第2章微积分的直接基础一函数 §2.1数列极限与函数极限 §2.2极限的性质与运算 §2.3连续函数
第2章微积分的直接基础——函数 §2.1 数列极限与函数极限 §2.2 极限的性质与运算 §2.3 连续函数
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 1.数列的定义：以正整数为自变量的函数y=f(n),n=1,2,3,. 时所得到的数值a=f(I),42=f(2),43=f(3),.,an=f(n),. 称为无穷数列，简称数列，记为{an}. ● 芝诺悖论：设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，乌龟龟在前 面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿 基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，.把阿基里斯 追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：因为这一列数有 无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟. A B
⚫ 芝诺悖论：设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，乌龟龟在前 面10米. 当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿 基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，.把阿基里斯 追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 因为这一列数有 无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟. §2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 y f = (n), n=1, 2, 3, 1 2 3 (1), (2), (3), , ( ), n a f a f a f a f n = = = = { }. n a 1. 数列的定义：以正整数为自变量的函数 时所得到的数值 称为无穷数列，简称数列，记为 A B
§2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 例如： (1).2,4,8.,2. {2"} 1111 (2). 2’48 2 品 (3). 1,-1,1,.,(-1)”+1,. (-1)”-} (4)
§2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 2,4,8, ,2 , ; 例如： n (1). 1 1 1 1 (2). , , , , , ; 2 4 8 2n 1 (3). 1, 1,1, ,( 1) , ; n+ − − 1 1 4 ( 1) (4). 2, , , ,1 , ; 2 3 n n − − + − + − n n 1 ( 1) 1 {( 1) } −1 − n {2 } n } 2 1 { n
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 2.数列极限的定义 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如截杖问题： 第一天截下后余下的部分为号 第二天截下后余下的部分为1，= 22 第n天截下后余下的部分长为1，=
2. 数列极限的定义 §2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 例如截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 0 1 2 n n l = 1 ; 2 n n 第n l 天截下后余下的部分长为 = 1 1 ; 2 第一天截下后余下的部分为 l = 2 2 1 ; 2 第二天截下后余下的部分为l =
§2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 (1)数列极限的定性描述： 如果n无限增大时，数列{an}的通项a,无限接近于常数a, 则称该数列以a为极限，记做 lim a=a,或 Ln→a(n->o). 1h-→oo 此时也称该数列收敛到α.如果不以任何常数为极限，则称 数列发散
§2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 (1) 数列极限的定性描述： 如果n无限增大时，数列 的通项 无限接近于常数a， 则称该数列以a为极限，记做 { }n a n a lim a a, n n = → a → a (n → ). 或 n 此时也称该数列收敛到a. 如果不以任何常数为极限，则称 数列发散
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 例如：(1).2,4,8，.，2”，. {2"} 发散 111 1 (2). 2482. 收敛 (3). 1,-1,1,.,(-101, (-1)-} 发散 (4). 214 收敛
一、数列极限 §2.1 数列极限与函数极限 2,4,8, ,2 , ; 例如： n (1). 1 1 1 1 (2). , , , , , ; 2 4 8 2n 1 (3). 1, 1,1, ,( 1) , ; n+ − − 1 1 4 ( 1) (4). 2, , , ,1 , ; 2 3 n n − − + − + − n n 1 ( 1) 1 {( 1) } −1 − n {2 } n } 2 1 { n 收敛 发散 收敛 发散
§2.1数列极限与函数极限 例如芝诺悖论： 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 11 S=10+1+ 010*= 10_10 1-g1-I9 (米). 10 所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！ 例如截杖问题： 当n无限增大时，无限接近于0
1 1 . 0. 2 2 n n n l n = 当 无限增大时， 无限接近于 例如截杖问题： 例如芝诺悖论： 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 1 1 1 10 100 10 1 ( 10 100 1 9 1 1 10 a S q = + + + + = = = − − 米）. 所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！ §2.1 数列极限与函数极限
S2.1数列极限与函数极限 一、 数列极限 “无限接近”意味着什么？ 如何用数学用数学语言来刻画？ 距离！ {an无限接近于常数a, 1an-a任意小(n→o), ,=1+a1非骨0a-→9a风为数 .0
一、数列极限 “无限接近”意味着什么？ 如何用数学用数学语言来刻画？ 距离！ { } an 无限接近于常数a， | - | ( ). n a a n 任意小 → 1 ( 1) 1 1 ,| 1| 0( ). 1 . n n n n a a n a n n − − 例如 = + − = → → 称 以 为极限 §2.1 数列极限与函数极限
§2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 (1)数列极限的定量描述(&一W语言)： 对于任意小的正数ε>0（无论它有多小），总存在相应的 正整数N,使得满足n>N的一切n,i 能使不等式|an~akε 恒成立，则称数列{an以a为极限，记作 lim a=a,或an→a(n→oo) a1 a2 aN+1 几何解释 当n>N时，所有的点xn都落在点a的邻域即区间(a-6,a+&)内， 至多只有有限个(N个)落在其外
一、数列极限 §2.1 数列极限与函数极限 (1) 数列极限的定量描述（ε—N语言）： 0( ), , | - | , { } lim , ( ) n n n n n N n N n a a a a a a a a n → = → → 对于任意小的正数 无论它有多小 总存在相应的 正整数 ，使得满足 的一切 能使不等式 恒成立 则称数列 以 为极限，记作 或 , ( , ) , n 当n N x a a a − + 时 所有的点 都落在点 的 邻域即区间 内 至多只有有限个( ) . N个 落在其外 x a1 a2 aN +1 a3 a aN x 几何解释
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 说明 (①)定义中的常数ε具有二重性：既具有很小正数的固定 性，又具有随意小的任意性 (2)是首先给定的，N是由ε确定的.常记作 N=N(s) =1g- n 给定6=由上10,就有1a,-1k0.01 100n`100 1 给定6= 由100,就有1a,-1k0.001. 1000 n1000 对于任意给定ε>0，取W 当n>N时，都有|an-lk
一、数列极限 §2.1 数列极限与函数极限 (1) 定义中的常数ε具有二重性：既具有很小正数的固定 性，又具有随意小的任意性 (2)ε是首先给定的，N是由ε确定的. 常记作 N N= ( ). 说 明 1 ( 1) 1 1 | -1| 1 1 1 = , , 100, | -1| 0.01. 100 100 1 1 1 = , 100, | -1| 0.001. 1000 1000 n n n n n a a n n n a n n a n − − = + = 例如 ， . 给定 由 只要 就有 给定 由 ，只要 就有 1 0, , | -1| . N n N an = 对于任意给定 取 当 时，都有