第三章导数与微分 ■§3.1导数的概念 ■§3.2求导的公式与法则 ■§3.3微分及其运算
第三章 导数与微分 ◼ §3.1 导数的概念 ◼ §3.2 求导的公式与法则 ◼ §3.3 微分及其运算
3.2求导的法则和公式 一、函数的和差积商的求导法则 定理：如果函数(x),v(x)在点x处可导，则它 们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且 (1)[w(x)±v(x)'=W'(x)±v'(x); (2)[u(x)×v(x)I'=u'(x)y(x)+u(x)v'(x); (3)r4=(x)-4x)p (y(x)≠0). v(x) v2(x)
3.2 求导的法则和公式 ( ), ( ) , ( ) , u x v x x x ： 如果函数 在点 处可导 则它 们的和、差、积、商 分母不为零 在点 处也 可 定 导 理 并且 (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); u x v x u x v x u x v x = + (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); u x v x u x v x = 一、函数的和差积商的求导法则 = 2 ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) (3) [ ] ( ( ) 0). ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x
3.2求导的法则和公式 (I)[w(x)士(x)'=W(x)士v'(); 证明：设u=(x)和v=v(x)是可导函数，给增量△比， y=(x)+v(x)对应的增量为 △y=[W(x+△x)+(x+△x)]-[(x)+v(x)] =[(x+△x)-(x)I+[v(x+△x)-v(x)川 =△u+△y .'lim Ay=lim Au+Ay lim A+lim △y Ar→0△xAr-0 △rAr-0△xAr-0△x y'=w'+y'即(u+y)'=w'+y'. 推论 空fxr=会ax ；(2)f(r=f'(
3.2 求导的法则和公式 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] y u x v x y u x x v x x u x v x = + = + + + − + 对应的增量为 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x y u v u v → → → → x x x x + = = + [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] u x x u x v x x v x u v = + − + + − = + = = = 1 1 (1) [ ( )] ( ); n n i i i i f x f x (2) [ ( )] ( ). kf x kf x = 证明：设u u x v v x x = = ( ) ( ) , , 和 是可导函数 给增量 (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); u x v x u x v x = 推论 y u v u v u v ' ' ' ( )' ' '. = + + = + 即
3.2求导的法则和公式 (1)[u±'=W士v 例题1 已知y=x3-sinx+n2,求y'. 解 y'=(x3-sin x+In 2) (In2)'=0 =(x3)y'-(sinx)'+(In2) (x")'=x"- =3x2-c0sx. (sinx)'=cosx 练习 求函数y=x2+2x+3的导数y'. y'=2x+2
已知 sin ln 2, 求 . 3 y = x − x + y 解 ( sin ln 2) 3 y = x − x + 3 2 ( ) (sin ) (ln 2) 3 cos . x x x x = − + = − 3.2 求导的法则和公式 (1)[ ] u v u v = 例题1 练习 2 求函数y x x y = + + 2 3 '. 的导数 1 ( ) ' n n x nx − = (sin ) ' cos x x = (ln 2) ' 0 = y x ' 2 2 = +
3.2求导的法则和公式 (2)(uv)'=u'v+uw' 例题2 已知y=x2nx+2cosx+π，求y. 解 y=(x2nx+2 x cosx-+π)y (xa)'=axa-1 =(x2In x)'+(2vx cosx)'+ nx'=1 =(x2)'Inx+x2(In x)+(2x)cosx+2x(cosx) (cosx)'=-sinx =2xxx+Cosx-2 sin x. Vx 练习 求函数y=x2lnx的导数y'. y'=2xInx+x
