第五章不定积分 5.1原函数与不定积分 5.2换元积分法和分部积分法
第五章 不定积分 5.1 原函数与不定积分 5.2 换元积分法和分部积分法
5.2换元积分法和分部积分法 由于原函数的定义是非构造性的，因而求不定积 分比求导数困难的多，直接积分法可解决的问题十分 有限。 例如： 求∫2xcos(x2)d 直接积分法不能求出原函数 回顾复合函数求导[sin(x2)]'=2xcos(x2) ∴.sin(x2)是2xcos(x2)的一个原函数. 如何看出？ [2xcos(x2dx sin(x2)+C
5.2 换元积分法和分部积分法 由于原函数的定义是非构造性的，因而求不定积 分比求导数困难的多，直接积分法可解决的问题十分 有限。 回顾复合函数求导 例如： 2 2 cos( ) x x dx 求 ， 2 2 [sin( )]' 2 cos( ) x x x = ， 2 2 sin( ) 2 cos( ) x x x 是 的一个原函数. 直接积分法不能求出原函数 2 2 2 cos( ) sin( ) x x dx x C = + 如何看出？
5.2换元积分法和分部积分法 一.第一类换元法（凑微分法） 在上例中∫2xcos(r2=∫ar2)'cos(x2k=∫cos(x2d(x2) 凑微分 令u=x2,原积分=「cosudu=sinu+C=sin(x2)+C 换元 直接积分法 一般情形下， 「f(x)d不易直接积分求得， 但被积函数可分解为f(x)=g[p(x)]p'(x) 可用第一换元法 ∫f(xk=∫g[o(xo'(x&=∫g[p(x]a[p(x]=∫g(0dhu
5.2 换元积分法和分部积分法 一. 第一类换元法(凑微分法) 2 2 2 2 2 2 cos( ) ( )'cos( ) cos( ) ( ) x x dx x x dx x d x = = 2 2 u x udu u C x C = = = + = + , cos sin sin( ) 令 原积分 在上例中 换元 凑微分 直接积分法 一般情形下， f x dx ( ) 不易直接积分求得， 但被积函数可分解为f x g x x ( ) [ ( )] '( ) = 可用第一换元法 f x dx g x x dx g x d x g u du ( ) [ ( )] '( ) [ ( )] [ ( )] ( ) = = =
5.2换元积分法和分部积分法 一.第一换元积分法（凑微分法） 定理1（第一换元积分法)设g(u)及p'(x)连续，且 F'(0)=g(u),则作变量代换u=p(x)后，有 ∫glo(x)p'(x)dc=∫gLo(x)Ho(x) =∫g(u)du=F()+C =F[p(x)]+C. 换元积分法实质上是一种矛盾的转化法
5.2 换元积分法和分部积分法 一. 第一换元积分法（凑微分法） 定理1（第一换元积分法）设 及 连续，且 则作变量代换 后，有 g(u) (x) F(u) = g(u), u = (x) g(x) (x)dx g(x)d(x) = = g u du = F u +C ( ) ( ) = F(x)+C. 换元积分法实质上是一种矛盾的转化法
5.2换元积分法和分部积分法 例题1 求[sin3 x cosxdx. 解令u=sinx,g(W)=u,则du=cosxd.由公式有 [sin'xcodduCC. 例题2 +a0 判。 d() 解 u-x du Ja(1+u2) =arctan u+C=-arctan+C. a
5.2 换元积分法和分部积分法 例题1 3 sin cos . x xdx 求 解 令 ，则 .由公式有 3 u = sin x, g(u) = u du = cos xdx = sin x cos xdx 3 u du 3 sin . 4 1 4 1 4 4 = u +C = x +C 例题2 2 2 ( 0). dx a a x + 求 解 = + 2 2 a x dx + 2 1 ( ) a x a a x d a x u = (1+ ) 2 a u du arctan . 1 arctan 1 C a x a u C a = + = +
5.2换元积分法和分部积分法 例题3 求[xsinx2d 解jrsmx=snxdx)=2osr+C 熟练之后可以省略变量u的过程 例题4 tan xdx. 解四-∫=J-C
