第三章散分中值定理与导数应用 (Median theory of differentiate and the application of derivative) §3-1搬分中值定理 (Mediam theory of differentiate) (一)、费马Th 设(x)在U(x,)内有定义，时(x)存在，若对于任意的x∈U(x) 都有 f(x)2f(x),(或f(x)sf(x)》 则：f(x)=0. 证费马Th,定理 (二)、三个中值定理及其相互关系 若)在，b上连续，在点a,b)内上可导}则 一f(=0罗水T) 器一了份=IO@(位格朗日 证拉氏定理 b-a 器治8治州m 略 (三)、2个推论 a)若f)在(a,b)上恒有f(x)=0,则f(x)=c(常
第三章 微分中值定理与导数应用 (Median theory of differentiate and the application of derivative) §3-1 微 分 中 值 定 理 （Mediam theory of differentiate） （一）、费马 Th. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 ' 0 , ,( ) 0. f x f x x f x f x f x f x f x = 设 在 0 0 U x 内有定义，且 存在，若对于任意的 U x 都有 或 则： 证费马 Th.定理 (二)、三个中值定理及其相互关系 若 {f(x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 在 点 (a,b) 内上可导 } 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , . ' , . ' , . ' 0 ( Th ) ,( Th ,( Th f a f b a b f a f b a b g x f x a b f f b f a f b a f f b f a g g b g a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − 至少存在一点 使 至少存在一点 使 也满足 的条件 至少存在一点 使 ，罗尔 拉格朗日 ） 柯西 ） 证拉氏定理 略 （三）、2 个推论 a) 若 f(x) 在（a,b）上恒有 ( ) ' f x =0 ，则 f ( x ) = c (常
数) 即f(x)=0→f(x)=c b)若f(x)=g(x)x∈(a,b)则f(x)=g(x)+c 即f(x)=g(x)→f(x)=g(x)+c 注意：1Pf(x)=g(x)→fx)=g(x) 2°f(x)>0sfx)>0 3°f(x)>g(x)台f(x)>g'(x) 例(1)证：在l,上，arcsin x+arccosx=7 设f(x)=arcsinx+arccosx证 （2)证：对任意x,x,∈(-0，+0) sinx,-sinxx,-x 设f(x)=sinx证 作业：(p134—7,10,14题) §3—2洛必塔法则 (The rule of L'Hospital) 求极限时，日二0-00，w型的极限称为末定型极限，洛 必塔法则就是求未定型极限的一种十分有效的方法
数) 即 ( 0 ' f x）= f（x）= c b) 若 ( ) ( ) ' ' f x = g x x(a,b) 则 f (x) = g(x) + c 即 f (x) = g (x) f (x) = g(x) + c ' ' 注意： o 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x = g x f x = g x 不能 o 2 ( ) 0 ( ) 0 ' f x f x 不能 o 3 ( ) ( ) ( ) '( ) ' f x g x f x g x 不能 例 （1）证： 在[-1，1]上， 2 arcsin arccos x + x = 设 f (x) = arcsinx + arccosx 证 （ 2 ）证：对任意 , ( , ) x1 x2 − + |sin sin | | | 2 1 2 1 x − x x − x 设 f (x) = sin x 证 作业：（p134-7， 10， 14 题） §3─2 洛 必 塔 法 则 （The rule of L’Hospital） 求极限时， 0 , 0 , , ,0 ,0 ,1 , 0 0 − 型的极限称为未定型极限，洛 必塔法则就是求未定型极限的一种十分有效的方法
条件 结论 1°mf)=mg)=0 法题一日者物 ”得 则归周 =4A或∞) 法则=名型者/0=只s6: 虫绍 2).6)同上2°，3） 则与周 =A或∞) 注明： （4法则一和法则二中的“x→x。”改为“x→∞”仍成立 (B可以反复地多次利用法则求。和二型极限，即 = =m8仍为 =m得仍为 (C)(其他类型的极限应先化为上述两个类型后才用法则) 例0- 四2
