f f X Y ⎯⎯→ (其运算略) （三） 函数的概念 1． 函 数 的 定 义 （ 略 述 ） -实数集X到实数集Y之间的一个映射f,称为定义在x 上的 函数： y=f(x) 包含三大要素： ①定义域：D(f) ②对应法则（变量依赖关系的具 体表现） ③值域 例子：① 2 25 ln(3 ) x x y − − = ② y = ln arccos x, x(−1,1) ③ 1 2 ) 2 cos 2sin 2 (sin 2 = − = + x x x f ，则 f (x) = 2 1 2 x + ， f (1) = 3 ④ x x g x x f g x + = + = 1 ( ) 1 , [ ( )] ， 则 ) = 2 1 f ( -1 2 1 2 1 g(x)= x = − 2．函数的表示法 ① 公式法（显函数： y = f (x) ，隐函数： F(x, y) = 0，参数 ( ) ( ) 1 2 x t y t = = 函数） ② 图象法 ③ 表格法
(三)、函数的几种特性 f(x)sM(有上界) 1.有界性：fxsM:还有 (x)≥M,(有下界) 有界一有上界且有下界 例：了)=上在，四)上有界，在0,1上无界 常见一y=snx,y=cosx,y=arcsinx,y=arctanx等为有界函数。 若f-x)=-x),则fx)为奇函数 2.奇偶性： （讲一奇偶规律) 若f-x)=fx),则fx)为偶函数 例：①fx)=gx+V1+x2)(奇)②(P12—11(3)的证明) 单调增：xf2) 4.周期性：若f(x+)=f(x),则称最小正数1为fx)的周期，fx)为周期 函数。 4
4 （三）、函数的几种特性 ( ) 1 f x M （有上界） 1．有界性： f (x) M ；还有 ( ) 2 f x M （有下界） 有界 有上界且有下界 例： x f x 1 ( ) = 在 1，) 上有界，在 (0，1) 上无界 常见—— y = sin x, y = cos x， y x y x = = arcsin , arctan 等为有界函数。 若 f (−x) = − f (x) ，则 f (x) 为奇函数 2．奇偶性： （讲——奇偶规律） 若 f (−x) = f (x) ， 则 f (x) 为偶函数 例：① ( ) lg( 1 ) 2 f x = x + + x （奇） ②（P12——11（3）的证明） 单调增： , ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x 3．单调性： 单调减： , ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x 4．周期性：若 f x l f x ( + =) ( ) ，则称最小正数 l 为 f (x) 的周期，f (x) 为周期 函数
例：设fx)是以4为周期的奇函数，且(-)=a,则f5)=（) (A)a (B)5a (C)-a (D)1-a (四)、反函数（求法） y=f)解x=fy)y=f(x) 则y=fx)互为反函数y=f) 分段函数一一（函数的分段表示法）根据自变量的不同取值范围用不同 的表达式表示的函数。 (伍)复合函数 y=f(u).uED.u=o(x).xED:.o(x)o(x)EDcD 则=f[(x]称为的复合函数，x为自变量，u为中间变量 (举1-2例) %:aw,m-{20则n{- :fx)= 0，x<0 ∴f几(x= 0,p(x)<0 x,x20 p(x,p(x)20 5
5 例：设 f (x) 是以 4 为周期的奇函数，且 f (−1) = a, 则 f (5) = （ ） （A）a (B)5a (C)-a (D)1-a （四）、反函数（求法） y = f (x) ⎯⎯→解 ( ) 1 x f y − = ⎯⎯→记 ( ) 1 y f x − = 则 y = f (x) 互为反函数 ( ) 1 y f y − = 分段函数——（函数的分段表示法）根据自变量的不同取值范围用不同 的表达式表示的函数。 (五） 复合函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 y f u u D u x x D x x D D , , , , y f x x x = = = 若 则 称为 的复合函数， 为自变量，u为中间变量。 （举 1~2 例） 例： ( ) 2 1 f (x) = x + x ，(x) = , 0 , 0 2 x x x x , 则 f [(x)] = , 0 0, 0 2 x x x f (x) = , 0 0, 0 x x x f [(x)] = ( ), ( ) 0 0, ( ) 0 x x x
