习题三（部分习题解答） 2.用定义讨论函数fx)=K+1在点x=0处的连续性和可导性 答案：将f(x)写成分段函数，即 /)=/r+1x20 -x+1,x0时，右极限为0)=limf,=lim(x+)=1 当x0时，给x=0一个增量Ax>0,于是右导数为 ()-lim-lim(im Ar 当x<0时，给x=0一个增量△x<0,于是左导数为 fo-lm0-mo+1-m治 因为f(0)≠f,(0),所以函数f(x)在点x=0处不可导. 可见，函数f(x)=+1在点x=0处连续但不可导. 3.已知抛物线y=x2+2x+3, (1)求抛物线在点M(2,11)处的切线方程和法线方程： (2)抛物线上哪点处的切线平行于直线y=2x. 答案：()先求斜率 K切=f(2)=(x2+2x+3训2=(2x+22=6, 法线斜串为水。=。 所以切线方程为 y-11=6(x-2,化简得6x-y-1=0. 法线方程为-1=-乙x-2,化简得x+6y-68=0, (2)设平行于已知直线的切线于抛物线的交点为(x,),则由题设知此切线斜率为
习题三(部分习题解答) 2. 用定义讨论函数 f (x) = x +1在点x = 0处的连续性和可导性. 答案：将 f (x)写成分段函数，即 ⎩ ⎨ ⎧ − + = = + = + − → → → + + + x f f f x f x x f f x x x x x (2) 讨论函数在点 x = 0处的可导性. ( ) 1 0 . (0) (0), ( ) 0 . -1. - . - (0 ) 1 1 (0) 0 0 0, . 1. (0 ) 1 1 (0) 0 0 0, ' ' - 0 0 0 ' - 0 0 0 ' lim lim lim lim lim lim - - - 可见，函数 在点 处连续但不可导 因为 所以函数 在点 处不可导 当 时，给 一个增量 于是左导数为 当 时，给 一个增量 于是右导数为 = + = ≠ = = Δ Δ = Δ + Δ + − = Δ Δ = = Δ > + Δ → Δ → Δ → Δ → Δ → Δ → + + + f x x x f f f x x x x x x x y f x x x x x x x x y f x x x x x x x x x 3. 已知抛物线 2 3, 2 y = x + x + (1) 求抛物线在点 (2,11) M 0 处的切线方程和法线方程； (2) 抛物线上哪点处的切线平行于直线 y = -2x. 答案：(1)先求斜率 . 6 1 - (2) ( 2 3)' (2 2) 6, 2 2 ' 2 = = = + + = + = = = 法 切 法线斜率为K K f x x x x x 所以切线方程为 11 6( 2), 6 1 0. 1 11 ( 2), 6 68 0. 6 y x xy y x xy − = − − −= − =− − + − = 化简得 法线方程为 化简得 (2)设平行于已知直线的切线于抛物线的交点为(x, y)，则由题设知此切线斜率为
-2,所以令f(x)=2x+2=-2,解得x=-2,代入抛物线方程，得y=3. 所以在抛物线上点(-2,3)处的切线平行于直线y=-2x 4.求下列函数的导数： (1)y=x3-cosx. 答案：y=3x2-sinx (2)y=sinx+Inx+2. 答案：y=w+ (3)y=+Inx. 答案：=派 1 (4)y=aox"+a x+.+ax+a 答案：y=nax-+a(n-1)x-2+.+2an2x+an (⑤)y=x2(3x+5) 答案：y'=(x3)'(3x+5)+x2(3x+5)'=3x2(3r+5)+3x3=12x3+15x2. (6y=x21nx. 答案：y'=(x2)Inx+x2n)'=2xlnx+x=x(2hx+). (7)y=xsinxInx. 答案：y'=x'sinxInx-+x(sinx)'Inx+xsinx(Inx)'=(sinx+xcosx)lnx+sinx. (8)y=cotx. 答案：y=(osS=cosx'sinr-cosx6ia= -1 sin'x sinx=-cse2x. (9)y=+2 x-2 答案：y-+2-+2-2.-2-2 4 (x-2)2 (x-2)2