条件 结论 法则一 0 0 若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = → → → 或 内存在 点除外 且 与 在 点的某个临域 A g x f x x g x f x g x x f x g x x x x x x x 0 0 0 3 lim 0 2 . 1 . lim lim 0 0 0 0 0 0 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = → → A 或 g x f x g x f x x x x x 0 0 lim lim 法则二 型 若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = → → 0 0 2 , 3 2 3 1 lim ( ) lim 0 0 同上 ， f x g x x x x x 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = → → A 或 g x f x g x f x x x x x 0 0 lim lim 注明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) = = → → → 或 仍为） 仍为 或 可以反复地多次利用法则求 和 型极限，即 法则一和法则二中的“ ”改为“ ”仍成立 A g x f x g x f x g x f x g x f x B A x x x n n x lim lim ( lim 0 0 lim 0 0 0 0 （C）（其他类型的极限应先化为上述两个类型后才用法则） 例 ⑴ 2 0 1 cos lim x x x − → x a x x 1 lim 0 − → ⑵ 2 ln ln 2 lim 2 − − → x x x x x x sin lim →0
(③)mos2-cosB ④典- 阿子 1 朝回母 0=>0) (8)mxhx或me- @- 00职 ⑩m(hx对j 0- 的m-snx 作业：(p139-1(5),(9),(15),(16)题)
⑶ ( ) ( ) 2 0 cos 2 cos 3 lim x x x x − → ⑷ 3 0 sin lim x x x x − → ⑸ x arctgx x 1 2 lim − → 例 ⑹ 1 0 lim x x e x + − → ⑺ ( 0) ln lim → n x x n x ⑻ lim ln lim ( 1) 0 − → + → x x x x x或 x e ⑼ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ⑽ x x x → + 0 lim ⑾ ( ) x x lim ln x 0 → + ⑿ x x x x x e e e e − − →+ + − lim ⒀ x x x x sin lim − →+ 作业：（p139-1 （5），（9），（15），（16）题）
§3一3泰勒公式 (TayLor's formuls) 前面学习已知：只要)在x。点可导，则 f+△x)=fx)+fx小△x+o△x)即 f)=fk)+f"xx-x)+(x-xo),若记p()=fx)+fkx-xo) x→x,时fx)-p,()是较(x-x)高阶的无穷小量。 因此，自然会想，能否用(x-x)的一个多项式近似表示f()?下 面Th.回答此问题 泰勒Th.若f)在含有x。的某个区间(a,b)内存在直到n+1阶导 数，则对该区间a,b)内任意点x都有：(P140一证明) 闲=+/X-4-+4k-y+R的 其中：元)9：-叫，（在，与之间的数）称为拉 n+1 格朗日型余项，且 -0 ( 另外有.佩亚诺型余项o(x-)） 即：若fx)可以近似用多项式p)表示： -含觉-则误装为
§3─3 泰 勒 公 式 （TayLor’s formuls） 前 面 学 习 已 知 ： 只 要 f (x) 在 0 x 点 可 导 ， 则 f (x + x) = f (x )+ f (x )x +(x) 0 0 0 即 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f x x − x + x − x ，若记 ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 p x = f x + f x x − x 则 x x f (x) p (x) → 0时 − 1 是较 ( ) 0 x − x 高阶的无穷小量。 因此，自然会想，能否用 ( ) 0 x − x 的一个多项式近似表示 f (x) ？下 面 Th.回答此问题 泰勒 Th.若 f (x) 在含有 0 x 的某个区间 (a,b) 内存在直到 n +1 阶导 数，则对该区间 (a,b) 内任意点 x 都有：（P140─证明） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x x ) R (x) n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 0 0 0 0 0 0 0 2! ! 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1! + + − + = n n n x x n f R x ，（ 在 0 x 与 x 之间的数）称为拉 格朗日型余项，且 ( ) ( ) 0 0 lim 0 n x x R x x x → = − ( (( 0 ) )) n 另外有 佩亚诺型余项o x x − 即：若 f (x) 可 以 近 似 用 多 项 式 p (x) n 表示： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n k k n x x k f x f x R x 0 0 ! = − = 则误差为