(六)、基本初等函数与初等函数 1、基本初等函数 1)、幂函数y=x。 2)、指数函数y=a。 3)、对数函数y=Logx。 4)、三角函数y=sinx.y=cosx,y=tanx.y=cot.=s0cxy=cscx· 5)、反三角函数y=arcsinx,y=arecosx,.y=arctanx,.y=arccotx。 一一了解基本性质与图形，掌握变换公式。 2、初等函数(17页) 由基本初等函数与常数经过有限次四则运算和复合运算组成能用一 个式子 来表示的函数，称为初等函数 3、双曲函数与反双曲函数 1)、双曲函数 y=sh=e'-e y=ch=e'te 2 加 2)、反双曲函数（略） 6
6 （六）、基本初等函数与初等函数 1、 基本初等函数 1）、幂函数 n y x = 。 2）、指数函数 x y a = 。 3）、对数函数 a y Log x = 。 4）、三角函数 y x y x y x y x y x y x = = = = = = sin , cos , tan , cot , sec , csc . 。 5）、反三角函数 y x y x y x y arc x = = = = arcsin , arccos , arctan , cot 。 -了解基本性质与图形，掌握变换公式。 2 、初等函数（17 页） 由基本初等函数与常数经过有限次四则运算和复合运算组成能用一 个式子 来表示的函数，称为初等函数 3、 双曲函数与反双曲函数 1）、双曲函数 2 2 x x x x x x x x e e y shx e e y chx e e y thx e e − − − − − = = + = = − = = + 2）、反双曲函数（略）
§1一2数到的极限 (The limit of sequences) 向题的提出、一求面积问题：例如：m如 2”=x(圆面积) 2、-求变速直线运动的路程问题 、数列的有关概念 数列的定义（略）举例11x=白2任，="+马 2 单调有界数列 3.x,=1+少4，=2 2 二、数列极限的定义（引例：化，-”+马） “8一N”定义：若任意给定（不管多么小）的s>0,总存在自然数N=N(ε)。 使得当n>N时， x。-AK6恒成立 和1La1 A-8 A 则称A为n→∞时x的极限，也称x收敛于A, 对给出的允许误差￡>0，总可 以找出一项xN,使得从xN项 记为imx,=A 后所有项与A的误差小于6， 即：K1-AE,K2-AKE 否则，称x,的极限不存在或发散。 7
7 § 1—2 数 列 的 极 限 （The limit of sequences） 问题的提出 1、-求面积问题：例如： 2 2 2 2 sin lim R n nR n = → （圆面积） 2、-求变速直线运动的路程问题 一、数列的有关概念 单调有界数列 数列的定义（略）举例： 2 1. 1 } 4.{ 2 } 2 1 ( 1) 3.{ } 1 } 2.{ n 1 1.{x } { n x x n n n x n n n n = + − = + = = 二、数列极限的定义（引例： } 1 { n n xn + = ） “ —N”定义：若任意给定（不管多么小）的 >0,总存在自然数 N=N（ ）， 使得当 n>N 时， | x − A | n 恒成立 则称 A 为 n → 时 n x 的极限，也称 n x 收敛于 A， 记为 xn A n = → lim 否则，称 n x 的极限不存在或发散。 xn+1 xn-1 A- A A+ 对给出的允许误差 >0，总可 以找出一项 xN，使得从 xN 项 后所有项与 A 的误差小于 ， 即：|xn+1-A|< ,|xn+2-A|< R R
注意理解几点： 1)(任意性)s是任意给定的正数，只有这样才能刻画x,→A 的极限本质。 2)(不唯一性)只要对于给定的ε，能找到一个N便可。 3)(相关性)N与ε有关，不同的ε有不同的N,但不存在 函数关系。一般地，若ε减少，则N增大。 4)求N的方法与原则： 直接法—一x。-Ak出发。解一个关于n的不等式。一 般可以得出n>(e)的形式。则N=[p(e】为所求。 放大法—把x,-A放大后变为B),然后解Bm<E 举例：)名台行以宁训k时电=0如品2 (放大法、直接法) (三)几个结论： X收敛之x有界，（证明》 1、（有界性：X无界会X,发散 例如：X。=(（-1)° 2、(唯一性)：若1mxn=A且mxn=B,则A=B 即：若X收敛，则其极限唯一
