第一章极限与连绒 第一节映射与函数 一集合 1.集合念 2.集合的运草 〔1)区间： 设a和b都是实数，且a<b, 开区间：(a,b)=(xa<x<b) 闭驱间：[a,b]=(xa≤x≤b) 半开半闭区间：[a,b)=(xa≤x<，(a,b] (x|a<x≤b) 说明：1)以上这些区间称为有限区间，数力一a称为这些区间的长度。 2)此外还有所调的无限区间，例如：[a,+co)=(xx之a),(-c0,b] =(xx≤b},全体实数的集合R也可记为(-0，+0)，当然也是无限区同 3)以后对格种区间，我们都称为‘区间？，且常用1来表示。 〔2)减：以点a为中心的任何开区间称为点a的一个邻域，记为U(a)
1 第 一 章 极限与连续 第一节 映射与函数
设6是任一正数，则开区间(a-6,a+可)就是点a的-个部城，记为 U(a,),即 U(a.6)=(a-6.a+5)=(xx-a<5 有时南要用把邻城的中心去掉点a的6领域去掉中心a后称为点a的 去心6城8，记为Ua,),即：(a,)={x10x-a< 二、映射 这是中学知识，简单复习。 三、函影报含 引例1：自由落体物体降落的距离声随着时间的变化而变化，其变化规建 =g2, 2:考虑圆周x2+y22上点M(亿，y)的坐标x与y之间的关系。 定义：设x和y是同一变化过程中的两个变量，D为一给定的数集，如果对于每 一个数x∈D,变量y通过对应法则∫总有确定的值和它对应，则称y为x的函 数，记为y=(x),其中x称为自支量，y称为因支量，D称为定义城，记作
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2值城（记作R,):R,=(yly=f(x)x∈D) 3构成函数的二要案 4单值函数与多值函数 例1求下列函数的定义城： 定义城(-1,1)月 (2)y=二2x+1,定义城(-0，-1)U(-1,0)U(8,1) x-x U(1, (2)已如f(=x+1+7,x<0,求f(闭。 解1)J/]=国= f(x)+12x+1 3
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+i 函数的表示法： 主要有三种：表格法、图形法、解析法（公式法） 表格法如中学里的对数表，平方表等 图形法就是基于平面坐标系里的图象来表示函数 阳y化20复0-网，腿马 =[0,+0),是一个分段函数.（图路) 说明：在定义城的不同驱间上用不同的表达式表示，称为分段函数 例4已知一个三角波如图）试将y表成t的函数 0 解：定义域t∈[0,2】，y= t,0≤≤1， 2-t.1<t≤2
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1,x>0, 例5符号函数y=gmx={0,x=0, -1x<0 定义域D=（-0,+0),值域R,=(-1,日，1，对任意实数×有 x=xsgnx. 贸设x为性-。不超的星大省监为的莲分，记作【山则 y=[称为取整函数，定义城D=(-，+，值城R,=乙
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2 -320234 r网-+28a-0: 解：f（-2)=ln1=0, h-1>0_,h>1 a-0=a-1+)h-1s0ah+2.6 四、函数的几种特性 1.函数的布界性 设函数f(x)的定义域为D,数集XCD 6
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f(x)在X上有界台存在正数M,:f(x)!≤M(付x∈X) f(x)在X上的无界台对于任意的正数M,总存在石∈X,使！f()! >M 例如：f(x)=sinx,在(-0，+0o)有界，因为inx长1 f)=,在(0)上无果 f(闭=mx在定义城上无界，在0，誓1止有界。 2.函数的单胜 设函数f(x)的定义城为D,区间1CD f(x)在1上单调增加台,∈1当x1f(x3) 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 例如：y=x在区间（日，+60）上是单调增加的，在(-0，日)上是单调 减少的在
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（-c0,+0)不是单调的 3.函数的合偶性 设函数(x)的定义域D关于原点对粉 寸(x)为偶函数：对于任一x∈D,f(-x)=f(x)恒成立， f(x)为奇函数：对于任一x∈D，f(仁x)=-(x)恒或立 偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称， 例y=x之、y=c0x是偶函数，而y=x之己、y=x是奇函数 例证明：f(x)=g(x+√x2+)在(-c0,+o0)上是奇证数. 4.函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数T,使得对于任一x∈D, 有x+T∈D,且f(x+T=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为 ∫(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期
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周期为T的周期函数，在每个长度为T的区间上，函数图形有相同形状。 但并非每个周期还数都有最小正周期， 五、函数与发合函数 1.函数 考虑圆面积S与圆半径R之间的关系： （1)给定R,求S.则R为自变量，S为因变量，S-开R2.() 上面虽然是同一个等式的不同变形，但从函数的角度来看，由于对应法则不 同，是两个不同的函数，但有联系，我们称(*)为(*)的反函数，反之亦然。 一般地设函数f(x)的定义域为D,值城为W若对于W中的任一值y, D内有确定的值x与之对应。按函数的概念，x是y的函数〔记为x=)或 x=f一Oy))这个函数x=)或x=f(y)叫做f(x)的反函数 9
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微y=3x-1,x后R的品为x=生yR,时习匙 自变量用x表示，因变量用y表示，所以y=3x-1,X∈R的反函数通常写 作华，eR 并非所有的函数都存在反函数，例如常数函数y=c不存在反函数 定理：若x=fy)是D上的单调函数，则反函数y=f(x)必定存在 且y=f(x)也是单调函数，且单调性相同。 说明：(1)x=f0y)和它的反函数y=∫一(x)图形相同. 例如前面〔*)的图形〔抛物线)与〔林)的图形相同 〔2）反三角数： y=arcsin x,y=arccosx,y=arctan x,y=arc cot x 2.复合函数 设函数y=f,=g),则函数y=f(g》称为由函数 y=f(u)和山=g)构或的复合函数，变量让称为中间变量。 注：f和g能复合的条件是：g的值城与f的定义城的蚊集非空
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