风-9e-r卢a-xr 1°.当n=0时，泰勒公式为：f)=f)+f传-x)(拉格朗 日Th) 2.当x。=0时，泰勒公式称为麦克劳林公式： 间-2ge+R.风-g0<01 (n+1 举例：①-e-2+RR创石品 G+0"0<0<1 玄 1 e=+1+1++m=10时，e*2718282风0 ②/=snx f(x)=cosx ③按6-2)的幂展开多项式 fx)=x3-3x2+7 按x+2展开： 作业：(p145一1,7题)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 1! + + + − + − + = n n n n x x n M x x n f R x 0 1 .当 n = 0 时，泰勒公式为： ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f x − x （拉格朗 日 Th） 0 2 .当 x0 = 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式： ( ) ( ) ( ) ( ) = = + n k n k n x R x k f f x 0 ! 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 1 1! 1 1 + = + + n n n x n f x R x 举例：① ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 1 1! , ! 1 1 0 + = = + = + = n x n n k n k x x x e x R x R x k f x e 如 10 1 , 10 2.718282, ! 1 2! 1 = +1+1+ + + n = e R n e e x 时， ② ( ) ( ) sin cos f x x f x x = = ③按 (x − 2) 的幂展开多项式 ( ) 3 7 3 2 f x = x − x + 按 x + 2 展开： 作业：（p145-1 , 7 题）
§3-4品数单调性、曲线的凹凸性及锡点的 判别方法 (Decidion method of monotonicity of the function)(Concavity Convevity and infletion point of a Curve) (一)、函数单调性的判别方法 (简述单调性的概念) 设)在a.d区间内连续，在a.)内可导，若 f)>0f()0时，e>1+x ④求y=e'-x的增减区间 同y=)e-e(o,+内（) A.增B.减C.无增减D.有增减 (二)、曲线的凹凸性及拐点的判别方法 1、凹凸性及拐点的定义 设fx)在(a,b)上连续，对于x,x2∈(a,b) 若恒有f西+)+/ 2 2 2 (或d,A或切线在曲线上方
§3-4 函数单调性、曲线的凹凸性及拐点的 判别方法 （Decidion method of monotonicity of the function）(Concavity 、 Convevity and infletion point of a Curve ) （一）、函数单调性的判别方法 (简述单调性的概念) 设 f (x) 在 a,b 区 间 内 连 续 ， 在 (a,b) 内 可 导 ， 若 ( ) ' f x 0 ( ) ' ( 0) f x ，则 f (x) 在 a,b 上为单调增加（减少） 例：求① ( ) 4 3 3 2 f x = x − x + 的单调性 求② ( ) ( ) 2 ln 1 2 1 f x = arctgx − + x 的单调性 ③ 证明：x 0时 ， e x x 1+ ④求 y e x x = − 的增减区间 ⑤ = ( − ) (− + ) y e x e −x 在 ， 2 1 内（ ） A.增 B.减 C.无增减 D.有增减 （二）、曲线的凹凸性及拐点的判别方法 1、凹凸性及拐点的定义 设 f (x ) 在 (a,b) 上连续，对于 x , x (a,b) 1 2 若恒有 ) 2 ( 1 2 x x f + 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x ) (或 d y y或切线在曲线下方） （或 d y y或切线在曲线上方）
则称曲线fx)在(a,b)内为凹（凸）的，ab)称为凹（凸）区间， 凹、凸的分界点成称为曲线的拐点（反曲点) 注意：常把图形是凹（凸）的函数称为凸（凹）函数 2、凹凸性及拐点的判别方法 设心)在a,上连续，且三阶可导，若f)0(f)0(0<0)→f)为驷（凸） （对比习惯语言的说法记忆) 作业：(p152-153-2,3(2),5(3),9(5)题)