-2，所以令 f '(x) = 2x + 2 = −2,解得x = −2,代入抛物线方程，得y = 3. 所以在抛物线上点(-2,3)处的切线平行于直线 y = −2x. 4. 求下列函数的导数： (1) . cos 3 y = x − x 答案： ' 3 sin . 2 y = x − x (2) . y = sin x + ln x + 2 答案： . 1 ' cos x y = x + (3) ln . 3 y = x + x 答案： . 3 1 ' 3 2 x y = (4) . 1 1 0 1 n n n n y = a x + a x + + a − x + a − " 答案： ' ( 1) 2 . 2 1 2 1 1 0 − − − − = + − + + n + n n n y na x a n x " a x a (5) ). (3 5 3 y = x x + 答案： 3 3 2 3 32 y ' ( )'(3 5) (3 5)' 3 (3 5) 3 12 15 . = ++ + = ++ = + x x xx xx x x x (6) . ln 2 y = x x 答案： 2 2 y x xx x x xx x x ' ( )'ln (ln )' 2 ln (2ln 1). = + = += + (7) . y = x sin x ln x 答案： y ' 'sin ln + (sin )'ln sin (ln )' (sin cos )ln sin . = + =+ + x x xx x x x x x x x x x x (8) . y = cot x 答案： 2 2 2 cos (cos )'sin cos (sin )' 1 ' ( ) csc . sin sin sin x x x xx y x x xx − − = = = =− (9) . 2 2 − + = x x y 答案： 2 22 ( 2)'( 2) ( 2)( 2)' 2 ( 2) 4 ' . ( 2) ( 2) ( 2) x x xx x x y x xx + − − + − −− + = = =− − −−
(10)y=1sinx 2cosx 答案： -2 cost(+sinx)-(2cosx)(l+sinx)2sinx(l+sin x)-(Zcosx)cos- (1+sinx)2 (1+sinx) (1l)y=a*lnx(a>0且a≠). 答案：y'=(aynx+amxr=a(nalnx+ (12)y=(x+In2)log2 x. 答案：-x+n2,x+x+a2ag,rel,x+之+号 (13)y=secxtanx. 答案：y"=((seex)'tanx+-seex(tanx)=-sec.x(tan'㎡x+sec2x或y=l+sinx cos'x 5y=4-子+sm1 答案：=4+号 (16)y=x2Inxcosx. 答案：y'=x(2 Inxcosx+cos.x-xsinxInx) 5.求下列函数的导数： (1)y=- 答案y-0-i0- (2)y=Insinx 答案：y”-c0sy=ot sinx (3)y=cos(x2+x+1) 答案：令u=x2+x+l,则y'=(u).'[cos小=-(2x+l)sin(x2+x+)
(10) . 1 sin 2cos x x y + = 答案： 2 2 (2cos )'(1 sin ) (2cos )(1 sin )' 2sin (1 sin ) (2cos )cos 2 ' . (1 sin ) (1 sin ) 1 sin x x x x x x xx y x xx +− + − +− − = == + ++ (11) y = a ln x(a > 0 a ≠ 1). x 且 答案： 1 ' ( )'ln (ln )' (ln ln ). xx x y a xa x a a x x = += + (12) ( ln 2)log . 2 y = x + x 答案： 2 22 1 1 ' ( ln 2)'log ( ln 2)(log )' log . ln 2 y x xx x x x =+ ++ = + + (13) y = sec x tan x. 答案： 2 2 2 3 1 sin ' (sec )'tan sec (tan )' sec (tan sec ). ' . cos x y x x x x x x xy x + = + =+= 或 (15) sin1. 2 4 2 = − + x y x 答案： . 4 ' 4 3 x y = + (16) ln cos . 2 y = x x x 答案： y x x x xx x x ' (2ln cos cos sin ln ). = +− 5.求下列函数的导数： (1) 2 y = −1 x 答案： 1 2 2 2 2 1 ' (1 ) (1 )' . 2 1 x y xx x − − =− − = − (2) ln sin y = x 答案： cos ' cot sin x y x x = = (3) 2 y xx = ++ cos( 1) 答案： [ ] 2 2 令 则1, ' ( ) ' cos ' (2 +1)sin( 1). x ux x y u u x x x = + + = =− + +
