一元多项式 1.一元多项式的定义：数环上一个文字的多 项式或一元多项式指的是形式表达式 a+a1x+a2x2+.+anx", 这里n是非负整数而都是中的数。 特别：零多项式是唯一没有定义次数的多项 式 2.多项式相等：若是整环R上两个一元多项 式(x)和g(x有完全相同的项，或者只差 一些系数为零的项，那么f(x)和g(x说是 相等f(x)=g(x)
一元多项式 1.一元多项式的定义：数环上一个文字的多 项式或一元多项式指的是形式表达式 这里n是非负整数而都是中的数。 特别：零多项式是唯一没有定义次数的多项 式 2.多项式相等：若是整环R上两个一元多项 式 和 有完全相同的项，或者只差 一些系数为零的项，那么 和 说是 相等： 。 , 2 0 1 2 n n a + a x + a x ++ a x f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) = g(x)
3.多项式的加法和乘法 如果f(x)=anx”+.+ax+a,g(x)=bnxm+.+b,x+b (1)加法： f(x)+8(x)=a,x"+.+amx+(am+b)x"++(a+b)x+(ao+b) (如果n>m) (2)乘法： f(x)8(x)=abx+(a,b+a b)x"(abtab)xtab
3.多项式的加法和乘法 如果 (1)加法： （如果n＞m） (2)乘法： 1 0 1 0 f (x) a x a x a ,g(x) b x b x b m m n = n ++ + = ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 f x g x a x a x a b x a b x a b m m m m m n n + = + + + + + + + + + + + 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b m n n m n m n m n m = + + + + + + + − − − +
性质： ①当f(x)≠0,8(x)≠0 时，f(x)+g(x)≠0 (f(x)+g(x))<max{o(f(x),8(g(x)) a(f(x)g(x))=8(f(x))+a(g(x)) ②加法交换律、乘法交换律成立： f(x)+8(x)=8(x)+f(x) (x)g(x)=g(x)(x)
性质： ①当 时， ② 加法交换律、乘法交换律成立： f (x) 0, g(x) 0 f (x) + g(x) 0 ( f (x) + g(x)) max{( f (x)),(g(x))} ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) f (x) + g(x) = g(x) + f (x) f (x)g(x) = g(x) f (x)
③加法结合律、乘法结合律成立： (f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) ④加法消去律、乘法消去律成立： f(x)+g(x)=f(x)+h(x)g(x)=h(x) f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0→g(x)=h(x) ⑤乘法对加法的分配律成立： f(x(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+(x)h(x)
③ 加法结合律、乘法结合律成立： ④ 加法消去律、乘法消去律成立： ⑤ 乘法对加法的分配律成立： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) f (x) + g(x) = f (x) + h(x) g(x) = h(x) f (x)g(x) = f (x)h(x)且f (x) 0 g(x) = h(x) f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x)
二、带余除法： f(x),g(x)∈Rx]且g(x)≠0，则存在唯一9(x),r(x)∈R)使得 f(x)=q(x)8(x)+r(x) 其中(r(x)<(g(x)或r(x)=0 例1、设g(x)=x2-x-2除f)=x-2x2+ar+b时， 余式r(x)=2x+1,求系数a,b。 例2、设g(x)=x2-3x+1,fx)=5x2-2x2+8,求f(x) 除以8()的商和余式
二、带余除法： 使得 例1、设 除 时， 余式 ，求系数a,b。 例2、设 ， ,求 除以 的商和余式。 f (x), g(x)R[x]且g(x) 0,则存在唯一q(x),r(x)R[x] f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中(r(x)) (g(x))或r(x) = 0 ( ) 2 2 g x = x − x − f x = x − x + ax+b 3 2 ( ) 2 r(x) = 2x +1 ( ) 3 1 2 g x = x − x + ( ) 5 2 8 3 2 f x = x − x + f (x) g(x)
