第四章导数的应用问题 4.1中值定理 4.2洛必达法则 4.3函数的单调性与极值
第四章 导数的应用问题 4.1 中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值
4.1中值定理 一.费马定理 皮埃尔·德·费马(Fermat),法国 律师和业余数学家。他对数论最有兴 趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。 费马在笛卡尔《几何学》发表 之前，就于1629年发现了解析几何 的基本原理，建立了坐标法，是解析 几何的发明人之一，同年写了《求最 大最小值的方法》。 费马善于思考，特别善于猜想， 费马(1601-1665) 提出了数论中的许多猜想，人们也称 费马是“猜想数学家”。 x”+y”=z
4.1 中值定理 一. 费马定理 费马在笛卡尔《几何学》发表 之前，就于1629年发现了解析几何 的基本原理，建立了坐标法，是解析 几何的发明人之一，同年写了《求最 大最小值的方法》。 费马善于思考，特别善于猜想， 费马 (1601-1665) 提出了数论中的许多猜想，人们也称 费马是“猜想数学家”。 皮埃尔·德·费马(Fermat)，法国 律师和业余数学家。他对数论最有兴 趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。 n n n x y z + =
4.1中值定理 1.极值的定义 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x,是(a,b)内的一个点， 如果存在着点x的一个邻域， 对于这邻域内的任何异于x的点飞，f(x)f(x) 均成立，就称f(x)是函数f(x)的一个极小值
4.1 中值定理 0 0 ( ) ( , ) , ( , ) , , f x a b x a b x 设函数 在区间 内有定义 是 内的一个点 如果存在着点 的一个邻域 0 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) ; x x f x f x f x f x 对于这邻域内的任何异于 的点 均成立 就称 是函数 的一个极大值 0 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) . x x f x f x f x f x 对于这邻域内的任何异于 的点 均成立 就称 是函数 的一个极小值 1. 极值的定义
4.1中值定理 2.费马定理 费马定理：如果x,是函数f(x)的极值点，并且f(x) 在x可导，那么f'(x)=0. y=f(x) 01 使f'(x)为零的点叫做函数f(x)的驻点. 明 可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点， 但函数的驻点却不一定是极值点
4.1 中值定理 0 0 0 ( ) ( ) '( ) 0. x f x f x x f x = 费马定理：如果 是函数 的极值点，并且 在 可导，那么 2. 费马定理 使f x f x '( ) ( ) . 为零的点叫做函数 的驻点 . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 说 明
4.1中值定理 二.拉格朗日微分中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间4，b连续，(2)在开区间(a,b)可导， 那么在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得 f'(5)=f)-fa b-a 说明 右端表示平均变化率，左端表示 y=f(9 内点处函数的局部变化率，中值定 理是联接局部和整体的纽带 物理意义：整体的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度 ￥bx
1 2 4.1 中值定理 二. 拉格朗日微分中值定理 ( ) (1) [ , ] , (2) ( , ) , ( , ) f x a b a b a b 如果函数 满足 在闭区间 连续 在开区间 可导 那么在开区间 内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) '( ) f b f a f b a − − ＝ 说明 右端表示平均变化率，左端表示 内点处函数的局部变化率,中值定 理是联接局部和整体的纽带. 物理意义：整体的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度
若f(x)在a,b]连续，f(x)在(a,b)可导， 4.1中值定理 则归5∈(a,b)f'5)=f@）-f6 a-b 推论1 若f(x)在(，b)导数恒为零，则f(x)是(a,b)内的常数函数 即f'(x)≡0台f(x)=C(C为常数) 推论2 若f(x)和g(x)在(a,b)内可导，且f'(x)≡g'(x), 则它们至多相差一个常数，即 f(x)=g(x)+C(C为常数)