8 注意理解几点： 1) （任意性） 是任意给定的正数，只有这样才能刻画 xn → A 的极限本质。 2) （不唯一性）只要对于给定的 ，能找到一个 N 便可。 3) （相关性）N 与 有关，不同的 有不同的 N，但不存在 函数关系。一般地，若 减少，则 N 增大。 4) 求 N 的方法与原则： 直接法——| x − A | n 出发。解一个关于 n 的不等式。一 般可以得出 n ( ) 的形式。则 N = [( )] 为所求。 放大法——把 | x A| n − 放大后变为 (n),然后解(n) 举例： 2 1 2 3) | | 1 lim 0 4)lim 2 1 2) ( 1) ( 1) 1) 2 1 = + = = + − = → → + n n x q q n x n n n n n n n 时， （放大法、直接法） （三） 几个结论： 1、（有界性）： ( 1) n n n n n n X X X X X ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ = − 一定 不一定 一定 不一定 收敛 有界，（证明） 无界 发散 例如： 2、（唯一性）：若 lim xn = A,且lim xn = B,则A = B 即：若 X n收敛，则其极限唯一
了、（保号性）：若mX,=A且4>0（或1N时 X。>0(或XN时xn之0，(Xn≤0)，且limX。=A, 则A≥0(A≤0). 4、(母、子统一性)：（祥见P30-Th4) 收敛数列的子数列也收敛，且极限值相同。 例子：设mx,=a+l,且已知mx,=3,则a=2 §1一3离数的极限 (The limit of function) (一)、函数极限的定义（以x极限的定义引入） 定义 存在到 当x变化恒有（关 结论 记号 系成立) A 为 ￡-δ定义 δ0 “6-定义“ x>X 4为当r→o时f(x)的极限。 lim f(x)=A X>0 f(x)-AKE (P35-D) 9
9 3、（保号性）： lim , 0( 0), 0( 0). n n X A A A → = n n 若 且 或 则存在自然数N,当n>N时 X 或X , 0,( 0), lim , 0( 0). n n n n N n N X X X A A A → = 若存在自然数 当 时 且 则 4、（母、子统一性）：（祥见 . P Th 30 4 −−− ） 收敛数列的子数列也收敛，且极限值相同。 例子：设 lim = +1 lim = 3 = 2 → → x a xn a n n n ，且已知 ，则 §1—3 函 数 的 极 限 （The limit of function） （一） 、函数极限的定义（以 xn极限的定义引入） 定义 任 给 存在 当 x 变化 到 恒有（关 系成立） 结论 记号 − 定义 （P32-D-1） >0 0 x X |f(x)-A|< A x f x 为当 → 时 ( )的极限。 f x A x = → lim ( )
注意一般方法： 1、证mf)=A,则由/)-0,36>0,当xe(x,-6,)时，有 (左极限)f(x)-A0,38>0,当x∈(，-6)时，有 (右极限)f(x)-B<e 则称B为()当x→x时的右极限。 2、极限存在的充要条件 Rf()=(存在)台mf)-mf()=4存在) 即一极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
10 注意一般方法： 1、证 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则由 f x A f x A x x ( ) − − − ( ) 或把 ( ) 放大为 ( 0 ) 出发， 解出 一个含有|x-x0|的不等式。一般化为 0<|x-x0|< ( ) 的形式，然后取 (x) 即 可。 2、欲证 f x A x = → lim ( ) ，则从 f x A ( ) − (或放大） 中解出 | x | g( ) 来，取 = g( ) 便可。 举例：1） lim (2 1) 2 2 1 + = → x x 2） 1 1 8 3 lim 2 2 1 = + + − → x x x x 3） 0 0 limsin 0,(limcos 1), x x x x → → = = 4） 6 10 lim 6. x x → x + = （二）、左、右极限的概念 1、 左、右极限的定义 （左极限） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim 0, 0, , x x f x f x A x x x f x A A f x x x − − → = = − − → 当 时，有 则称 为 当 时的左极限。 （右极限） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim 0, 0, , x x f x f x B x x x f x B B f x x x + + → = = − − → 当 时，有 则称 为 当 时的右极限。 2、极限存在的充要条件 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim ( lim lim ( x x x x x x f x A f x f x A → → → − + = = = 存在） 存在） 即-极限存在的充要条件是左右极限存在且相等