习题五（部分习题解答） 1.应用应用直接积分法求下列不定 常案小-凉恤C (+d 答案：小的女+c (3③)「2+3 (④Jsind 答案：小m在=小-m+C ja’+如咖 音案水石2-引合气白-aC (Oj店-3e+-cos.xyis 答案：停-g+cosh=5州-0+5mx+C 网 答案：1+x 1+x2 =-号++C (9)∫0-x)VFd
1 习题五（部分习题解答） 1. 应用应用直接积分法求下列不定 (1) dx x x x ∫ − + − ) 1 (1 3 2 3 答案： 3 . 4 1 2 1 ) 1 (1 3 1 2 4 3 2 3 dx x x x x C x − x + x − = − + − + ∫ (2) dx x x 2 ) 1 ( ∫ + 答案： . 1 4 1 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 C x dx x x x x + = + − + ∫ (3) dx x x ∫( 2 + 3 ) 答案： . ln3 3 ln 2 2 (2 3 )dx C x x x x + = + + ∫ (4) 2 sin 2 x dx ∫ 答案： 2 1 cos 1 sin ( sin ) . 2 22 x x dx dx x x C − = =− + ∫ ∫ (5) x dx x ∫ + − sin ) 4 4 3 ( 2 答案：∫ ∫ ∫ + = − + − + = − arcsin cos . 2 3 sin 2 1 3 sin ) 4 4 3 ( 2 2 xdx x x C x dx x dx x (7) e x dx x x ∫ − 3 + cos ) 5 ( 答案： 3 cos ) 5ln 3 sin . 5 ( e x dx x e x C x x x − + = − + + ∫ (8) 4 2 2 1 x dx x − + ∫ 答案： 4 22 2 22 2 3 2 1 (1 )(1 ) 1 ( 1) 11 1 arctan . 3 x xx dx dx x dx xx x x x xC − +− + = = +− ++ + =− + + ∫∫ ∫ (9) 2 (1 ) − x xdx ∫
答案：原积分=G-2x+=名x-4x+2x+C d0 1 2.应用换元积分法求下列不定积分。 (I)「cos(3x+4 答案：原积分=，打cos(3x+4d3x+4)=,sin(3x+4+C. (2)∫e2d 答案：原积分ea0=号+C x44 答案：原积分3z2x+0-知l12xc (4)∫22dk 案治c (5)∫xedk 答案：原积分=edx)=e+C oAa 答案：原积分=2[cos√d(N)=2sin√+C ⑦∫n 答案：原积分信a)=hnx+C
2 答案： 35 3 5 7 22 2 2 2 242 =( 2 ) . 357 x −+ = − + + x x dx x x x C 原积分 ∫ (10) 2 2 2 1 2 (1 ) x dx x x + + ∫ 答案： 2 22 2 2 12 1 1 1 ( ) arctan . (1 ) 1 x dx dx x C xx x x x + = + =− + + + + ∫ ∫ 2. 应用换元积分法求下列不定积分. (1) cos(3 4) x + dx ∫ 答案：原积分= 1 1 cos(3 4) (3 4) sin(3 4) . 3 3 x + += ++ dx x C ∫ (2) 2x e dx ∫ 答案：原积分= 2 1 2 (2 ) . 2 2 x x e ed x C = + ∫ (3) 1 . 2 1 dx x + ∫ 答案：原积分= 11 1 (2 1) ln | 2 +1| + . 22 1 2 dx x C x + = + ∫ (4) dx x ∫ 2 +3 2 答案： . ln 2 2 2 2 2 2 3 dx C x x = + + + ∫ (5) 2 x xe dx ∫ 答案：原积分 2 2 1 1 2 () . 2 2 x x = =+ e dx e C ∫ (6) cos x dx x ∫ 答案：原积分= =+ 2 cos ( ) 2sin xd x xC ∫ (7) 1 ln dx x ∫ 答案：原积分= 1 (ln ) ln ln . ln d x xC x = + ∫
答案：原积分=farctani2xd((aretan)=写arctan'x+C 9后血a>o V-原 (10)∫xx-2d 答案： 令1=√x-2,则x=2+2,d本=21d, 原积分=2r+2Yh=号++C,带回x 原积分=2x-2+x-2+C amza>0 答案 令x=atan0<1<2则i=arctan-言k=asec21d, 原累分-小石0-小hmc 带回x,原积分=nNa2+x2+x+C j点a,0 答案： 令x=sin0<1<7,则1=aresin,k=cosd, 原积分-小mh-可小之山-n2+C 带原积分-cmr-子4C