(4)y=(3x2-6x+1) 答案：y'=53x2-6r+1)(3x2-6r+1'=30(x-1)3x2-6r+1) (⑤)y=ln(x+V+x2) 、1++ X 答案：y=++ 1x++x x+1+x2 x+i+rx+i+平i+平+r (6)y=arctan 2x 2 my-(引 省r=引-到亡产 11 3 arcsin 4-x2 4 (图y=htam 答案：y'= 1 2sin cossin. (11)y=arcsin(1-2x) 答案：y=0-2 1-2-x (12)y=ln(x+Vx2-a2) 答案：y x++-)- 1 E-c x+V-a- (13)y=arccosx 答案y=2小x-
(4) 2 5 yxx = −+ (3 6 1) 答案： 2 42 2 4 y xx xx x xx ' 5(3 6 1) (3 6 1)' 30( 1)(3 6 1) . = −+ −+= − −+ (5) 2 y = ++ ln( 1 ) x x 答案： 2 2 2 2 2 22 2 1 ( 1 )' 1 1 1 1 ' . 1 1 11 1 x xx xx x y x x x xx x x x + ++ ++ + = = =⋅= ++ ++ ++ + + (6) 2 2 arctan 1 x y x = − 答案： 2 2 2 2 2 ( )' 1 2 ' . 2 1 1( ) 1 x x y x x x − = = + + − (7) 3 arcsin 2 x y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 答案： 2 2 2 2 2 3 arcsin 1 1 2 ' 3 arcsin arcsin ' 3 arcsin = 22 2 2 4 1 4 x xx x y x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = =⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − (8) ln tan 2 x y = 答案： 1 1 ' sin 2sin cos 2 2 y x x x = = (11) arcsin(1 2 ) y = − x 答案： 2 2 (1 2 )' 1 ' . 1-(1-2 ) x y x x x − = =− − (12) 2 2 y =+− ln( ) x xa 答案： 2 2 2 2 22 22 22 1 1 1 ' ( )' . x x a y x xa x xa x xa xa + − = ⋅+ − = = +− +− − (13) y x = arccos 答案 2 1 ' 2 y x x = − −
7.由方程=x+n确定的隐函数y=f(x,求y 答案：方程两边对求导。得=1+号宁八解出”=一 8.求下列方程确定的隐函数y=f(x)在给定点的导数： (1)y3+y2-2x=0,(1,0 答案：方程两端同时对x求导数，有 护74a2apy年有op-号 2 (2)y-x+siny=0,(0,0. 答案：方程两端同时对x求导数，有 1 (3)y=xlny+l,(0,l). 答案：方程两端同时对x求导数，有 少号4将经一小 (4e2+lny=1,(0.). 答案：方程两端同时对x求导数，有 r+e+-相即初一定 y'e* 10.求下列函数的n阶导数： ()y=e 答案：y'=3,y"=32e,y"=33e3,.y=3e (2)y=a(a>0且a≠1) 答案：y'=产lna,y"=ana)2,.y=ana)
7. 由方程 确定的隐函数 求 y =+ = x ln ( ), '. y yf x y 答案： 1 ' 1 ', ' . 1 y x y yy y y =+ = − 方程两边对 求导，得 解出 8. 求下列方程确定的隐函数 y = f (x)在给定点的导数： (1) 2 0,(1,1). 3 2 y + y − x = 答案：方程两端同时对 求导数，有 x 2 2 2 (1,1) (1,1) 2 22 3 ' 2 ' 2 0, ' , ' . 32 32 5 y y yy y y yy yy + −= = = = + + 解得 即有 (2) yx y −+ = sin 0,(0,0). 答案：方程两端同时对 求导数，有 x (0,0) (0,0) 1 11 ' 1 'cos 0, ' , ' . 1 cos 1 cos 2 y yy y y y y −+ = = = = + + 解得 即有 (3) y = x ln y +1,(0,1). 答案：方程两端同时对 求导数，有 x (0,1) (0,1) ' ln ln ' ln 0, ' , ' 0. y yy yy y yy y y y yx yx = +⋅ + = = = − − 解得 即有 (4) ye + ln y = 1,(0,1). x 答案：方程两端同时对 求导数，有 x 2 2 (0,1) (0,1) ' 1 ' 0, ' , ' . 