4.1 中值定理 推论1 若f x a b f x a b ( ) ( , ) , ( ) ( , ) 在 导数恒为零 则 是 内的常数函数. ( ) [ , ] , ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) '( ) . f x a b f x a b f a f b a b f a b − − 若 在 连续 在 可导 则 ， ＝ 即f x f x C C '( ) 0 ( ) = （ 为常数） 推论2 C ( ) ( ) ( , ) , '( ) '( ), ( ) ( ) ( ). f x g x a b f x g x f x g x C = + 若 和 在 内可导 且 则它们至多相差一个常数，即 为常数
4.1中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理的特例 若f(x)在a,b连续，f(x)在(@，b)可导， y=f(x) 且f()=fb),则至少存在一点 5∈(a,b),使得 f'(5)=0 0 E2 b 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立 柯西定理 一拉格朗日定理的推广 如果函数f(x)和g(x)在a,b连续，在(a,b)可导， 且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点5，使得 f(b)-f(a)_f'(5) g(b)-g(a)g'(5) g()=x时，即得拉格朗日中值定理
4.1 中值定理 柯西定理 ——拉格朗日定理的推广 ( ) ( ) [ , ] ( , ) , '( ) 0, ( , ) f x g x a b a b g x a b 如果函数 和 在 连续，在 可导 且 则在 内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) '( ) . ( ) ( ) '( ) f b f a f g b g a g − − ＝ g x x ( ) . = 时，即得拉格朗日中值定理 ( ) [ , ] , ( ) ( , ) , ( ) ( ), ( , ) '( ) 0 f x a b f x a b f a f b a b f = 若 在 连续 在 可导 且 则至少存在一点 ，使得 ＝ 罗尔定理 ——拉格朗日定理的特例 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立
4.1中值定理 数学家简介一 约瑟夫·拉格朗日 Lagrange,1736~1813 法国数学家，在力学和天文学的领域中 也都有历史性的贡献，其中尤以数学方面 的成就最为突出。 他最突出的贡献是在把数学分析的基础 脱离几何与力学方面起了决定性的作用， 使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他 学科的工具。同时在使天文学力学化、力 学分析化上也起了历史性作用，促使力学 和天文学（天体力学）更深入发展。 他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的 数学家之一
4.1 中值定理 约瑟夫·拉格朗日 法国数学家，在力学和天文学的领域中 也都有历史性的贡献，其中尤以数学方面 的成就最为突出。 他最突出的贡献是在把数学分析的基础 脱离几何与力学方面起了决定性的作用， 使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他 学科的工具。同时在使天文学力学化、力 学分析化上也起了历史性作用，促使力学 和天文学（天体力学）更深入发展。 Lagrange，1736~1813 他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的 数学家之一。 数学家简介一
4.1中值定理 数学家简介二 柯西(Cauchy,1789一1857)是法国数 学家，天文学家，物理学家。柯西在 微积分历史上的影响尤其深远。他提出 极限定义的方法（当今所有微积分的教 科书都还沿用着柯西等人关于极限、连 续、导数、收敛等概念的定义)；他 利用中值定理首先严格证明了微积分基 本定理.他还在代数方面、理论物理 光学等方面有突出贡献。 正是通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分 析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思 想上的混乱局面
4.1 中值定理 柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国数 学家， 天文学家，物理学家。柯西在 微积分历史上的影响尤其深远。他提出 极限定义的方法（当今所有微积分的教 科书都还沿用着柯西等人关于极限、连 续、导数、收敛等概念的定义 ）；他 利用中值定理首先严格证明了微积分基 本定理.他还在代数方面、理论物理、 光学等方面有突出贡献。 正是通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分 析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思 想上的混乱局面。 数学家简介二
思考与练习 1.什么是函数的极值？什么是函数的最值？ 两者有什么关系？ 2.费马定理和函数的极值有什么关系？ 3.中值定理的假设和结论是什么？如果没 有定理的假设，结论能否成立？
思考与练习 1.什么是函数的极值？什么是函数的最值？ 两者有什么关系？ 2.费马定理和函数的极值有什么关系？ 3.中值定理的假设和结论是什么？如果没 有定理的假设，结论能否成立？