则称曲线 f (x ) 在 (a,b) 内为凹（凸）的， (a,b) 称为凹（凸）区间， 凹、凸的分界点成称为曲线的拐点（反曲点） 注意：常把图形是凹（凸）的函数称为凸（凹）函数 2、 凹凸性及拐点的判别方法 设 f (x ) 在 a,b 上连续，且二阶可导，若 ( ) " f x >0 ( ( ) " f x <0) x (a b, ) ，则曲线曲线 f (x ) 在 (a,b) 上为凹（凸）的；若 ( ) 0 '' f x =0， 且 0 x 点左、右边二阶导数变号，则 ( , ( )) 0 0 x f x 为曲线的拐点。 （p150-证明） 举例：① 2 y = x ② 3 y = x ③ x y − = ④ 3 2 3 2 y = x − x + ⑤ (1 ) 2 y = Ln + x 的单调增区间是—，减区间是—，凹区间是—，凸区 间是—，凹增区间是—，凸减区间是—，拐点是—。 最后指出： f '(x) 0( 0) f (x)为增（减） （小结） f "(x) 0( 0) f (x)为凹（凸） （对比习惯语言的说法记忆） 作业：（p152-153-2 , 3（2）， 5（3）， 9（5）题）
§3一5离数的极值与最大值、最小值 (Extreme Value and maximum minimum of the function) (一)、函数的极值 1、极值的概念 若对于任意的x∈(k。-o,x。+o),都有 了)>f[f)<f],则称)为y=)的极大（小）值，x= 称y=x)的极大（小）值点 极大、小值（点）统称为极值（点)，极值几何意义一曲 线峰与谷。 2、存在极值的必要条件： 可微的y=f)在x=x点取得极值的必要条件为：f(x)=0 (P128的证明) 一般的，使∫"(x)=0的点x,称为y=fx)的驻点（或稳定点、静 止点) 使f()不存在的点x。称为y=f)的奇异点（举例说明： y=x3,y=) 3、极值的判别方法： (方法一)设y=f)在x。点某邻域内可导，且了(x)=0(或f)
§3—5 函数的极值与最大值、最小值 （Extreme Value and maximum 、minimum of the function) （一）、函数的极值 1、极值的概念 若 对 于 任 意 的 ( − + ) 0 0 x x , x , 都 有 f x f x f x f x ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ,则称 ( ) 0 f x 为 y = f (x) 的极大（小）值， 0 x = x 称 y = f (x) 的极大（小）值点 极大、小值（点）统称为极值（点）, 极值几何意义──曲 线峰与谷。 2、存在极值的必要条件： 可微的 y = f (x) 在 0 x = x 点取得极值的必要条件为： f (x0 ) = 0 （P128 的证明） 一般的，使 f (x0 ) = 0 的点 0 x 称为 y = f (x) 的驻点（或稳定点、静 止点） 使 f (x) 不存在的点 0 x 称为 y = f (x) 的奇异点（举例说明： y = x , y = x 3 ） 3、极值的判别方法： （方法一）设 y = f (x) 在 0 x 点某邻域内可导，且 f (x0 ) = 0 （或 f (x)
不存在) 1.若x点左边f)>0,右边f()0,则6，)为极小值 3若x点左、右边()不变号，则f)不是极值 例①求)=：的单调区间和极值 ②求 f)-nl+x)-arcg的极值 ③f)=x2-3x2+7的极值 (方法二)设y=)在x=x点存在∫() 若广)=0 /")k0 则x,)为极大值 者8 则rx)为极小值 (方法三)了)=0，)=0，%广-6)=0，)≠0 则 [n为奇数时，fx不是极值 3R时，提限货v化收 当 例4求f(x)=e+e+2cosx的极值 例5设满足+4)求的极大小值（先 求f(x)的表达式)
不存在） 0 1 .若 0 x 点左边 f (x) 0 ，右边 f (x) 0 ，则 ( ) 0 f x 为极大值 0 2 若 0 x 点左边 f (x) 0,右边 f (x) 0,则 ( ) 0 f x 为极小值 0 3 若 0 x 点左、右边 f (x) 不变号，则 ( ) 0 f x 不是极值 例 ① 求 ( ) 3 2 2 3 f x = x − x 的 单 调区 间 和极 值 ② 求 f (x) = ( + x )− arctgx 2 ln 1 2 1 的极值 ③ ( ) 3 7 3 2 f x = x − x + 的极值 （方法二）设 y = f (x) 在 0 x = x 点存在 f (x) 若 ( ) ( ) = 0 0 1 0 0 0 f x f x 则f (x0 )为极大值 若 ( ) ( ) = 0 0 2 0 0 0 f x f x 则f (x0 )为极小值 （方法三） f (x0 ) = 0，f (x0 ) = 0 ，······， ( ) ( 0 ) 0 1 = − f x n ， ( ) f (x0 ) 0 n 则 当 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 〈 时 为极大值 时 为极小值 为偶数时， 是极值，且 为奇数时， 不是极值 0 0 0 0 0 0 0 f x f x n f x f x n f x n 例 4 求 f (x) e e x x x = + + 2cos − 的极值 例 5 设 f (x) 满足 ( ) x x f x f 1 1 4 = + − ，求 f (x) 的极大、小值（先 求 f (x) 的表达式）