1 12 x x x x x x y ye ye y e ye y y y ye ye + + = = = =− + + 解得 即有 10. 求下列函数的 n 阶导数： (1) 3 x y e = 答案： 3 2 3 3 3 () 3 ' 3 , '' 3 , ''' 3 , , 3 . x x x n nx ∵ " y ey ey e y e = = = ∴= (2) ( 0 1) x y aa a => ≠ 且 答案： 2 () ' ln , '' (ln ) , , (ln ) . x x nx n ∵ " y a ay a a y a a = = ∴=
(3)y=cosx 答：案-in”=-c.=n,m=sxy”=0+受 (4y=ln(1+x) 答案女”am- 1 -1 (1+x)° .J=a- (1+x) 11.求下列函数的微分： (2)y=cosx+Inx+2 答案：小=yk=(eosx+hx+2y水=（←sinx+ (3)y=a'(x2+1a>0且a≠1). 答案：因为y=a'lna(x2+1)+2x1所以=alna(x2+1)+2x]k (4)y=e'sinx. 答案：=(e'sinx)dx=e'(sinx+cosx)dk 品 1+x2 1+x2 答案：所以本-守血 间y=e- 答案：因为y=e-。+l所以内=和-e产+1d (7)y=cos2x. 答案：=(cos2xyk=-sin2xdk. (8)y=Vx+x2 美-Fa产4
(3) y x = cos 答案： (4) ( ) ' sin , '' cos , ''' sin , cos , cos( ). 2 n n y xy xy xy x y x π ∵ " =− =− = = ∴ = + (4) y x = + ln(1 ) 答案： () 1 2 3 1 1 ( 1)( 2) ( 1)! ' , '' , ''' , , ( 1) . 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n yy y y xx x x − −− − − = = = ∴ =− ++ + + ∵ " 11. 求下列函数的微分： (2) y = cos x + ln x + 2 答案： ) . 1 ' (cos ln 2)' ( sin dx x dy = y dx = x + x + dx = − x + (3) ( 1)( 0 1). 2 y = a x + a > a ≠ x 且 答案：因为 ' [ln ( 1) 2 ], 2 y a a x x x = + + 所以 [ln ( 1) 2 ] . 2 dy a a x x dx x = + + (4) y e sin x. x = 答案：dy (e sin x)'dx e (sin x cos x)dx. x x = = + (5) . 1 2 x x y − = 答案： , (1 ) 1 ' 2 2 2 x x y − + = 所以 . (1 ) 1 2 2 2 dx x x dy − + = (6) . 1 x e y x − = 答案：因为 2 1 ' x xe e y x x − + = 所以 . 1 2 dx x xe e dy x x − + = (7) . cos 2 y = x 答案： (cos )' sin 2 . 2 dy = x dx = − xdx (8) . 2 y = x + x 答案： . 2 1 2 ( )' 2 2 dx x x x dy x x dx + + = + =
(9)y=sin(x2-l). 答案：d=[sin(x2-1d女=2xcos(x2-I)h (10)y=cos2(x2+1). 答案：因为y=-2xsin2(x2+1),所以dy=-2xsin2(x2+1)dk (11)y=In(sin). 答案：小=d0as如- (12)y=xe2 答案：y=d(ax2e2)=2xe21+x)d
(9) ). sin( 1 2 y = x − 答案： [sin( 1)]' 2 cos( 1) . 2 2 dy = x − dx = x x − dx (10) ). cos ( 1 2 2 y = x + 答案：因为 ' 2 sin 2( 1), 2 y = − x x + 所以 2 sin 2( 1) . 2 dy = − x x + dx (11) ). 2 ln(sin x y = 答案： . 2 cot 2 1 ) 2 (ln sin dx x x dy = d = (12) . 2 2x y = x e 答案： ( ) 2 (1 ) . 2 2 2 dy d x e xe x dx x x = = +