三、综合除法 例3、以2x-1除f(x)=2x4+3x3+4x2+5x+1, 求商和余式。 例4、用综合除法将5x4-6x3+x2+4按 x-1的方幂展开。 四、整除性 1.整除的定义：如果f(x)=g(x)h(x), 则g(x)f(x)
三、综合除法 例3、以 除 ， 求商和余式。 例 4、用综合除法将 按 的方幂展开。 四、整除性 1.整除的定义：如果 ， 则 。 2 x − 1 ( ) 2 3 4 5 1 4 3 2 f x = x + x + x + x + 5 6 4 4 3 2 x − x + x + x − 1 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) g ( x ) f ( x )
2整除的性质： ①；f(x)g(x),8(x)f(x)→f(x)=cg(x),c≠0 ②：f(x)g(x),g(x)h(x)→f(x)hx) ③。f8.,i=12,t→f(x)2k()8(x) 3.整除的判别定理： f(x)g(x)∈R[x]g(x)≠0，g(x)f(x)台g(x)除f(x)的余式为0
2.整除的性质： ①； ②； ③。 3.整除的判别定理： 。 f (x) g(x), g(x) f (x) f (x) = cg(x),c 0 f (x) g(x), g(x) h(x) f (x) h(x) = = t i i i i f x g x i t f x k x g x 1 ( ) ( ), 1,2,, ( ) ( ) ( ) f (x), g(x) R[x], g(x) 0, g(x) f (x) g(x)除f (x)的余式为0
思考题： 1.当m,P,9适合什么条件时，x2+mx-lx+px+9。 2.xf(x)台xf(x) Vk∈Z 课堂练习： 1.如果h(x)不整除f(x与8(x)是否一定有(x)不 整除f(x)+g(x)。 2.作f(x)与8(x),使得x+3不整除f(x)与g(x) 但x+3f(x)+g(x)
思考题： 1.当 适合什么条件时， 。 2. 课堂练习： 1.如果 不整除 与 ，是否一定有 不 整除 。 2.作 与 ，使得 不整除 与 ， 但 m, p,q x + mx − x + px+ q 2 3 1 + x f x x f x k Z k ( ) ( ) h(x) f (x) g(x) h(x) f (x) + g(x) f (x) g(x) x + 3 f (x) g(x) x + 3 f (x) + g(x)
一元多项式的最大公因式 (The greatest common divisor of polynomial) 本讲的教学目的和要求多项式的公因式及最大公 因式的概念是多项式理论中最基本的知识点。本讲 要求能完全掌握最大公因式的基本概念、二个多项 式互素的含义、二个（乃至更多个）多项式的最大 公因式的求法（展转相除法)。 本讲的教学重点和难点本讲的重点是能灵活的应 用展转相除法准确地求出最大公因式以及求出满足 线性组合式(x)f(x)+v(x)g(x)中的多项式u(x)和v(x); 而比较困难的是对最大公因式概念的准确理解和把 握，比如最大公因式的唯一性问题、首一问题、互 素多项式的判断和有关性质等
一元多项式的最大公因式 （The greatest common divisor of polynomial） 本讲的教学目的和要求 多项式的公因式及最大公 因式的概念是多项式理论中最基本的知识点。本讲 要求能完全掌握最大公因式的基本概念、二个多项 式互素的含义、二个（乃至更多个）多项式的最大 公因式的求法（展转相除法）。 本讲的教学重点和难点 本讲的重点是能灵活的应 用展转相除法准确地求出最大公因式以及求出满足 线性组合式 中的多项式 和 ； 而比较困难的是对最大公因式概念的准确理解和把 握，比如最大公因式的唯一性问题、首一问题、互 素多项式的判断和有关性质等。 u(x) f (x) + v(x)g(x) u(x) v(x)
一、最大公因式 定义1、(x)是fx)与(x的最大公因式，如果 ①d(x)f(x),d(x)g(x) ②d,(xf(x),d,(x)lg(x)→d,(x)d(x) 定义2、d(x)是fx)与(x)的最大公因式，如果 ①d(xf(x),d(x)g(x) 2u(x),v(x),s.i.d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
一、最大公因式 定义1、 是 与 的最大公因式，如果 ① ② 定义2、 是 与 的最大公因式，如果 ① ② d(x) f (x) g(x) d(x) f (x),d(x) g(x) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 d x f x d x g x d x d x d(x) f (x),d(x) g(x) u(x),v(x),s.t.d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) d(x) f (x) g(x)