第五章不定积分 5.1原函数与不定积分 5.2换元积分法和分部积分法
第五章 不定积分 5.1 原函数与不定积分 5.2 换元积分法和分部积分法
5.1原函数与不定积分 数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量。 17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的 四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度，曲线 围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心和引力等等。 2πT Tn2 4xr2 33 4 此类问题的研究具有久远的历史。例如，古希腊人曾 用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期 的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积
5.1 原函数与不定积分 数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量。 17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的 四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线的长度，曲线 围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心和引力等等。 此类问题的研究具有久远的历史。例如，古希腊人曾 用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期 的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积
5.1原函数与不定积分 而在欧洲，此类问题的研究兴起于7世纪，先是穷竭法 被逐渐修改，后来由于微积分的创立，彻底改变了解 决这一大类问题的方法 前面已经介绍已知函数求导数的问题， 现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数， 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分
5.1 原函数与不定积分 现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数, 前面已经介绍已知函数求导数的问题, 这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分. 而在欧洲，此类问题的研究兴起于17世纪,先是穷竭法 被逐渐修改，后来由于微积分的创立，彻底改变了解 决这一大类问题的方法
5.1原函数与不定积分 一.原函数的概念 定义1 设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义.若在I上 F'(x)=f(x) 则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数 例如 .(sinx)'=cosx, 故sinx是cos的一个原函数， .(x2)y=2x 故x是2的一个原函数， 又(x2+2)y=2x,故x2+2也是2的一个原函数
5.1 原函数与不定积分 定义1 设函数 与 在区间I上有定义.若在I上 ， 则称函数 为 在区间I上的一个原函数. F(x) = f (x) F(x) f (x) F(x) f (x) 例如 (sin ) cos , x x = 故sin cos x x 是 的一个原函数. 2 ( ) 2 , x x = 2 故x x 是2 的一个原函数. 2 又 ( 2) 2 , x x + = 2 故x x +2也是2 的一个原函数. 一. 原函数的概念
5.1原函数与不定积分 研究原函数必须解决的两个重要问题： (1)什么条件下，一个函数存在原函数？ (2)如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理1若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在 原函数F(x)· 证明将在第六章第二节中作为定理的推论得到
5.1 原函数与不定积分 研究原函数必须解决的两个重要问题： ⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？ ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理1 若函数 在区间I 上连续，则 在I上存在 原函数 . f (x) f (x) F(x) 证明将在第六章第二节中作为定理的推论得到
5.1原函数与不定积分 (2)如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 例如 (x2y=2x, 故x2是2x的一个原函数， 又(x2+2)/=2x,故x2+2也是2的一个原函数， 不难看出 若F'(x)=f(x), 则[F(x)+C]'=f(x) 即如果F(x)是f(x)的一个原函数 则F(x)+C也是(x)的原函数(C为任意常数)
5.1 原函数与不定积分 ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 2 ( ) 2 , x x = 2 故x x 是2 的一个原函数. 2 又 ( 2) 2 , x x + = 2 故x x +2也是2 的一个原函数. 例如 若F x f x '( ) ( ), = 则[ ( ) ]' ( ) F x C f x + = . 不难看出 即如果F x f x ( ) ( ) , 是 的一个原函数 则F x C f x C ( ) ( ) + 也是 的原函数( 为任意常数)
5.1原函数与不定积分 (2)如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理2设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则 (I)F(x)+C也是f(x的一个原函数，其中C为任意常数： (2)f(x)的任意两个原函数之间，相差一个常数， (2)的证明： 设F(x)和G(x)是f(x)在区间1上的两个原函数， [F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0 ∴.F(x)-G(x)=C 导数为零的函数是常数
5.1 原函数与不定积分 ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理2 设 是 在区间I上的一个原函数，则 ⑴ 也是 的一个原函数，其中C为任意常数； ⑵ 的任意两个原函数之间，相差一个常数. F(x) f (x) F(x) +C f (x) f (x) 设F x G x f x I ( ) ( ) ( ) 和 是 在区间 上的两个原函数， [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 F x G x F x G x f x f x − = − = − = − = F x G x C ( ) ( ) 导数为零的函数是常数 (2)的证明：
5.1原函数与不定积分 二.不定积分的概念 定义2f()在区间I上的全体原函数称为f()在I上 的不定积分，记作[f(x)dk. 其中称为积分号，f(x为被积函数，f(x)dc为被积表达 式，x为积分变量. 由定义2知，「f(x)dx=F(x)+C. 这时又称C为积分常数，它可以取任意实数值 注：求不定积分就是找所有的原函数
5.1 原函数与不定积分 由定义2知， f (x)dx = F(x) +C. 这时又称C为积分常数，它可以取任意实数值. 定义2 在区间I 上的全体原函数称为 在I 上 的不定积分，记作 其中称 为积分号， 为被积函数， 为被积表达 式，x为积分变量. f (x) f (x)dx. f (x) f (x)dx f (x) 二. 不定积分的概念 注： 求不定积分就是找所有的原函数
5.1原函数与不定积分 例题1 求下列不定积分 Ofx'ds 上，思的-个总同散 解：( 从面∫x杰=+CC为伍意常数0 (arctanarcnC (C为任意常数)
5.1 原函数与不定积分 3 (1) ; x dx 4 3 4 x 是x 的一个原函数， 从而 4 3 4 x x dx C = + ( ). C为任意常数 4 3 (1) ' , 4 x x = 解： 求下列不定积分 2 1 (2) . 1 dx + x 2 1 (arctan ) , 1 x x = + （2） 2 1 arctan 1 dx x C x = + + ( ). C为任意常数 例题1
5.1原函数与不定积分 ∫f(x)d=F(x)+C 问f(x)ad'与f'(x)是否相等？ 答：不相等. 设F'(x)=f(x), f(x)'=-[F(x]'=f() 性质 Jf(x)dx=f(x)+C 可f(x)a'≠∫f'"(x)d
5.1 原函数与不定积分 问 [ ( ) ]' ( ) f x dx f x dx 与 是否相等？ f (x)dx = F(x) +C. [ ( ) ]'=[ ( )]' ( ) f x dx F x f x = 答：不相等. 设F x f x ( ) ( ), = f x dx f x C ( ) ( ) = + [ ( ) ]' f x dx f x dx ( ) . 性质