3.2 求导的法则和公式 (2)( )' uv u v uv = + 1 (ln ) ' x x = (cos ) ' sin x x = − 已知 求 . ln 2 cos , 2 y = x x + x x + y 解 ( ln 2 cos ) 2 y = x x + x x + = ( ln ) + (2 cos ) + 2 x x x x ( ) ln (ln ) (2 ) cos 2 (cos ) 2 2 = x x + x x + x x + x x 2 sin . cos 2 ln x x x x = x x + x + − 例题2 1 ( ) ' x x − = 练习 2 求函数y x x y = ln '. 的导数 y x x x ' 2 ln = +
3.2求导的法则和公式 3= u'v-uv' (v≠0) 例题3 已知y=anx,求y'. y=(tan x)=(sinx=(sin x)'cosx-sin x(cosx) COSx cosx cosx+sin (sinx)'=cosx -sec x. (cosx)'=-sinx cosx coS .(tanx)'=sec2x 练习 求函数y=cotx的导数y' 1 sin2x =-csc2x
已知 y = tan x, 求 y . 解 x x x x x x x y x 2 cos (sin ) cos sin (cos ) ) cos sin (tan ) ( − = = = sec . cos 1 cos cos sin 2 2 2 2 2 x x x x x = = + = 2 (3)( )' ( 0) u u v uv v v v − 3.2 求导的法则和公式 = 例题3 (sin ) ' cos x x = (cos ) ' sin x x = − 练习 求函数y x y = cot '. 的导数 2 2 1 ' csc sin y x x = − = − 2 = (tan ) ' sec x x
3.2求导的法则和公式 3= u'v-uv' (y≠0) 1》 例题4 已知y=secx,求y. 解 y'=(secxY'-(-1_y=_(cosx) cos x cos-x sinx 1 sin x -=sec x tanx cos2x cosx cosx .(secx)'=secxtanx 同理可得cscx)'=-cscxcotx
3.2 求导的法则和公式 已知 y = sec x, 求 y . 解 x x x y x 2 cos (cos ) ) cos 1 (sec ) ( = = = − x x x x x x x sec tan cos sin cos 1 cos sin 2 = = = = (sec ) sec tan x x x 2 (3)( )' ( 0) u u v uv v v v − = 例题4 同理可得(csc )' csc cot . x x x = −
3.2求导的法则和公式 二.复合函数的求导法则 定理：如果函数u=p(x)在点x可导，而y=f(W) 在点u=o(x)可导，则复合函数y=fLo(x)川在点 x可导，且其导数为 dy dy du dx du dx 或者y'=y'ux'yx=f'(0)p'(x) 链式法则一因变量对自变量求导，等于因变量对中间 变量求导，乘以中间变量对自变量求导
3.2 求导的法则和公式 dy dy du dx du dx = ( ) , ( ) ( ) , [ ( )] , 定理： 如果函数 在点 可导 而 在点 可导 则复合函数 在点 可导 且其导数为 u x x y f u u x y f x x = = = = 二. 复合函数的求导法则 ' ' ' x u x 或者y y u = y f (u) (x) x = 链式法则——因变量对自变量求导,等于因变量对中间 变量求导,乘以中间变量对自变量求导
3.2求导的法则和公式 y=y'us' 例题5 已知y=sin√x,求y. 复合函数的分解原则 从外向里，观察各层函数是否为基本 初等函数或整式函数. 解令y=sinw,u=√x. (simmco= 1 ∴.yx=yuux=C0SW vx 消去中间变量u,得 cosx 2vx
3.2 求导的法则和公式 已知 y = sin x, 求 y . 解 令 y = sin u,u = x. 1 (sin ) cos , ( ) , 2 u x y u u u x x = = = = cos x u x y y u u x 1 2 = = ， 消去中间变量u，得 . 2 cos x x y = 例题5 复合函数的分解原则 从外向里，观察各层函数是否为基本 初等函数或整式函数. ' ' ' x u x y y u =
3.2求导的法则和公式 yx'=yu'us 有时复合函数的中间变量有两个或两个以上如设 y=f(u,u=p(),v=(x),则复合函数y=f{o[(x》 的求导法则为，=八uy,或少=少.血办 dx du dy dx 例题6 已知y=In cosx,求y'. y=In u,u=cosv,v=x. 解令=4=n _u cos√x 2√F2√
3.2 求导的法则和公式 ' ' ' x u x y y u = 有时复合函数的中间变量有两个或两个以上.如设 则复合函数 的求导法则为 y = f (u),u =(v), v = (x), y = f (x) ' ' ' ', . x u v x dy dy du dv y y u v dx du dv dx = = 或 已知 y = ln cos x, 求 y . 解 令 y = ln u,u = cos v,v = x. . 2 1 sin 1 x v u y y u v x u v x = − = 1 1 tan sin . cos 2 2 x y x x x x = − = − 例题6