习题六（部分习题解答） 2.求下列定积分 (∫x. 答案：原积分B一号 (2)「(2e+1)d 答案：原积分=2e6+x6=2e-1, o+安a 答案：原式+2+h-r+2x4h=马n4 o年 常案停=om此-号 编 k=aresin-石 o品4 答来原段分0)在=-me1-子 1199 AM计算7+2x+2 dx 会 4.应用换元法求下列定积分 fny 答装令1-5x=片女-号 5 1
1 习题六（部分习题解答） 2. 求下列定积分 (1) 2 4 0 x dx ∫ . 答案： 5 2 0 1 32 =| . 5 5 原积分 x = (2) 1 0 (2 1) x e dx + ∫ . 答案： 1 1 =2 | | 2 1. 0 0 x 原积分 exe +=− (3) 4 2 1 1 ( ). x dx x + ∫ 答案： 4 2 4 1 1 1 1 27 = ( 2 ) =( 2 ln ) | ln 4. 2 4 x dx x x x x ++ + + = + 原式 ∫ (4) ∫ + 1 -1 2 1 x dx . 答案： 1 1 2 1 -1 arctan | . 1 2 dx x x π = =− + ∫ (5) ∫ − 2 1 0 2 1 1 dx x 答案： 1 1/2 2 0 0 2 1 arcsin | . 1 6 dx x x π = = − ∫ (6) ∫ + 1 0 2 2 1 dx x x 答案： 1 1 2 0 0 1 = 1- ( arctan ) | 1 . 1 4 dx x x x π = − =− + 原积分 （ ） ∫ //99 ^^计算∫ +∞ −∞ + + . 2 2 2 x x dx . ^^ ∫ +∞ −∞ = + + . 2 2 2 π x x dx 4. 应用换元法求下列定积分 (2)∫ − − + 1 2 3 (11 5x) dx . 答案： 令 . 5 , 5 11 11 5 , dt dx t t x x = − = + 则 =
所以am0-rh-f-是 oos 答案：令1=l+e',则d山=e'dk 所以-a=n=nl C 答案：令1=1+√，则x=0-)2,d=21-1)h. 所9女-片0-=-或+a-3 (⑤)∫e'1+e'dk. 答案：原积分-0+ed0+e)=+ey-号 答案：原积分-Inxd(nx)=nxf=号 1 （0+2x+2 答案LF+2x+2-f+少=c+儿，-号 1 1 (8)sinxcosxdr 答案：原积分=sn2d(sin)=n2x52-号 (9)[e'cose'dx 答案：ecose'dx=sin2-sinl o
2 所以 . 72 7 10 1 5 1 (11 5 ) 5 6 1 2 6 1 6 1 3 3 1 2 3 = = = − = + − − − ∫− ∫ ∫ t dt t t dt x dx (3) dx e e x x ∫ + 1 0 1 答案：令t 1 e , dt e dx. x x = + 则 = 所以∫ ∫ + + + = = = + e e x x e dt t t dx e e 1 2 1 2 1 0 . 2 1 ln ln 1 1 (4) ∫ + 4 0 1 dx x x . 答案：令 1 , ( 1) , 2( 1) . 2 t = + x 则x = t − dx = t − dt 所以 2 ln ) 2ln 3. 2 2( 1) 2( 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 4 0 • − = − + = − = + ∫ ∫ t t t t dt t t dx x x (5) ln 2 2 0 (1 ) x x e e dx + ∫ . 答案： ln 2 2 3 ln 2 0 0 1 19 = (1 ) (1 ) (1 ) | 3 3 xx x + += + = ed e e 原积分 ∫ (6) 1 e1nx dx x ∫ . 答案： 2 1 1 1 1 = ln (ln ) ln | . 2 2 e e xd x x = = 原积分 ∫ (7) ∫− + + 0 2 2 2 2 1 dx x x . 答案：∫− ∫− − = + = + + = + + 0 2 0 2 2 0 2 2 . 2 arctan( 1) ( 1) 1 1 2 2 1 π dx x x dx x x (8) ∫ 2 0 2 sin cos π x xdx 答案： 2 3 /2 2 0 0 1 1 = sin (sin ) sin | . 3 3 xd x x π π = = 原积分 ∫ (9) ∫ ln 2 0 e cos e dx x x 答案： cos sin 2 sin1. ln 2 0 = − ∫ e e dx x x (10) ∫ − 2 1 0 2 1 arcsin dx x x
华得君 （0层cas2h 答案s仙=自+2h-g-号 2 (12)4r 答案：令x=2sinL,则dk=2cosd,1=arcsin 4-x产=2cos12 cos=sin(2后+26=元 5.应用分部积分法求下列定积分 (1)['nxds 答案：∫Inxdx=3ln3-2 (2)[xe'dx. 答案：xed=2n2-1 (3)∫xInxdx 答案：【hh (④re'cosxdx. 答案：e产cos=e- 6)讨论广亭反常积分的敛散性 答案：因为时在区间+网止连续，所以im空-im（分-)-号 又因极限存在，所以反常积分“产收敛 (2)讨论广厂xerd反常积分的敛散性： 3
