新道大拳 Xinjiang University 导数在经济学上的简单应用
导数在经济学上的简单应用
导数在经济学上的简单应用 一.边际分析 在经济学中，边际概念是与导数密切相关的一 个经济学概念，它反映种经济变量y对另种 经济变量的变化率以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法，就是边际分析方法
导数在经济学上的简单应用 一 .边际分析 在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一 个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种 经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法，就是边际分析方法
1.总成本、平均成本、边际成本 “,总成本”是生产一定量的产品所需要的成本 总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成， 用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C)表示 当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0,这时C(O)就是固定成本
1.总成本、平均成本、边际成本 “总成本”是生产一定量的产品所需要的成本 总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成， 用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示 当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本
“平均成本”是生产每个单位产品的成本， 若产量由变化到x,+△心，则： C(c+△x)-C(x) △x 称为C(x)在(x,x+△)内的平均成本，它表示 成本C（x)在(x,x肉的平均变化率。 把C(x称为“平均成本函数”，表示产量为 x时平均单位产品的成本
“平均成本”是生产每个单位产品的成本， 若产量由 变化到 0 x 0 x x + , 则： 0 0 C x x C x ( ) ( ) x + − 称为C（x)在 0 0 ( , ) x x x + 内的平均成本，它表示 成本C（x）在 ( , ) x x x 0 0 + 内的平均变化率。 把 C x x ( ) / 称为“平均成本函数” ，表示产量为 x时平均单位产品的成本
例1：设某种商品的成本函数为 C(x)=5000+13x+30W( 其中表示产量（单位：吨)，C（x)表示产量为x吨 时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本 及平均成本分别为： C(x)x=400=5000+13×400+30×√400 =10800(元) C(x) 10800 x=400 =27(元/吨) 400
例1： 设某种商品的成本函数为 C x x x ( ) 5000 13 30 = + + 其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量为x吨 时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本 及平均成本分别为： 400 ( ) 5000 13 400 30 400 10800( C x x= = + + = 元） 400 ( ) 10800 27 / 400 x C x x = = = （元 吨）
例1：设某种商品的成本函数为 C(x)=5000+13x+30W 如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变 化率为： △Cx) C(450)-C(400) △x x=400 △x=50 50 686.4 =13.728 50 它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增 加成本13.728元
如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变 化率为： 400 50 ( ) 450 400 50 686 4 50 x x C x C x = = − = = C（ ） （ ） . =13.728 它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增 加成本13.728元。 例1： 设某种商品的成本函数为 C x x x ( ) 5000 13 30 = + +
类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即△=， △C(x) C(401)-C(400) x=400 =13.7495 △x △x=1 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 当产量为400吨时再减少1吨，即△x=一1， △C(x) C(399)-C(400) =13.7505 △x x=400 △x=-1 -1 表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减少的成本
表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 当产量为400吨时再减少1吨，即 类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即 400 1 ( ) 401 400 13 7495 1 x x C x C x = = − = = C（ ） （ ） . = x 1， = − x 1， 表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减少的成本。 400 1 ( ) 400 13 7505 1 x x C x C x = =− − = = − C（399） （ ）
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少 个单位时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 设总成本函数为C=C(x)且其它条件不变，产量为xO 时，增加（减少)1个单位所增加（减少)的成本叫 做产量为x时的边际成本，即： 边际成本=C(x,+A)-C(x) △x 其中△x=1或△x=1
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一 个单位时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变，产量为x0 时，增加（减少）1个单位所增加（减少）的成本叫 做产量为x0时的边际成本，即： 0 0 C x x C x ( ) x + − = （ ） 边际成本 其中 = = − x x 1 1 或
定义：设成本函数C（x)为一可导函数，称 C(xo)=lim C(x+△x)-C(xo) △x=→0 △x 为产量是时的边际成本。 其经济意义是： C'(x)近似地表示产量为x,时再增加（减少) 个单位产品所增加（减少)的总成本。 因为C'c)≈Co+A)-C( (当△x很小时 △r 若成本函数C在区间内可导，则称 的x) C(x)在区间内的边际成本函数
定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称 为产量是 时的边际成本。 0 x 其经济意义是： 0 0 C x x ( ) 地表示产量为 时再增加（减少） 一个单位产品所增加（减少） 近似 的总成本。 若成本函数 C x( ) 在区间I内可导，则称 C x 为 ( ) C x( )在区间I内的边际成本函数。 x C x x C x C x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 ( | | ) ( ) ( ) ( ) 0 0 因 为 0 当 x 很小时 x C x x C x C x + −
例2：已知某商品的成本函数为： C(Q)=100+ (Q表示产量) 4 求（1)当Q=10时的平均成本； (2)当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。 解（1)平均成本函数为 c(O) 100+ 100 1001 当Q=10时： c(O) 0-10三 +×10=12.5 104
例2：已知某商品的成本函数为： 1 2 ( ) 100 ( 4 C Q Q Q = + 表示产量） 求（1）当Q=10时的平均成本； （2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。 解（1）平均成本函数为 1 2 100 ( ) 100 1 4 4 Q C Q Q Q Q Q + = = + 当Q=10时： 10 ( ) 100 1 10 12 5 10 4 Q C Q Q = = + =