5.2 换元积分法和分部积分法 例题3 2 x x dx sin 求 解 = x x dx 2 sin cos . 2 1 sin ( ) 2 1 2 2 2 x d x = − x +C tan xdx. 解 = dx x x xdx cos sin tan = − x d x cos (cos ) = −ln cos x +C. 例题4 熟练之后可以省略变量u的过程
5.2换元积分法和分部积分法 例题5 求∫sinx cosxd, 解 ()∫sin=∫sin dsin=)sin2x+C. (Jsinocodto. (3)sinxcossim2xdinC. 注意：以上三种解法得到的原函数只相差一个常数
5.2 换元积分法和分部积分法 sin cos ; x xdx 求 解 (1) = = sin + . 2 1 sin cos sin sin 2 x xdx x d x x C (3) 1 sin cos sin 2 sin 2 . 2 x xdx xdx x C = = + (2) 1 2 sin cos cos (cos ) cos . 2 x xdx xd x x C = − = − + 例题5 注意：以上三种解法得到的原函数只相差一个常数
5.2换元积分法和分部积分法 常用的凑微分公式 (I)adx=d(ax+b)月 (2)xdk=1d0x n+1 (3),k=dx 2Vx ④2dk=d3 (5)-dx d(Inx); (6)e'dx=d(e); 0 (7)cos xdx =d(sinx). (8)sin xax =-d(cosx) 9) 么uasn00,天本=d6nn刘 -x
5.2 换元积分法和分部积分法 (1) ( ); adx d ax b = + 1 1 (2) ( ); 1 n n x dx d x n + = + 1 (3) ( ); 2 dx d x x = 2 1 1 (4) ( ); dx d x x = − 1 (5) (ln ); dx d x x = (6) ( ); x x e dx d e = (7)cos (sin ). xdx d x = 常用的凑微分公式 (8)sin (cos ). xdx d x = − 2 1 (9) (arcsin ). 1 dx d x x = − 2 1 (10) (arctan ). 1 dx d x x = +
5.2换元积分法和分部积分法 例题6 1 0 a2-x2 x(a≠0)】 1 解由于 d-x =1 (a+x(a-x)2 a+x 所以jax=h da h (Ina+-a-x)+C 2aa-x +C
5.2 换元积分法和分部积分法 例题6 − ( 0). 1 2 2 dx a a x 解 由于 ), 1 1 ( 2 1 ( )( ) 1 1 2 2 a x a x a x a a x a − x + + = + − = − 所以 dx a a x a x dx a x ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 − + + = − − − − + + = a x d a x a x d a x a ( ) ( ) 2 1 a x a x C a = (ln + − ln − ) + 2 1 ln . 2 1 C a x a x a + − + =
5.2换元积分法和分部积分法 2第二换元积分法 定理2（第二换元积分法)设f(x),p(t)及o'(t均连续， 且p'()≠0，又fp(t)p'(t)存在原函数F(t),则 ∫fx)dk=∫flo(b')dt=F0+C=Flb'(x+C 运用第二换元积分法的关键是变量代换x=p(t)存 在反函数 注：从定理2可知，第二类换元积分法与第一类换元积 分法的换元与回代过程正好相反
5.2 换元积分法和分部积分法 2 第二换元积分法 定理2 （第二换元积分法）设 及 均连续， 且 又 存在原函数F(t),则 f (x),(t) (t) (t) 0, f(t)(t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 f x dx = f t t dt = F t +C = F x +C − 运用第二换元积分法的关键是变量代换 存 在反函数 x = (t) 注：从定理2可知，第二类换元积分法与第一类换元积 分法的换元与回代过程正好相反