3 (8) 2 2 arctan 1 x dx + x ∫ 答案：原积分= 2 3 1 arctan (arctan ) arctan . 3 = =+ xd x xC ∫ (9) 2 2 1 dx a ,( 0) a x > − ∫ 答案：原积分= 2 2 1 1 ( ) arcsin . 1() 1() x x dx d C x x a a a a a = =+ − − ∫ ∫ (10) x x dx − 2 ∫ 答案： 2 2 2 53 5 3 2 2 2, 2, 2 , 2 4 = 2( 2) + , 5 3 2 4 = ( 2) ( 2) + . 5 3 t x x t dx tdt t t dt t t C x x xC = − =+ = + =+ −+ − ∫ 令 则 原积分 带回 原积分 (11) 2 2 1 dx a ,( 0) a x > + ∫ 答案： 2 2 2 2 2 2 tan (0 ), arctan , sec , 2 sec sec ln | sec tan | . (1 tan ) , = ln | | . x x a t t t dx a tdt a a t dt tdt t t C a t x a x xC π = − ∫ 答案： 2 2 sin (0 ), arcsin , cos , 2 1 cos 2 1 1 sin sin 2 . 2 24 1 , = arcsin 1 . 2 2 x t t t x dx tdt t tdt dt t t C x x x xC π = << = = − = = =− + − −+ ∫ ∫ 令 则 原积分 带回 原积分
(13j+6x+10 dx 含案.点n-身rc (4)jfnf田 f(cx) 答案：原积分=infx)dnf=n2f)+C 3.应用分部积分法求下列不定积分 (I)「arcsinxdx 答案.原积分cn-小dac如功=cin-7乙子 =xarcsinx+v1-x+C. (2)∫x2lnxd 答案：原积分打inxa()=号ax-3+C (3)e'sinxdx 答案：fesinar=号（sinx-cos+C (4)Jarccotdx 答案： 限积分acex-∫dace)=ainx+ =xarccotx+In(l+x)+C. (5)fe+ds 答案：∫e(+nxd=edinx+fe'lnxds=enx+C (6)∫x2 cosxd. [x'd(sinx)=x'sinx-[sinxd(x2)=xsinx-2[xsin xdx 答案：原积分 =xsinx+2xdcosx=x'sinx+2(xcosx-sinx)+C
4 (13) ∫ + 6 +10 2 x x dx 答案： 2 2 arctan( 3) . 6 10 ( 3) 1 dx dx x C xx x = = ++ ++ + + ∫ ∫ (14) '( )ln ( ) ( ) f x fx dx f x ∫ 答案： 1 2 = ln ( ) [ln ( )] ln ( ) . 2 f xd f x f x C = + 原积分 ∫ 3．应用分部积分法求下列不定积分. (1) arcsin xdx ∫ 答案： 2 2 = arcsin (arcsin ) arcsin 1 arcsin 1 . x x x xd x x x dx x x x xC − =− − = +−+ 原积分 ∫ ∫ (2) 2 x ln xdx ∫ . 答案：原积分= 3 1 1 3 ln ( ) (ln ) 3 33 x xdx x C = −+ ∫ (3)∫ e xdx x sin 答案： (sin cos ) . 2 sin x x C e e xdx x x = − + ∫ (4) cot arc dx ∫ 答案： 2 2 = arccot (arccot ) arcsin 1 1 arccot ln(1 ) . 2 x x x xd x x x dx x x x xC − =+ + = + ++ 原积分 ∫ ∫ (5)∫ + x dx x ex ln ) 1 ( 答案： 1 ( ln ) ln ln ln . x x xx e x dx e d x e xdx e x C x + = + =+ ∫ ∫∫ (6) 2 x cos xdx ∫ . 答案：原积分= 2 2 22 2 2 (sin ) sin sin ( ) sin 2 sin sin 2 cos sin 2( cos sin ) . x d x x x xd x x x x xdx x x xd x x x x x x C =− =− = + = + −+ ∫∫ ∫ ∫