3 答案： . 1 72 arcsin 2 2 1 0 2 π = − ∫ dx x x (11) ∫ 2 4 2 cos π π tdt . 答案：∫ ∫ = − + = 2 4 2 4 2 . 4 1 2 8 1 cos 2 cos π π π π π dt t tdt (12) ∫ 2 0 2 4 - x dx 答案：令 , 2 2sin , 2cos , arcsin x x = t 则dx = tdt t = ∫ ∫ = • = + = 2 0 2 0 2 0 2 0 2 4 - 2cos 2cos sin(2 ) 2 . π π π x dx t tdt t t π 5. 应用分部积分法求下列定积分 (1)∫ 3 1 ln xdx . 答案： ln 3ln 3 2. 3 1 = − ∫ xdx (2)∫ ln 2 0 xe dx x . 答案： 2ln 2 1. ln 2 0 = − ∫ xe dx x (3) ∫ e x xdx 1 ln 答案： . 4 1 ln 2 1 + = ∫ e x xdx e (4)∫ e x e xdx 0 cos . 答案： ( 1). 2 1 cos 2 0 = − ∫ π e xdx e e x 6 . (1) 讨论∫ +∞ 1 3 x dx 反常积分的敛散性： 答案：因为 在区间[1, )上连续，所以 1 3 +∞ x ∫ = − − = →+∞ →+∞ a a x a a dx 1 3 2 , 2 1 1) 1 ( 2 1 lim lim 又因极限存在，所以反常积分∫ +∞ 1 3 x dx 收敛. (2) 讨论∫ +∞ − 0 2 xe dx x 反常积分的敛散性：
答案：因为xe御0，+o)止连续，所以ek=ime在=) 因为极限存在，所以反常积分xed收敛 7.(1)应用微元法求由抛物线y=x2与x=y所围成的图形的面积 普案求满案甜物服的交点解方起子 得到两个交点为(0,0)及(LI).任取子区间[x,x+d]c0,】,从而得到面积微元 西=(G-x产d,于是所求面积为S=G-x2达= (2)应用微元法求由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积 答案：求两条抛物线与直线的交点，解方程少=2x y=x-4 得到两个交点为(2，-2)及(8,4)从而知道此图形在直线y=2与直线y=4之间 取纵坐标y为积分变量，它的变化区间为[-2,4，相应于-1,4)上任一子区间 少y+上的窄条面积近似高于为少、低为0+4)-的小矩形的面积，从 面得到面积微元西=心+4一宁冰，于是所求面积为 s=.0+4-M=18 8.(2)应用微元法求由曲线 y=sinx(-π≤x≤π)饶x轴旋转一周而形成的旋转体的体积 答案：这个旋转体是由曲线y=sinx(-π≤x≤π)饶x轴旋转一周而形成的立体 取x为积分变量，它的变化区间为[-π，π]，旋转体中相应于-π，π]上任一子区间 [x,x+d)]的薄片的体积，近似于低半径为小si,高为k的薄圆柱体的体积，即 体积微元为d=$ind,于是所求体积为V=π[sinxdx=π
4 答案：因为 在[0, )上连续，所以 2 +∞ −x xe . 2 1 0 0 2 2 = lim = ∫ ∫ − →+∞ +∞ − a x a x xe dx xe dx 因为极限存在，所以反常积分∫ +∞ − 0 2 xe dx x 收敛. 7. (1) 应用微元法求由抛物线 . y = x 2 与x = y 2 所围成的图形的面积 答案 求两条抛物线的交点，解方程⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 2 2 y x y x ， 得到两个交点为 (0,0)及(1,1 ).任取子区间[x, x + dx] ⊂ [0,1] ，从而得到面积微元 ( ) , 2 dS = x − x dx 于是所求面积为 ∫ = − = 1 0 2 . 3 1 S ( x x )dx (2) 应用微元法求由抛物线 2 4 . y 2 = x与直线y = x − 所围成的图形的面积 答案：求两条抛物线与直线的交点，解方程 ⎩ ⎨ ⎧ = − = 4 2 2 y x y x ， 得到两个交点为(2,−2)及(8,4 ).从而知道此图形在直线 y = -2与直线y = 4之间. 取纵坐标 y 为积分变量，它的变化区间为 [−2,4],相应于[−1,4] 上任一子区间 [ y, y + dy] 上的窄条面积近似高于为 2 2 1 dy、低为( y + 4) − y 的小矩形的面积，从 而得到面积微元 ) , 2 1 ( 4 2 dS = y + − y dy 于是所求面积为 ∫− = + − = 4 2 2 ) 18. 2 1 S ( y 4 y dy 8. (2) 应用微元法求由曲线 y = sin x(−π ≤ x ≤ π )绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积. 答案：这个旋转体是由曲线 y = sin x(−π ≤ x ≤ π )绕x轴旋转一周而形成的立体 取 x 为积分变量，它的变化区间为[−π ,π ],旋转体中相应于[−π ,π ]上任一子区间 [x, x + dx] 的薄片的体积，近似于低半径为 sin x ,高为dx 的薄圆柱体的体积，即 体积微元为 sin , 2 dV = π x dx 于是所求体积为 ∫− = = π π π sin π . 2 2 V x dx